תרגילים פרק 10 🏋️

תרגיל א

![[Pasted image 20250129115139.png]]

1. לא נב"ך, לא ניתן להוסיף כמת לנב"ך לפי כלל 6 בלי לשים משתנה μ ביניהם

   נכון, החוברת כתבה עוד x אחרי הכמת אז אצלה זה נכון. אבל זו שגיאת דפוס.

2. נב"ך: x=x נב"ך ¬x=x נב"ך Tzxy נב"ך ∀zTzxy נב"ך לפי כלל 6 ∃y∀zTzxy נב"ך לפי כלל 6 ∃y∀zTzxy→¬x=x נב"ך לפי כלל 5 ∀x(∃y∀zTzxy→¬x=x) נב"ך לפי כלל 6

נכון 3. לא נב"ך, כלל 3 לא מאפשר לכתוב y=¬x

נכון 1. לדעתי לא נב"ך y לא אות פסוקית לכן לא נבך x=z נבך ∃ze=x נבך לפי כלל 6 ∃zx=z∨y לא נב"ך, כלל 5 מאפשר לחבר בפונקציה רק נבכים

x=z נבך y=z נבך x=y נבך אבל החיבור לפי כלל 5 דורש שנשים את α ו-ꞵ בסוגריים. חסר לנו כאן סוגריים בהנחה שאין סדר פעולות קבוע. לא בדיוק נב"ך

צדקתי, בקורס אין סדר פעולות אז חסרות סוגריים

תרגיל ב

![[Pasted image 20250129121845.png]]

1. אמת - כל זוג של x ו-y יהיה אותו האיבר בדיוק. פרדיקט הזהות הוא חלק מהשפה הלוגית וניתן להסיק ממנו את היפוכו. אם a=b אז b=a; לכן, כל זוג של x=y יקיים גם y=x.
2. שקר - נכון כאשר x=y=תום או כאשר x=y=אורית, אבל לא כולל את שאר הזוגות בפשר של פרדיקט הזהות
3. אמת - קיימים x ו-y כך ששניהם מופיעים באקסטנציה של p (אורית אורית, אורית תום, תום יהב וכו'), וככה שהם לא זהים (אורית תום, תום יהב וכו')

הכל נכון

תרגיל ג

![[Pasted image 20250129125903.png]]

1. t=j

   נכון

2. m=n∧e=n

   נכון

3. עבור כל x, אם x הוא הלבנה אז x הוא הירח של כדור הארץ, ואם x הוא לא הלבנה, אז x הוא לא הירח של כדור הארץ ∀x(x=l↔Mxe)

החוברת עשתה אחרת, היא לא כתבה "אם x הוא הלבנה אז הוא ירח של כדוה"א", אלא פשוט התחילה מ-Mle. שלי הרבה יותר אלגנטי. 4. Mxy איקס ירח של וואי Ax בעל אטמפוספרה s שבתאי t טיטאן עבור כל x, אם x הוא ירח של s ו-x לא זהה ל-t, אז x הוא חסר אטמוספרה ∀x(Mxs∧¬x=t)→¬Ax

נכון

1. - עבור כל x, אם x הוא כוכב לכת ו-x לא זהה ל-p - אז עבור כל y, אם y לא זהה ל-g, איקס גדול מ-y ∀x((Px∧¬p=x)→∀y(¬y=g→Bxy))

החוברת התחילה עם "עבור כל x ועבור כל y", ואז עשתה "אם x כוכב ו-y ירח, וגם - x הוא לא פלוטו ו- y הוא לא גאנימד, אז - x גדול מ-y". שניהם נכונים לדעתי, אבל כשאפשר לעשות "כל איקס כל וואי" זה ה-safe bet

תרגיל ד

![[Pasted image 20250129133853.png]] ![[Pasted image 20250129133859.png]]

1. קיים x כך ש-x הוא המחבר של a אם קיים x כך ש-x הוא המחבר של a, וקיים y כך ש-y הוא המחבר של a, אז x זהה ל-y עבור כל x, אם x הוא המחבר של a, אז x זהה ל-t ∃x(Axa)∧(∃x(Axa)∧∃y(Aya))→x=y)∧∀x(Axa→x=t)

קיים x כך ש-x הוא המחבר של a, ועבור כל y, אם y הוא המחבר של y אז y זהה ל-x, ו-x זהה ל-t

∃x(Axa∧∀y(Aya→y=x))∧x=t)

החוברת התחילה מ-Ata, במקום להגיד שיש x ל-Axa *אם יש קביעה ספציפית - להמיר אותה לקביעה הספציפית, לא לטענה ישית

1. קיים x כך ש-x הוא המחבר של b ו-x הוא המחבר של h אם קיים x כך ש-x הוא המחבר של b ו-x הוא המחבר של h, וקיים y כך ש-y הוא המחבר של b או ש- y הוא המחבר של h, אז x זהה ל-y (נצרין ל-AND אבל לדעתי זה צריך להיות או-או, מה אם יש שני מחברים לאחד הספרים?) עבור כל x, אם x הוא המחבר של b ו-x הוא המחבר של h, אז x זהה ל-s

קיים x כך ש-x הוא המחבר של b ו-x הוא המחבר של h, ועבור כל y, אם y הוא המחבר של b ו-y הוא המחבר של h, אז y זהה ל-x, ו-x זהה ל-s

∃x((Axb∧Axh)∧∀y((Ayb∧Ayh)→y=x)∧x=s)

גם פה, החוברת התחילה עם Asb∧Ash במקום עם טענות ישיות

*אם יש קביעה ספציפית - להמיר אותה לקביעה הספציפית, לא לטענה ישית

1. • קיים x ככה ש-x הוא המחבר של t ו-x הוא המחבר של p אם קיים x ככה ש-x הוא המחבר של t ו-x הוא המחבר של p, וקיים y כך ש-y הוא המחבר של t ו-y הוא המחבר של p, אז y זהה ל-x עבור כל x, אם x הוא המחבר של t ו-x הוא המחבר של p, אז x הוא פילוסוף

קיים x ככה ש-x הוא המחבר של t ו-x הוא המחבר של p, ועבור כל y, אם y הוא המחבר של t ו-y הוא המחבר של p, אז y זהה ל-x, ו-x הוא פילוסוף ∃x(((Axt∧Axp)∧∀y(Ayt∧Ayp)→y=x)∧Px)

נכון

תרגיל ה

![[Pasted image 20250129153021.png]]

1. -- ∀y∀x((Dy∧Dx)∧(Bxm∧Bym)→y=x)

מדויק

1. -- ∃x(Dx∧Bxi)∧∀y((Dy∧Byi)→y=x)

מדויק

1. -- ∃x∃y((Dx∧Dy)∧(Bxo∧Byo)∧¬x=y)∧∀z((Dz∧Bzo)→z=x∨y=z)

מדוייק!!!

1. ¬∃y∃x∃z((((Dx∧Dy)∧Dz)∧((Bxa∧Bya)∧Bza))∧(¬x=y∧¬x=z∧¬y=z))

החוברת הצרינה את זה כמו "לעדינה יש לכל היותר שני כלבים" אני הצרנתי את זה כמו השלילה של "לעדינה יש לכל הפחות שלושה כלבים" - זה straight up לא נכון -- ההצרנה נכונה לפי מה שחשבתי, אבל זו פשוט לא המשמעות הנכונה בשפה הטבעית...

1. ∃y∃x∃z((((Dx∧Dy)∧Dz)∧((Bxs∧Bys)∧Bzs))∧(¬x=y∧¬x=z∧¬y=z))∧∀x1((Dx1∧Bx1s)→(x1=y∨x1=x∨x1=z))

מדוייק חוץ מנואנס קטן: לא לעשות שרשראות של 3 קוניונקציות או דיסיונקציות זה אמנם לא באמת משנה כי אין חשיבות לסדר שלהם, אבל עדיף לעשות ((דיסיונקט∨דיסיונקט)∨דיסיונקט)), ואותו דבר עם קוניונקטים

תרגיל ו

![[Pasted image 20250130184821.png]]

א. 1. - יחס לא-רפלקסיבי - בהנחה שלא כל פריט שייך בין היתר לעצמו (עבד אינו שייך לעצמו) יחס לא-סימטרי - בהנחה שלפעמים, יש בעלות הדדית, כמו בין בעל ואישה יחס טרנזיטיבי - בהנחה שבעלות מוחלטת היא טרנזיטיבית... אם x שייך ל-y בכל המובנים וגם y שייך ל-z בכל המובנים, אז ניתן להניח ש-x שייך ל-z באותו האופן.

החוברת עשתה אחרת אבל זה מאוד עניין של פרשנות והיא לא הסבירה 2. יחס אי-רפלקסיבי - אי אפשר להיות שכן של עצמך יחס סימטרי - אם x שכן של y, אז y בהכרח שכן של x יחס לא-טרנזיטיבי - לעתים, אם x שכן של y ו-y הוא שכן של z, אז x הוא שכן של z. אבל זה לא מתחייב: יכול להיות ש-y גר במרחק המקסימלי מ-x שנגדיר כ-'שכנות', וכך בין x ל-z כבר לא מתקיימת שכנות; בנוסף, ייתכן של-y יש שני בתים, וכך הוא שכן של x ושל z אבל בין x ל-z לא מתקיימת שכנות. נכון

1. יחס רפלקסיבי - כמובן שאתה רץ מהר לפחות כמו עצמך יחס לא-סימטרי: לפעמים המהירות של x ו-y זהה, ואז מתקיימת סימטריות, אבל במצבים אחרים לא יחס טרנזיטיבי - אם x הוא במהירות של y או יותר, ו-y הוא במהירות של z או ויתר, אז המהירות של x שווה ל-z או יותר

   נכון

2. -- יחס אי-רפלקסיבי - לא ניתן להיות צאצא של עצמך יחס א-סימטרי - צאצאות היא יחס חד כיווני בלבד יחס טרנזיטיבי - אם x הוא צאצא של y ו-y הוא צאצא של z, אז x הוא בהכרח צאצא מסוג כלשהו של z

   נכון

3. -- יחס רפלקסיבי - כל מספר מתחלק בעצמו ללא שארית יחס לא-סימטרי - כאשר x ו-y הם אותו מספר, מתקיימת סימטריות, בשאר המקרים לא יחס טרנזיטיבי: אם x מתחלק ב-y ללא שארית, אז x הוא כפולה של y; אם y הוא כפולה של z, אז הוא חייב להיות כפולה של אחת הכפולות שלו. אם z הוא כפולה של x, אז x מתחלק ב-z ללא שארית.

   נכון חוץ מהחלק של סימטרי: מדובר ביחס אנטי-סימטרי, זה המושג שחיפשתי! אם סימטריות מתקיימת רק בין זוגות זהים, אז יש לנו אנטי-סימטריות כלומר שזוגות זהים נחשבים לעניין של סימטריות

ב. יחס רפלקסיבי - כל פריט יכול להיות בזוג עם עצמו לדעתי יחס לא-סימטרי: כי רק פריטים זהים מתחלפים ביניהם. האם זה נכון? (או שזה לא נחשב?) יחס לא-טרנזיטיבי - במקרה היחיד שבו יש לנו את התנאים, כשמדובר ב-ab bc, לא מתקיים ac

שוב, נכון חוץ מכך שהמושג שחיפשתי הוא "אנטי סימטרי"

ג. 1. א-סימטריות 2. a>b b>c c>d abc>d טרנזיטיביות

נכון חוץ מהעובדה ששכחתי אפיונים נוספים ל-2. הוא צריך להיות גם א-סימטרי ואי-רפלקסיבי. לחשוב על זה רגע. צריך לזכור שאנחנו מגדירים את כל מה שהכרחי כדי ליצור את היחס הלוגי - במקרה הזה, ברור שחייב לציין שיש א-סימטריות, כי ככה עובדים הפרשי גובה. מה שלא הבנתי זה מדוע חשוב החלק של אי-רפלקסיבי - זה חלק מיחסי הגובה, אבל זה לא מהותי לטיעון.

ד. 1. יחס שלא מתקיים בין פריט לעצמו, אבל מתקיים דו-כיוונית בין פריטים לדוגמה: x אבא של y אם x אבא של y ו-y אבא של z, אז x הוא דווקא סבא של z. התשובה היא לא 2. יחס א-סימטרי = לעולם לא מתקיים דו-כיוונית בין זוג של פריטים (שהוא מתקיים עבורו) יחס רפלקסיבי = מתקיים בין פריט לעצמו תמיד לדעתי התשובה היא לא - אלא אם אותו פריט לא יכול "להחליף" עם עצמו (זו השאלה שמלווה אותי בתרגיל הזה) 3. יחס אין טרנזיטיבי לדוגמה: x ראה את y בעירום. אם y ראה את z בעירום, לא מתחייב ש-x ראה את z בעירום. יחס זה הוא רפלקסיבי כי כל אחד ראה את עצמו בעירום. לכן - כן, זה אפשרי...

החוברת כתבה ככה: ![[Pasted image 20250131035456.png]] לדעתי זו שגיאת דפוס. הוכחתי מעל לכל ספק שיש יחס כזה, וההערה מסעיף 2 לא רלוונטית לסעיף 3.

תרגיל ז

![[Pasted image 20250131200702.png]]

1. -- היחס "אינו מהיר יותר" הוא: רפלקסיבי אנטי-סימטרי טרנזיטיבי עבור כל x, ג'י רץ מהר יותר מ-x לכן, m לא רץ מהר יותר מ-g

∀xFgx ∀xFxx ∀x∀y((Fxy→Fyx)→x=y) ∀x∀y∀z((Rxy∧Ryz)→Rxz) ∴ ¬Fmg

graph TD; 
id1("{∀x(Fgx) -- x,y
∀x(Fxx) -- x,y
∀x∀y((Fxy→Fyx)→x=y) - x,y
∀x∀y∀z((Rxy∧Ryz)→Rxz) 
Fmg}
Fgx
Fgy
Fxx
Fyy
∀y((Fxy→Fyx)→x=y) -- x,y
∀y((Fyy→Fyy)→y=y) -- x,y
(Fxx→Fxx)→x=x - V
(Fxy→Fyx)→x=y - V
(Fxx→Fxx)→x=x - V
(Fyy→Fyy)→y=y - V
¬(Fxx→Fxx) - V
¬(Fxy→Fyx)
¬(Fxx→Fxx)
¬(Fyy→Fyy)
Fxx
¬Fxx
X ענף סגור

--
--
")

עץ האמת של ההנחות ושלילת המסקנה סגור, לכן הטיעון תקף

נכון אבל עשיתי שטות קטנה - היחס פה הוא לא "אינו מהיר יותר" זה פשוט "מהיר יותר" עם שלילה בהתחלה... לחשוב טוב על ההצרנה. טכנית זה נכון... 2. --

∀x∀y((Rxy→Ryx)→x=y) ∴ ∀x¬Rxx

graph TD; 
id1("{∀x∀y((Rxy→Ryx)→x=y) -- x,y
¬∀x¬Rxx} -- V
∃x¬¬Rxx -- V
∃xRxx -- V
Rxx
∀y((Rxy→Ryx)→x=y) - x, y
∀y((Ryy→Ryy)→y=y) - x, y
(Rxx→Rxx)→x=x) - V
(Rxy→Ryx)→x=y) - V
(Rxx→Rxx)→x=x) - V
(Ryy→Ryy)→y=y) - V
--
--
")
id1 --> id2("¬(Rxx→Rxx)
Rxx
¬Rxx
X סגור
--
")
id1 --> id3("x=x")
id3 --> id4("¬(Rxx→Rxx)
Rxx
¬Rxx
X סגור 
--
")
id3 --> id5("x=x")
id5 --> id6("¬(Ryy→Ryy)
Ryy
¬Ryy
X סגור
--
")
id5 --> id7("y=y")
id7 --> id8("¬(Rxy→Ryx)
Rxy
¬Ryx
--
")
id7 --> id9("x=y")

עץ פתוח, טיעון לא תקף

נכון

1. עבור כל x, אם x הוא E ו-x הוא לא d, אז x הוא F או ש-x הוא A די הוא E ו-d הוא P עבור כל x, אם x הוא E וגם x הוא F או A, אז הוא לא P

∀x((Ex∧¬x=d)→Fx∨Ax) Ed∧Pd ∀x((Ex∧(Fx∨Ax))→¬Px)

graph TD; 
id1("{∀x((Ex∧¬x=d)→Fx∨Ax) -- x
Ed∧Pd -- V
¬∀x((Ex∧(Fx∨Ax))→¬Px)}
Ed
Pd
∃x¬((Ex∧(Fx∨Ax))→¬Px) V
¬((Ex∧(Fx∨Ax))→¬Px) - V
Ex∧(Fx∨Ax) - V
¬¬Px - V
Px
Ex
Fx∨Ax - V
((Ex∧¬x=d)→Fx∨Ax) - V
--
--
")
id1 --> id2("¬(Ex∧¬x=d)
¬Ex
X ענף סגור
")
id1 --> id3(Fx∨Ax)
id3 --> id4(Fx)
id3 --> id5(Ax)

לפצל את הדיסיונקציה האחרונה לא יסגור שום ענף, עץ פתוח, טיעון לא תקף...

מדויק

תרגיל ח

![[Pasted image 20250201001227.png]]

2. ∀xAx
3. ∃x(Bx∧∀y(By→y=x))
   1. Bx∧∀y(By→y=x) 2 E.I.
   2. Ax 1 U.I.
   3. Bx∧∀y(By→y=x)∧Ax 1,4 Conj.
   4. ∃x(Bx∧∀y(By→y=x)∧Ax)
4. ∃x(Bx∧∀y(By→y=x)∧Ax) 3-6 U.I.

∴ ∃x(Bx∧∀y(By→y=x)∧Ax)

1. --
2. ∃x((Ax∧Bx)∧∀y(((Ay∧By)→y=x)∧Cx))

4. ∃x((Ax∧Bx)∧∀y(((Ay∧By)→y=x)∧Cx))

   1. (Az∧Bz)∧∀y(((Ay∧By)→y=z)∧Cz)
   2. ∀y(((Ay∧By)→y=z)∧Cz) ∧(Az∧Bz) 3 Comm.
   3. ∀y(((Ay∧By)→y=x)∧Cx) 4 Simp.
   4. ((Ay∧By)→y=z)∧Cz) 4 U.I.
      1. Ay∧By C.P.
      2. Cz∧(Ay∧By)→y=z 5 Comm.
      3. Cz 7 Simp.
      4. (Ay∧By)→y=z 5 Simp.
      5. y=z 6,9 M.T.
      6. Cy 8,10 I.d.
   5. (Ay∧By)→Cy 6-11 C.P.
   6. ∀x((Ax∧Bx)→Cx) 12 U.G.
5. ∀x((Ax∧Bx)→Cx) 2-13 E.I.

∴∀x((Ax∧Bx)→Cx)

אני לא מצליח, ומשהו פשוט לא ברור לי - אם אפשר להשתמש בכל משתנה בפלט של הכללה כוללת, פתרתי וזה קל. אבל מה אם לא? צריך לכתוב למנחה. אני בעצם חושב שכן הצלחתי, קרו כאן כמה מהלכים הגיוניים צריך לוודא לגבי הכללה כוללת, לא יודע אם הצלחתי אבל לקחתי מה שיכולתי מהתרגיל. לדעתי ההפעלה של ההכללה הכוללת ב-10 לא נכונה, כי זו נחשבת הנחה שקודמת להפעלת הכלל... ננסה מחר לכתוב את זה שוב, זה אחד לא קל. בגדול: זה באמת נכון שיהיה לנו משתנה חופשי רק או מהנחה או מפתיחה של כמת כולל - כי פתיחה של כמת ישי היא יצירה של הנחה. מופע שקשור בכמת ישי לא פוסל את האפשרות שנפעיל את הכלל - אבל אי אפשר להגיע ממנו למופע שיאפשר להפעיל את הכלל. לדעתי צריך לחלץ מהנוסחה הישית את כל האפשרויות שלה ואז להתחיל לעבוד. יהיה בסדר עם זה מחר.

1. 1. x=y C.P.
      1. Axy C.P.
      2. Ayx 1,2 I.d.
   2. Axy→Ayx 2-3 C.P.
2. x=y→(Axy→Ayx) 1-4 C.P.
3. ∀y(x=y→(Axy→Ayx))

4. ∀x∀y(x=y→(Axy→Ayx))

5. 1. ∀xLxa∧∃x(Lax∧¬a=x) C.P.
   2. ∀xLxa 1 Simp.
   3. ∃x(Lax∧¬a=x)∧∀xLxa 1 Comm.
   4. ∃x(Lax∧¬a=x 3 Simp.
   5. Lxa 2 U.I.
   6. Lax∧¬a=x 4 U.I.
   7. Lxa∧(Lax∧¬a=x) 5,6 Conj.
   8. (Lxa∧Lax)∧¬a=x 7 Assoc.
   9. ¬a=x∧(Lxa∧Lax) 8 Comm.
   10. ¬a=x 9 Simp.
   11. ¬x=a 10 I.d.
   12. Lxa∧Lax 8 Simp
   13. (Lxa∧Lax)∧¬x=a
   14. ∃y((Lxy∧Lyx)∧¬x=y)
   15. ∃x∃y((Lxa∧Lax)∧¬x=a)

6. ∀xLxa∧∃x(Lax∧¬a=x)→∃x∃y((Lxa∧Lax)∧¬x=a)

7. ∀x∀y((Ax∧Ay)→x=y)→¬∃x∃y((Ax∧Ay)∧¬x=y)

8. 1. ∀x∀y((Ax∧Ay)→x=y) C.P.
   2. ∀y(Ax∧Ay)→x=y 1 U.I.
   3. (Ax∧Ay)→x=y 2 U.I.
   4. ¬(Ax∧Ay)∨x=y 3 Impl.
   5. ¬((Ax∧Ay)∧¬x=y) 5 De Morgan.
   6. ∀y¬((Ax∧Ay)∧¬x=y) 6 U.I.
   7. ∀x∀y¬((Ax∧Ay)∧¬x=y) 7 U.I.
   8. ¬∃x∃y((Ax∧Ay)∧¬x=y) 8 Q.N.
9. ∀x∀y((Ax∧Ay)→x=y)→¬∃x∃y((Ax∧Ay)∧¬x=y) 1-9 C.P.