7 יסודות תחשיב הפרדיקטים

[[לוגיקה]]

סינטקס של תחשיב הפרדיקטים

• תחשיב הפרדיקטים הוא מעין הרחבה של תחשיב הפסוקים (לקרוא על ההיסטוריה)
• נשתמש בכל הסמלים שהכרנו, ונוסיף: כמתים, פרדיקטים ומציינים אישיים
• המטרה היא להוסיף לסינטקס של תחשיב הפסוקים עקרונות מהלוגיקה האריסטוטלית: "יש", "כל", "אין" וכו'
  • תחשיב הפסוקים מוגבל כשהוא צריך לעסוק בעקרונות כמותיים: "כל העורבים שחורים" היא טענה שתוצרן כ-p, ו-"יש עורב שאינו שחור" תוצרן כ-q (הכוונה, פשוט כאותיות פסוקיות) בעוד שהן בבירור סותרות - אבל הסינטקס לא יודע להצביע על זה
  • בהמשך לכך, גם טענות מסוג "כל א' הוא ב'", "כל ב' הוא ג'", "לכן כל א' הוא ג'" לא יוצרנו כראוי בתחשיב הפסוקים: זה פשוט טיעון כמו p>q>r שהוא לא תקף.
• גם הלוגיקה האריסטוטלית לא פותרת את כל הבעיות שקשורות לכיסוי השפה הטבעית באמצעות סינטקס פורמלי
  • טיעון כמו "כל היוונים הם בני תמותה, סוקרטס הוא יווני ולכן סוקרטס הוא בן תמותה" אינו חלק מהלוגיקה האריסטוטלית, משום שזו לא יודעת להתעסק בשמות פרטיים. הטיעון "כל הסוקרטסים הם יוונים" שונה מהטיעון "סוקרטס הוא יווני" או מהטיעון "יש סוקרטסים שהם יווניים".
• בנוסף לזה, שתי הלוגיקות (תחשיב הפסוקים והאריסטוטלית) לא יודעות לעסוק בקשרים לוגיים יחסיים, למשל: "אבא שלי מבוגר ממני, וסבא שלי מבוגר מאבא שלי, לכן סבא שלי מבוגר ממני".
• לקרוא את כתב מושגים של גלעד ברעלי (שלם, 2004) לעוד בנושא

סימנים של תחשיב הפרדיקטים

• השפה כוללת את כל הסימנים שהשתמשנו בהם בתחשיב הפסוקים: קשרים לוגיים, סוגריים, אותיות פסוקיות.
• בנוסף, השפה כוללת:

כמתים:

• כמת כולל: ∀ ("כל ה-")
• כמת ישי: ∃ ("יש-")

אותיות פרדיקט:

• כל אות גדולה בלטינית

מציינים אישיים:

משתנים: x,y,z (בקטן, משתנים כמו במתמטיקה) קבועים: כל אות קטנה שהיא לא x,y,z (גם אותיות פסוקיות הן לטיניות קטנות - צריך לשים לב שמבדילים)

שילוב הסימנים:

• שילוב של אותיות פרדיקטים ומציינים אישיים: אות פרדיקט (גדולה) תמיד תהיה מלווה במציין אישי, או משתנה או קבוע.
  • מספר האותיות הקטנות קובע את ערכיות אות הפרדיקט ('Valency')
  • Ax - אות פרדיקט חד-מקומית (ערכיות אחת)
  • Byd אות פרדיקט דו-מקומית (ערכיות שתיים)
  • Cabz - אות פרדיקט תלת-מקומית (ערכיות שלוש)
  • כמו בתחשיב הפסוקים, בהיעדר מספיק אותיות נשתמש באותיות ממוספרות. A1, c3 וכו' גם הן חלק משפה.
• שילוב של כמתים ומציינים אישיים: כמת תמיד יהיה מלווה במשתנה אחד בדיוק שכתוב לצידו: x∀, ∃y וכו'.

הגדרת הנב"ך בתחשיב הפרדיקטים:

• נתחיל מלהגדיר את המטא-שפה באמצעותה נתאר את שפת תחשיב הפרדיקטים:

  • μ מסמל מציין אישי מסוג משתנה (x,y,z)
  • υ מסמל כל מציין אישי (אם משתנה ואם קבוע)
  • Φ, Ψ יסמלו כל נוסחה שכוללת פרדיקטים
  • α, ꞵ ימשיכו לציין כל נוסחה, כמו בתחשיב הפסוקים

• ההגדרה לנב"ך, גם פה, היא רקורסיבית: כלומר, נתחיל מכמה אקסיומות שהן נב"ך ואז נפתח אותן כדי להסיק על מבנים נוספים שהם נב"ך.

• ההגדרה הבסיסית:
• כל אות פסוקית היא נב"ך (כמו בתחשיב הפסוקים)
• כל אות פרדיקט n-מקומית, שאחריה מופיעים n מציינים אישיים, היא נב"ך (חדש: על אות פרדיקט להופיע עם מס' המציינים המתאים למס' המקומות שלה)
• אם α נב"ך אז גם α¬ נב"ך (כמו בתחשיב הפסוקים)
• אם α ו-ꞵ נב"ך, אז αXꞵ נב"ך, כש-X מסמל כל פונקציה לוגית (כמו בתחשיב הפסוקים)

• אם α נב"ך, אז גם μα∀ או μα∃ הם נב"ך (חדש: לנוסחה בנויה כהלכה תמיד אפשר להוסיף משתנה (מציין מסוג משתנה) וכמת)

• כל אות פרדיקט n-מקומית, שאחריה מופיעים n מציינים אישיים, היא נב"ך:

  • הכוונה היא שאם F היא תלת-מקומית, יש לכתוב אותה Fxyz, Fabc, או גם שילוב (של משתנים וקבועים:) Fayz וכו'.
  • מספר המשתנים שכתובים לידה מגלה לנו כמה מקומות יש לה
  • עם זאת, חשוב לזכור שלפעמים הם נכתבים רק כדי שנדע מה ערכיות הפרדיקט. יכול להיות שהפרדיקט מופיע כ-Fx, אבל גם Fy, Fa וכו' יהיו נב"ך - כי ידוע שהערכיות של F היא 1
  • יכול להופיע אותו מציין פעמיים: Axx נב"ך
  • יש הנוהגים לכתוב F_ _ _ כדי לסמל תלת-מקומיות וכן הלאה, אבל החוברת לא בעד

• אם α נב"ך, אז גם μα∀ או μα∃ הם נב"ך:

  • הכוונה ב-α היא לכל נב"ך, גם במסגרת החוקים החדשים
  • אם Fx→Gx נב"ך לפי החוקים שלמדנו, אז גם (Fx→Gx)x∀, למשל, אבל Fx∃ לא (כי אין לנו משתנה לפני הכמת, ישר מגיעה α)
  • בהמשך לזה, xyF∀ לא נב"ך, כי מגיעים שני משתנים אחרי הכמת
  • וגם aFx∃ הוא לא נב"ך, כי a הוא מציין קבוע, ואחרי כמת בא רק משתנה יחיד. ![[Pasted image 20241228162610.png]]

    נב"ך, כי כל מה שבסוגריים הוא נב"ך

טווח הכמת:

• כשמופיע כמת (בהתאם לכללים), עלינו לקבוע על איזה חלק של הנוסחה הוא חל.
• הכלל קובע: טווח הכמת הוא הנב"ך הקצר ביותר שמתחיל מיד אחריו
  • כלומר: הטווח של μ∀ הוא הנב"ך הקצר ביותר אחרי μ
• מה עושים במקרה שיש לנו μFxx∀? האם עוצרים ב-Fx כי זה גם יכול להיות נב"ך?
  • התשובה היא שלא: לזכור: מספר המציינים שמתלווים לאות הפרדיקט מגלה לנו את הערכיות של האות.
  • אם F מופיעה בנוסחה כ-Fxx, זה כאילו אמרו לנו שהיא דו-מקומית, ואות פרדיקט דו-מקומית חייבת שיופיעו אחריה 2 מציינים! (בהתאם לכלל הנב"ך החדש הראשון, n מקומות = n מציינים). לכן, הנב"ך הקצר ביותר כולל את הכמות המקורית של המציינים עבור אות פרדיקט - Fxx במקרה הזה. ![[Pasted image 20241228163506.png]]

    טווח הכמת הראשון: הסוגריים הכחולות; טווח הכמת השני: הסוגריים הוורודות

מופע קשור ומופע חופשי של משתנים

• מופע קשור: מופע של משתנה μ בנוסחה Φμ, שנמצא בטווח של כמת μ∀ או μ∃.
  • אם הבנתי: בנוסחה עם פרדיקט שכוללת את משתנה μ, המופע של המשתנה הוא 'קשור' אם הוא בטווח של כמת שמתלווה אליו אותו המשתנה
• מופע חופשי: מופע של משתנה μ בנוסחה Φμ שאינו נמצא בטווח של כמת μ∀ או μ∃
  • הפוך מהמופע הקשור: אם המשתנה מופיע בנוסחה עם פרדיקט שכוללת אותו, אבל מחוץ לטווח של הכמת שאליו הוא מתלווה

![[Pasted image 20241228164247.png]]

• מופע יכול להיקשר פעמיים! כאשר משתנה x שבא אחרי אות פרדיקט נמצא בטווח של שני כמתים שמתלווה אליהם x.
• בתחשיב הפסוקים, כל נב"ך היא פסוק; בתחשיב הפרדיקטים זה לא כך!

• בתחשיב הפרדיקטים, נב"ך היא פסוק רק אם כל המשתנים המופיעים בה קשורים בדיוק פעם אחת (אם יש לנו x שאינו קשור, או קשור פעמיים - זה נב"ך, אבל זה לא פסוק עצמאי).

• החוק המלא קובע שנב"ך כלשהו הוא פסוק אך ורק אם אין בו:

• מופע חופשי של משתנה
• מופע של משתנה הקשור יותר מפעם אחת

• כמת שאינו קושר מופע כלשהו של משתנה (כמת שלא קושר בטווח שלו משהו...)

• ההבדל החשוב בין נב"ך לבין פסוק, מה שהופך את הפסוק ל-'עצמאי', הוא שלפסוק אפשר לייחס ערך אמת! ולנב"ך לא!

[[תרגילים - פרק 7 🏋️#תרגיל א) | תרגיל א]]

שפת תחשיב הפרדיקטים:

• נלמד את המשמעות של כל סימן בתחשיב הפרדיקטים בשפה הטבעית:

קבועים אישיים:

• כלומר a,b,c
• מציינים שם פרטי: כלומר, פריט אחד בדיוק. בשפה הטבעית זה בעייתי: הרי גם "סוקרטס האתונאי" יכול עקרונית להיות כמה פרטים. הקבוע האישי הוא כמו URL - הוא ייחודי ומציין "כתובת" אחת בלבד. (בהצרנה מהשפה הטבעית נניח ששם טבעי מתייחס ל-"כתובת ייחודית" מהסוג הזה).

משתנים אישיים:

• כלומר x,y,z
• יכולים "להחזיק ערך" של שם פרטי (כלומר קבוע אישי), אבל לא מצביעים על אחד ספציפי
  • (לכתוב "μ∀" זה אומר לכתוב "כל (שם פרטי אפשרי)")

פרדיקט:

• כלומר A-Z
• הם בעצם פסוקים אטומיים שכוללים שמות פרטיים, לאחר שהחלפנו את השמות הספציפיים במשתנים
  • "יונה הוא נביא" הוא פסוק אטומי עם קבוע אישי (/טענה אחת הכוללת שם פרטי)
  • "x הוא נביא" הוא הפרדיקט המקביל - פרדיקט חד מקומי שכן יש לו משתנה אחד
  • "אדם הוא אבא של הבל" הופך לפרדיקט דו-מקומי שהצורה שלו היא "x הוא אבא של y"
  • ניחוש: הראשון הוא ap והשני הוא Φμ
  • אפשר להציב כל קבוע אישי/שם פרטי במקום המשתנים ולקבל פסוק אטומי חדש
• במילים אחרות - הפרדיקט מתייחס לתכונה של פריט או יחס בין פריטים
• פרדיקט, למשל "x הוא אבא של y" הוא לא פסוק, שכן אין לו ערך אמת עצמאי.
• כדי להפוך פרדיקט לפסוק עלינו לנקוט באחת משתי דרכים:
• להציב שמות (קבועים אישיים) במקום המשתנים
• לקשור את כל המשתנים המופיעים בביטוי (וככה מגיעים לטיעון שנשאר ברמת המשתנים)

אקסטנציה (extension) של פרדיקט:

• כשאנחנו הופכים פסוק לפרדיקט, אנחנו יוצרים קשר-אפשרי בינו לבין כל הפרטים שיכולים להתאים למשתנים שלו. קבוצת הפריטים שהפסוק חל עליה באופן זה היא ה-'אקסטנציה' שלו.
  • למשל: עבור הפרדיקט "x היא עיר בירה", האקסטנציה היא קבוצת הפריטים הכוללת את כל ערי הבירה; "x הוא צהוב" כוללת את כל הפרטים הצהובים.
  • אם יש קונטקסט שמצמצם את הקבוצה, אם למשל המשפט הוא "ביבשת אירופה, x היא עיר בירה", אז כמובן שהאקסטנציה מצטמצמת לערי בירה אירופאיות בלבד.
• כאשר הפרדיקט הוא דו מקומי, האקסטנציה כוללת זוגות סדורים:
  • הכוונה היא שבפרדיקט כמו "x הוא אביו של y", אי אפשר לשים את כל האבות ב-x ואת כל הבנים ב-y, כי הם לאו דווקא האבות/הבנים זה של זה.
  • במקום, האקסטנציה כוללת 'זוגות סדורים' - כלומר מתאימים, של אבות-ובנים.
  • הסדר משנה! הזוג הסדור "גוקו-גוהאן" מתאים, כי גוקו מופיע ראשון, והמשתנה של האב, x, מופיע ראשון גם הוא.
  • "גוהן-גוקו" לא יהיה נכון מאותה סיבה...
• לפרדיקטים תלת-מקומיים מתאימות שלשות סדורות, לארבע-מקומיים רביעיות סדורות, וכן הלאה.

כמתים:

• כלומר ∀ ו-∃
• המשמעות שלהם היא כמו בלוגיקה אריסטוטלית: "כל ה-x הם...", "יש x שהוא...", שהם המקבילים ל- "אין x שהוא לא..." ו-"לא כל ה-x הם..." בהתאמה.
• מדובר באופרטורים: פונקציה הפועלת על חלק מסוים מנב"ך (לעומת הפונקציות, שפועלות על נב"ך בשלמותו בלבד). הכמתים פועלים על משתנים.

[[תרגילים - פרק 7 🏋️#תרגיל ב | תרגיל ב]]

תחום הדיון של תחשיב הפרדיקטים

• בשפה הטבעית, אנחנו מבינים על איזה "תחום" חלה אמירה מסוימת בהתאם לקונקטסט
  • למשל: "כמעט לכולם יש שתי ידיים" היא מן הסתם טענה שמתייחסת לכל בני האדם
  • "כולם נובחים" היא על כל הכלבים, וכו'
• כשאנחנו מצרינים פסוק, אנחנו מאבדים הרבה מהקונטקסט וצריכים להגדיר במפורש מה הוא תחום הדיון של הטיעון.
• המוסכמה שננהיג היא כלהלן: כאשר תחום הדיון הוא כל הפריטים שבעולם, לא נציין את התחום במפורש.
• כאשר התחום מצומצם מ-'כל הפריטים', למשל כל היונקים, כל המילים בעברית וכו' - נציין את תחום הדיון

הצרנה בסיסית

• בתחשיב הפרדיקטים, כל פסוק הוא מורכב יותר מאשר בתחשיב הפסוקים, כי אנחנו לא מתייחסים אליו כאל 'אות פסוקית' או 'פסוק אטומי' שלא ניתנים לפירוק.
• בתחשיב הפרדיקטים, אנחנו מתייחסים גם למבנה הפנימי של הפסוק, בכך שאנחנו פורטים אותו לפרדיקטים ולמציינים (קבועים ומשתנים אישיים).

• למשל: יהודית רביץ היא זמרת הוא פסוק שהיינו מצרינים פשוט כ-p, אבל בתחשיב הפרדיקטים נצרין אותו לפי מילון:

  Sx - תחילה נזהה את הפרדיקט, הטענה "X היא זמרת" היא פרדיקט חד-מקומי, כאשר האקסטנציה של x היא קבוצת כל הזמרות. אנחנו רושמים את ה-x כדי לבטא את הערכיות של הפרדיקט, אבל בפועל הוא יופיע עם מציינים אחרים בהתאם למס' המקומות. (לאו דווקא קבועים אישיים, יתכן שפשוט יופיע משתנה אישי אחר...) r - יהודית רביץ. הקבוע האישי שמופיע בפרדיקט Sx בצורתו הנתונה (יהודית רביץ היא זמרת)

• כשאנחנו בוחרים אותיות לביטוי משתנים, פרדיקטים וכו' - נעדיף לבחור לפי האות הראשונה במילה השלמה. אבל רק כאשר החוקים הכלליים מאפשרים זאת.

  • קראנו ל-Sx בשמו כי S=Singer; היינו מכנים את הקבוע האישי 'יהודית רביץ' כ-Y, אבל אות גדולה היא פרדיקט, ו-y קטנה היא משתנה אישי, לכן נבחרה r קטנה - ravitz.

• לאחר שבנינו את המילון, אפשר לבטא את יהודית רביץ היא זמרת כ-Sr

  • אפשר להבין מכך שאת הפרדיקטים קוראים 'הפוך': Sr נקרא כ-"r הוא S"

• כל שם 'ספציפי' הוא פרטי - למשל ב- אם ארקדי דוכין יופיע בצוותא אז מיכה שטרית ישמח יש לנו שלושה קבועים אישיים:

  a ארקדי דוכין m מיכה שטרית c צוותא << אפילו שזה לא בן אדם, זה שם ספציפי של מקום ספציפי ולא של משהו כללי

![[Pasted image 20250103133334.png]]

(בתחשיב הפסוקים הפסוק הזה יהיה p→q)

• ננסה עוד פסוק: אמיר לא יאחר, אבל הילה תתקשר אליו אלא אם כן הוא יתקשר אליה.

  • מתחילים מלקבוע את הצורה הכללית, כמו שעשינו בהצרנה בתחשיב הפסוקים: יש כאן קוניונקציה ('אבל' מבטא כאן "AND"), שאחד מהקוניונקטים שלו הוא דיסיונקציה מוציאה ("אלא אם כן" מבטא כאן 'או זה או זה - ולא שניהם').

  • ממשיכים בלקבוע את הפרדיקטים: לשים לב ששלילה היא פונקציית אמת, כמו בתחשיב הפסוקים, אנחנו לא הופכים אותה לחלק מהפסוק אלא כותבים אותו בצורתו החיובית בצירוף השלילה: הפרדיקט הוא "x יאחר" ולא "x לא יאחר".

    מילון: a - אמיר h - הילה Lx - איקס יאחר Cxy - איקס יתקשר ל-y (כמו בתחשיב הפסוקים, עלינו להשלים את השפה הטבעית כדי ליצור מבנים לוגיים מלאים - "הילה תתקשר אליו" הופך ל-"הילה תתקשר לאמיר" ו-"הוא יתקשר אליה" הופך ל-"אמיר יתקשר להילה".)

  • אמיר לא יאחר הופך ל: Lx שמציבים בו a זה La > יחד עם שלילה La¬

  • נצרין את הדיסיונקציה: הילה תתקשר לאמיר הופך ל- Cha (לשים לב שקוראים את המשתנים משמאל לימין, פשוט לפני הפרדיקט); אמיר יתקשר להילה הופך ל- Cah
  • הדרך הכי קלה להצרין דיסיונקציה מוציאה היא כ-שלילה של שקילות מטריאלית, אז ההצרנה המלאה היא כזו: La∧¬(Cha↔Cah)¬

הצרנה עם כמתים

• כעת נלמד להצרין את 4 הטענות הקטגוריות של אריסטו (AEIO)
• המשמעות של (כמת)x... היא: "יש/כל x בטווח הזה (של ...)".
• לשים לב שאפשר גם לשלול את הכמת, כדי להגיד למעשה "אין x בטווח הזה"

הצרנה של טענות ישיות מסוג I

• טענות של 'יש' (יש a שהוא b), למשל: יש נחש שהוא וורוד
• הטענה בעצם אומרת: יש פרט שהוא גם נחש, וגם וורוד.
• x יהיה הפרט, והוא יכלל בשני פרדיקטים: "x הוא נחש" ו-"x הוא וורוד".
• נבנה מילון:

  Sx - איקס הוא נחשב Px - איקס הוא וורוד

• נקבע את צורת הפסוק - ברור שנשתמש בכמת הישי ∃, ומה שהוא מבטא הוא שילוב של שתי פרדיקציות, כלומר קוניונקציה.

• צורת הפסוק: (x(Sx∧Px∃

  • הערות על שימוש בכמת:
  • לא לשכוח ששמים x מיד לאחריו. אנחנו לא כותבים "יש(מקרה של x ו- עוד מקרה של x)", אלא כותבים ישx(בטווח הזה של מקרים אפשריים של x).
  • בהמשך ל-1, צריך לוודא שאנחנו תוחמים נכון את הטווח של הכמת - אם לא היינו משתמשים בסוגריים, הנב"ך הקצר ביותר לאחריו היה Sx, ולא הקוניונקציה של Sx ושל Px. לכן יוצרים סוגריים.

הצרנה של טענות ישיות מסוג O

• לדוגמה: יש נחש שאינו וורוד
• נשתמש במילון מהדוגמה של טענות I
• אנחנו באמת רוצים להגיד: "יש x שהוא נחש, אבל הוא לא וורוד"
• אז נכתוב ככה: (x(Sx∧¬Px∃

הצרנה של טענות כללניות מסוג A

• לדוגמה: כל נחש הוא וורוד
• זה יכול להיות מבלבל - x בצורתו הפשוטה יכול להיות כל דבר בעולם.
• בטענות הישיות, עבדנו עם x בטענה ש-"עבור(כל הדברים בעולם), יש דבר שהוא (גם וורוד וגם נחש).
• במקרה הזה, לא נוכל להגיד "עבור(כל הדברים בעולם), כל פרט הוא (גם נחש וגם וורוד)" אנחנו מתכוונים רק ש"(עבור כל הדברים בעולם), כל פרט שהוא (נחש) הוא גם (וורוד)"
• זוהי למעשה התניה: "עבור(כל הדברים בעולם), אם פרט הוא (נחש) אז הוא גם (וורוד)"
• ולכן נצרין כך: (x(Sx→Px∀ (לשים לב שעברנו לכמת הכולל - ∀)
• העובדה שבטענת A מסתתרת התניה הייתה ברורה לאריסטו, והיא מקבלת ביטוי בריבוע הניגודים

הצרנה של טענות כללניות מסוג E

• לדוגמה: כל נחש אינו וורוד
• גם זה יכול להיות מבלבל - אנחנו בעצם רוצים להגיד "עבור(כל הדברים בעולם), אם דבר (הוא נחש), אז (הוא לא וורוד)"
• ואנחנו לא רוצים להגיד "עבור(כל הדברים בעולם), כל דבר ((הוא נחש) ו- (הוא לא וורוד))"

• לכן נצריך כך: (x(Sx→¬Px∀

• נלמד יותר לעומק את הקשר לריבוע הניגודים בפרק 8, כשנדבר על פשר ועל אמת בפשר

[[תרגילים - פרק 7 🏋️#תרגיל ג | תרגיל ג]]

צורות רב-כמתיות

• נעבוד כרגע עם פרדיקט דו-מקומי פשוט: x אוהב את y
• נצרין 4 משפטים:
• כל אחד אוהב מישהו
• לכל אחד יש מישהו שאוהב אותו
• כל מי שאוהב את עצמו, יש מישהו שאוהב אותו
• יש מישהו האוהב את כל מי שאוהב את עצמו

ניחושים: (x(Lxy∀ - עבור כל x יש(x אוהב את y) (y(Lxy∀ עבור כל y יש(x אוהב את y) לא נכון, אנחנו לא כותבים "עבור כל x(איקס אוהב את y)", אלא שקיים פרדיקט מסוג "x אוהב את y" עבור כל x. ניסיון שני: עבור כל x קיים y, כך שy אוהב את x

"כל אחד אוהב מישהו"

• נכתוב כמובן Lxy, אבל חשוב לציין שתחום הדיון הוא כל בני האדם (לא ניכנס ליכולת של פנדות לאהוב, וכמובן שפרטים דוממים אינם אוהבים אלא פיגורטיבית)
• ננסח את הפסוק מחדש בשילוב המשתנים: "עבור כל X קיים Y, כך ש-X אוהב את Y"
• עבור כל x זה בעצם x∀
• קיים y זה בעצם y∃
• x אוהב את y זה Lxy
• ההצרנה השלמה: x∃yLxy∀
  • בעצם אמרנו: "עבור (כל האנשים בעולם) יש (מישהו), ככה ש: "x אוהב את y"
• אז תיקון: המשמעות המילולית של כמתים היא "עבור כל/יש (משתנה), ככה ש(הנב"ך שבטווח שלהם)".

"לכל אחד יש מישהו שאוהב אותו"

• ננסח את הפסוק מחדש בשילוב המשתנים: "עבור כל x קיים y, כך ש-y אוהב את x"
• זה בעצם דומה מאוד להצרנה הקודמת, רק שבהופעה של הפרדיקט L בפסוק, נהפוך את סדר המשתנים... x∃yLyx∀

"כל מי שאוהב את עצמו, יש מישהו שאוהב אותו"

• ננסח מחדש את הפסוק: עבור כל x, אם x אוהב את x, אז קיים y כך ש-y אוהב את x

∀x(Lxx→∃yLyx) (עבור כל x(אם x אוהב את עצמו, אז יש y עבור (y אוהב את x))

אני קצת מסתבך עם להבין את המשמעות המדויקת של השימוש בכמתים, והחוברת חרא ולא עוזרת. כרגע נדמה לי שכולל זה "עבור כל x" וישי זה "יש x עבור". גם לא נראה נכון... אולי ככה: כולל: עבור כל... ישי: קיים, כך ש... וביחד זה "קיים... כך שעבור כל..." או "עבור כל... קיים ... כך ש-"

יש מישהו האוהב את כל מי שאוהב את עצמו

• ננסח מחדש את הפסוק: קיים x, כך שעבור כל y, אם y אוהב את y, אז x אוהב את y

∃x∀y(Lyy→Lxy)

• החוברת מעירה חצי-בצדק, שאי אפשר להפוך את סדר הכמתים, כי 'מישהו' ספציפי אוהב את כל מי שאוהב את עצמו, וזה לא שיש 'מישהו כלשהו' שאוהב את כל מי שאוהב את עצמו. זה כמובן חרטא, כי 'מישהו' היא מילה שיכולה לשמש הן כגנרית הן כאישית. אבל אנחנו לומדים על מציינים אישיים...

[[תרגילים - פרק 7 🏋️#תרגיל ד | תרגיל ד]]

הצרנות מורכבות:

• הצרנות עם יותר מכמת או פרדיקט אחד
• למשל: כל ישראלי שביקר בבנגקוק מכיר את רחוב קאוסאן
• נבדוק כמה פרדיקטים יש לנו כאן:
  • אחת: x ביקר ב-y (Vxy)
  • שתיים: x מכיר את Y (Kxy)
  • שלוש: x הוא ישראלי (*החוברת מסבירה ש-"כל ישראלי" היא טענה שמקבילה ל-"x הוא ישראלי". אני לא ממש מסכים - טווח הדיון הוא כל הישראלים ו-x הוא כל אחד. אחרת היינו צריכים לתרגם את "כל מישהו" בטיעונים קודמים ל-"כל אחד הוא מישהו".) (Ix)
• b - בנגקוק

• k - קאוסאן

• ננסח מחדש באמצעות המשתנים: עבור כל x, אם x הוא ישראלי ו-x ביקר בבנגקוק, אז x מכיר את רח' קאוסאן

• ונצרין: ∀x((Ix∧Vxb)→Kxk) **לשים לב: כאן מדובר במציינים קבועים, ולא במשתנים כמו בתרגיל ד... אז כותבים את הפרדיקט עם המציין הקבוע במקום עם המשתנה האישי...

• נבחן פסוק נוסף: כל אדם שביקר בקנצ'נבורי, ראה פיל

• פרדיקטים: x ביקר ב-y; וגם x ראה y

  מילון: Vxy - איקס ביקר בוואי Sxy - איקס ראה את וואי x הוא אדם, כלומר תחום הדיון הוא כל בני האדם k - קנצ'נבורי e - פיל

• ננסח מחדש באמצעות המשתנים: עבור כל x, אם x ביקר בקנצ'נבורי, x ראה פיל ∀x(Vxk→Sxe)

החוברת החליטה לעשות אחרת ולזיין את זה לגמרי. היא החליטה ש-'אדם' משמעותו "x הוא אדם" וש-'פיל' משמעותו "x הוא פיל". **זה בגלל שמשתנה או מציין כפי שהם, מציינים 'שם פרטי!'

• אז ננסה שוב:

  Hx - איקס הוא אדם Ex - איקס הוא פיל Vxy - איקס ביקר בוואי Sxy - איקס ראה את וואי x הוא אדם, כלומר תחום הדיון הוא כל בני האדם k - קנצ'נבורי

• החוברת טוענת גם שהטיעון כולל את העובדה שיש פיל שאותו האדם ראה! באיזה עולם זה חלק מהטענה?? יכול להיות שהוא ראה פיל בטלוויזיה, ראה פיל כי העיניים שלו דפוקות, נו בחייאת רב-רבאק...

• נבין את הפסוק ככה: ∀x((Hx∧Vxk)→∃y(Ey∧Sxy))

• נבחן עוד פסוק: תושבי צ'אנג-מאי ותושבי צ'אנג-ראי חיים בצפונה של תאילנד

אנחנו עובדים עם מציינים אישיים כי יש כאן 'כתובות פרטיות - לא כלליות' t - תאילנד m - צ'אנג מאי r - צ'אנג ראי Rxy - איקס תושב של וואי Nxy - x חי בצפון של Y

טוב, זה מתחיל לעצבן אותי כי זה שרירותי לגמרי. אין לנו כאן "x הוא תושב צ'אנג מאי", יש לנו פשוט "תושבי צ'אנג מאי". למה זה צריך להיות Rxm? "איקס תושב של צ'אנג מאי?" זה לא רלוונטי שזה יכול להיות פרדיקט!!!!

• קובעים את צורת הפסוק לפי הצורה הכללית: כולל אז כמת כולל, איפה יש התניות וכו'. זין על כולם.

![[Pasted image 20250103163716.png]]

לעשות את תרגיל ה' - אבל באמת, אני בטוח שאני אטעה ב-99% מהדברים. וזה בסדר.

[[תרגילים - פרק 7 🏋️#תרגיל ה | תרגיל ה]]

חידוד לעצמי

המשמעות של "FOR ALL" היא שכל ה-xים מתאימים לאמירה שבטווח של הכמת המשמעות של "EXISTS" היא שיש X אחד לפחות שמתאים לאמירה שבטווח של הכמת כל הגדרה שהיא ספציפית יותר מ-"דבר" היא טיעון: "פיל" = "x הוא פיל" וכן הלאה. כל דבר שמעורב בטיעון צריך להיות מוכרז כקיים (אדם ראה פיל = יש x ו-y ככה ש-x הוא אדם ו-y הוא פיל, ו-x ראה את y) צריך להבחין בין סוגים של משתנים: abc למשהו ספציפי לחלוטין ברמה של חנות ספציפית יש x כשמדובר ב-x ספציפי כלשהו עבור כל x כשזה נכון לכל ההגדרה, בלי שנצטרך לבחור איזה פרט מציבים ב-x

הצרנת טיעונים

(מחר!!!!)

• מדובר בהצרנה של טיעון, כפי שלמדנו - כמה טענות שבונות יחד מסקנה
• חשוב לדאוג שהמילון יהיה אחיד
• לדוגמה: נצרין את הסילוגיזם BARBARA:
• כל בני האדם הם בני תמותה
• כל היוונים הם בני אדם ∴ לכן כל היוונים הם בני תמותה
• נתחיל מלהפוך את הטיעונים ל-'פרדיקטים' בשפה הטבעית, נזכור שטענה כללית היא התניה ושטענה ישית היא קוניונקציה: (כללית זה "יש X ככה שאם X", ישית זה "יש X ככה ש-X הוא...")
• עבור כל X, אם X בן אדם, אז X בן תמותה
• עבור כל X, אם X יווני, אז X בן אדם

• לכן עבור כל X, אם X יווני, אז X בן תמותה

• נבנה את המילון: במקרה הזה, אין לנו שמות פרטיים (רק כלליים), לכן ניצור שלושה פרדיקטים:

  • פשוט צריך לזכור: אם זה לא שם פרטי, זה חלק מפרדיקט! אם זה שם פרטי-כלשהו, זה משתנה; ואם זה אחד ידוע - זה מציין קבוע!
  • כשמדו

• מילון: Hx - x בן אדם Mx - x בן תמותה Gx - x יווני

• ונצרין:

• ∀x(Hx→Mx)
• ∀x(Gx→Hx)

• ∀x(Gx→Mx)

• נעבור ל- "יש אדם האוהב כל אדם, לכן יש אדם האוהב את עצמו" > אם כתוב "כל" זו טענה כללית! גם פרדיקט יכול להיות ישי/כללי

  • קיים x ככה ש-x אדם, ועבור כל y, אם y אדם, x אוהב את y
  • לכן, קיים x ככה ש-x אדם, ו-x אוהב את x

∃x(Px∧∀y(Py→Lxy)) ∃x(Px∧Lxx)

עשיתי את זה כמעט נכון. למה חייב להגיד שעבור כל Y, אם Y אדם? כי זו טענה כללית. **באופן כללי, אנחנו צריכים "להכריז" על משתנים שאנחנו מציגים, אחרת הם לא קשורים! אם הייתי חושב על חוק הקשירה, הייתי מבין את זה. אם הצגתי משתנה אני תמיד ומראש צריך להסביר אם הוא חלק מטענה ישית או כללית.

• נצרין: אף אדם אינו מכבד אדם שאינו מכבד את עצמו. אף אדם לא יעסיק אדם שהוא לא מכבד אותו. לכן אדם שאינו מכבד אף אדם, לעולם לא יועסק על־ידי אף אדם.

• אף אדם אינו מכבד אדם שאינו מכבד את עצמו.

• אף אדם לא יעסיק אדם שהוא לא מכבד אותו.
• לכן אדם שאינו מכבד אף אדם, לעולם לא יועסק על־ידי אף אדם.

Hx - איקס הוא אדם Rxy - איקס מכבד את וואי Exy - איקס יעסיק את וואי

1. עבור כל x, אם x אדם, אז עבור כל y, אם y אדם ו-y לא מכבד את y, אז x לא מכבד את y

   לא לשכוח - טענות "אין" הן טענות כוללות ושליליות. ישית שלילית זה "יש S שאינו P"

∀x(Hx→∀y(Hy∧¬Ryy)→¬Rxy)

1. אף אדם לא יעסיק אדם שהוא לא מכבד אותו. עבור כל x, אם x אדם, אז עבור כל y, אם y אדם ו-x לא מכבד את y, אז x לא יעסיק את y ∀x(Hx→∀y(Hy∧¬Rxy)→¬Exy)

2. לכן אדם שאינו מכבד אף אדם, לעולם לא יועסק על־ידי אף אדם. לכן עבור כל x, אם x הוא אדם ועבור כל y, אם y אדם, אז x לא מכבד את y, אז עבור כל y, y לא יעסיק את x ∀x(Hx∧∀y(Hy→¬Rxy)→∀y¬Eyx)

התרגום שלי למשתנים היה מדויק, אבל החוברת הכניסה Z באמצע! היא מבדילה בין "אדם שאינו מכבד אף אדם", "האדם ש-X אינו מכבד", ו-"האדם שעשוי להעסיק את X"...

• שלבים לפירוק הצרנה (מקורי שלי):
• זיהוי פרדיקטים (חד מקומיים: תארים, הגדרות כלליות; דו+ מקומיים: יחסים של X - Y וכו' שאפשר להציב בהם כל מיני שמות פרטיים)
• זיהוי שמות פרטיים: להבין איפה יש אות קטנה (שם פרטי ספציפי), איפה יש משתנה (שם פרטי שיכול להשתנות) ולהבדיל מפרדיקט שהוא "שם כללי".
• להבדיל בין הופעות של אותם שמות!
  • אם יש פרדיקט כללי "x הוא אדם", **אדם הוא לא השם הפרטי (האפשרי). **
  • המשתנה שניתן להתאים לאדם הוא השם הפרטי.
  • כלומר: במשפט כמו "אם האדם הראשון רב עם האדם השני, האדם השלישי לוקח" יש לנו שלושה משתנים, כי יש כאן שלושה "שמות פרטיים" שנכנסים לקטגוריה של "אדם".
  • גם במקרה שאלה לא שמות פרטיים, אלא אפשרויות לשמות פרטיים כמובן - כל משתנה שהוא אדם יכול להתאים להיות x (אדם ראשון), y (אדם שני), z (אדם שלישי).
• לזהות את סוגי הטענות הקטגוריות: "כל/אף" - טענות כלליות, יגררו התניה; "יש, אין - טענות ישיות, יגררו קוניונקציה".
• לבנות את המשפט באמצעות משתנים: לזכור: יש "להכריז" על הקיום של כל משתנה. אם זו טענה ישית: הטענה שלנו היא ש-"יש Y עבור", ואם זו טענה כללית הטענה שלנו היא "עבור כל y ()".
• לא לשכוח את חוקי הכמתים: לא יכול להיות משתנה שמופיע בלי טענה ישית/כללית, כי אז הוא לא קשור, וכמובן שמשתנה לא יכול להיות קשור פעמיים.

(תרגיל ו)

לסיכום

![[Pasted image 20250106134314.png]]