2 לוגיקה אריסטוטלית

[[לוגיקה]]

כאמור, הלוגיקה האריסטוטלית מטפלת בסילוגיזמים בלבד. נדמה שזה מצמצם מאוד את תחום הדיון שלה, אבל ראוי לציין שעד המאה ה-19, התפישה המקובלת גרסה כי הלוגיקה האריסטוטלית שלמה, ואין אפשרות לטפל בצורה לוגית בטיעונים שאינם סילוגיזמים.
בלוגיקה המודרנית, הדבר משתנה בזכות שני הבדלים: 1) הלוגיקה המודרנית כזכור אינה תלויה בהנחת הקיום; 2) בלוגיקה המודרנית יש מובן ראשוני של 'תורת הקבוצות', שאינו מתקיים בלוגיקה האריסטוטלית.
*קאנט כתב ב-'ביקורת התבונה הטהורה' שהלוגיקה של אריסטו לא יכולה לקחת צעד אחורה, ולא יכולה לקחת צעד קדימה - דהינו שלמה ומושלמת.

~תמונות לוגיות
אחרי שהכרנו את המרכיבים של הלוגיקה האריסטוטלית (טענה קטגורית ומרכיביה, סילוגיזם ומרכיביו), זמן ללמוד את המערכת הלוגית עצמה, העוסקת בבדיקת התקפות של טיעונים:
1. כמו שלמדנו, במסקנה של סילוגיזם משתתפים תמיד S ו-P של הסילוגיזם, והמקומות שלהם קבועים, כ-S ו-P של המסקנה כטענה עצמאית.
2. ההנחה הראשונה של הסילוגיזם תמיד תכלול את P ואת M
3. לכן, סוגי הסילוגיזמים השונים הם בהתאם למיקום של S ושל P ביחס ל-M בכל אחת מההנחות, ועל כן ישנן 4 תמונות בסיסיות:
1.
M-P
S-M
2.
P-M
S-M
3.
M-P
M-S
4.
P-M
M-S

*התמונה הרביעית נוספה בימיה"ב, ולא נכללת בתורה של אריסטו עצמו.

ניסיון:
"פירות הם מזינים, שהרי פירות הם מזון טבעי וכל מזון טבעי מזין
כטענה:
1. כל מזון טבעי הוא מזין
2. כל פרי הוא מזון טבעי
3. לכן, כל פרי הוא מזין
(לזכור, ה-S וה-P של הטענה נקבעים לפי המסקנה, וכך יש לסדר את הטיעונים)
מדובר בסילוגיזם מסוג A-A-A
מזון טבעי = M
פרי = S
מזין = P
לכן יש לנו כאן סילוגיזם מסוג:
M-P
S-M
תמונה 3
\לא נכון - תמונה 1. זיהיתי נכון, פשוט הסדר המספרי אצלי לא זהה לחוברת. הסדר מאוד חשוב כי אנחנו מתייחסים לתמונות לפי "ראשונה, שניה וכו'". תוקן אצלי בסיכום.

תרגיל ד
א.
1. יש בן אדם שאינו בן תמותה
2. כל בעל חיים הוא בן תמותה
3. יש בעל חיים שאינו בן אדם
PM-SM תמונה שניה
ב.
1. יש חתולים מכוערים
2. יש חית בית שאינה חתול
3. יש חיית בית מכוערת
M-P
S-M
תמונה ראשונה
ג.
P-M
S-M
תמונה שניה
ד.
P-M
S-M
תמונה שניה
ה.
P-M
M-S
תמונה רביעית
\לא נכון. זה M-P; S-M. צריך לזכור שהטענה של P מופיעה קודם!!! תמונה ראשונה.
ו.
P-M
S-M
תמונה שניה
ז.
M-P
M-S
תמונה שלישית
ח.
P-M
M-S
תמונה רביעית
\שוב לא נכון, שוב התחלתי מהטענה של S. לזכור שהטענה של P קודם תמיד!!! זה M-P;S-M, כלומר תמונה ראשונה.
ט.
P-M
S-M
תמונה שניה
י.
P-M
M-S
תמונה רביעית
\שוב אותה טעות. מתחילים מהטענה של P!!!
לא לדאוג, כשאני מפרק לטיעונים ואז מרכיב אני יודע את זה. כשאני מנסה לעשות בראש, אני מתבלבל.
אפשר לעשות בראש, פשוט צריך לזכור את הדבר שאני יודע: ההנחה שכוללת את P (הנשוא) של הסילוגיזם היא הראשונה!!! ובאופן כללי, היא זו שמתקיים בה P...
החוברת מבלבלת בכוונה: הטענה עם P מופיעה לאחר הטענה עם S. פשוט להיות מוכן לזה, הטעיה ממש קלסית...

~אופנים:
על מנת לבדוק תקפות, עלינו לציין לא רק את התמונה של טענה, אלא גם את האופן שלה.
האופן מציין את סוג הטענות הקטגוריות שמרכיבות את הסילוגיזם.
כך למשל, סילוגיזם כמו:
1. כל A הוא B
2. כל B הוא C
3. כל A הוא C
הוא סילוגיזם מאופן A-A-A.
והתמונה: M-P; S-M, תמונה ראשונה.

התצוגה המשותפת לאופן ולתמונה היא הפרדתם במקף.
לצורך העניין, עבור הסילוגיזם ששימש להדגמה, התצוגה היא AAA-1
השילוב של התמונה והאופן מכונה 'תבנית', או 'תבנית הסילוגיזם'.
מבחינת אופנים, ישנן כידוע 4 אפשרויות, ובסילוגיזם ישנן 3 טענות שיכולות להביע כל אחת מהן.
לכן, ישנם 444 אופנים = 64 אופנים.
ישנן 4 תמונות בהן כל אופן יכול להתבטא, כך שישנם 64*4=256 תבניות של סילוגיזמים. האם כולם תקפים?

1. P-M
   S-M
   תמונה שניה
   EAE-2
   \טעיתי בסידור!!! לא לשכוח להתחיל מ-P, להמשיך ל-S ולסיים במסקנה...

2. M-P
   M-S
   III-3

3. P-M
   S-M
   EAE-2

4. P-M
   S-M
   OEI-2

5. P-M
   M-S
   4-EEI

6. P-M
   S-M
   IAA-2

7. M-P
   M-S
   3-IOO

8. M-P
   S-M
   AAA-1

9. M-P
   S-M
   III-1

10. M-P
    S-M
    OOO-1

~בדיקת תקפות:
בגדול, זה מאוד פשוט - אריסטו וחבריו ערכו רשימה של תבניות הסילוגיזמים התקפות.
אריסטו מצא שיש 4 תבניות תקפות, שאין צורך להוכיח את תוקפן. אלה הם "הסילוגיזמים המושלמים".
בנוסף, ישנם סילוגיזמים שתקפותם עומדת על תקפותם של הסילוגיזמים המושלמים - כל סיליגוזם כזה ניתן להוכחה באמצעות הסילוגיזמים המושלמים.
מה הם המושלמים? כל תמונה 1 - שאריסטו כינה גם "התמונה המדעית".
*לשים לב! בתמונה הראשונה יש 64 תבניות שונות! רק 4 מהן 'תבניות מושלמות'! אי אפשר לזכור שכל התמונה תקפה, צריך לזכור את ה-4 התקפות:
1. AAA-1
2. EIO-1
3. AII-1
4. EAE-1

כזכור מפיל' יוונית, בימה"ב ניתנו שמות לתבניות המושלמות, כאשר ההברות המרכיבות כל שם תואמות לאופנים המרכיבים אותו.
1. bArbArA
2. fEIrO
3. dArII
4. cElArnEt

כמו שלמדתי בפיל' יוונית, אריסטו ולאחריו הלוגיקנים של ימה"ב השתמשו בכל מיני מתודות כדי לבדוק את כל התבניות, ולצמצם את התבניות התקפות לאלה שנובעות בהכרח מהתבניות המושלמות בלבד.

בתמונה השניה יש לנו את:
EAE-2
AEE-2
EIO-2
AOO-2
EAO-2
AEE-2

בתמונה השלישית:
AAI-3
AII-3
EAO-3
EIO-3
IAI-3
OAO-3

וברביעית:
AAI-4
AEE-4
IAI-4
EAO-4
EIO-4
AEO-4

אין שום סיכוי שאני אזכור את כל אלה.

תרגיל 1
1.
M-P
S-M
AAA-1 תקף
2.
M-P
S-M
AEE-1 לא תקף
3.
P-M
S-M
AAE-2 לא תקף
4.
P-M
S-M
OOA-2 תקפה
\החוברת עשתה כאן טעות - לדווח...
5.
P-M
S-M
OAO-1 לא תקפה
6.
PM SM
AAI-1 לא תקף
7.
PM SM
AEE-1 לא תקף
\טעות! מדובר בתמונה 2. תמונה אחת זה PM MS. לא להתבלבל! מסתבר לי עם הזמן שמאוד קל להתבלבל בלוגיקה, אז הכל טוב ביחס לתרגילים, אבל לוודא מדי פעם שכשאני עושה את כל השלבים בכתב אני לא נופל על שטויות כאלה.
8.
MP MS
IAI-3 תקף
9.
PM SM
OAO-2 לא תקף
10.
MP SM
EAI-1 לא תקף

~מעגלי וון:
הוגים את זה VENN על שם JOHN VENN.
מתמטיקאי בריטי מהמאה ה-19.
בהשראת לאונרד אוילר, מתמטיקאי שוויצרי מהמאה ה-18, הציע את רעיון דיאגרמת ואן.
בכוחה להציג טיעונים סילוגיזמיים, וגם כמה טיעונים שהם לא סילוגיזמיים.
הגדרות יסוד של השיטה:
1. כל טענה מוצגת באמצעות מעגל אחד בלבד (וניתן להציגה כך)
2. כל שטח ש-'יש בו לפחות פרט אחד' מסומן ב-X, בעוד כל שטח 'ריק' נמחק
3. כך, באמצעות סימון של שטחים המכילים פרטים ומחיקת שטחים 'ריקים', ניתן לוודא תקפות של טיעונים מתאימים.

כך, ניתן להציג את ארבע הטענות הקטגוריות באמצעות מעגלים:
יש להבחין בין הטענות הקטגוריות עצמן, 4 ללא שמות מיוחדים, לבין האופנים*! האופן הוא 3 הטענות המרכיבות את הסילוגיזם.
1. "יש S שאינו P" - מסמנים X בחלק של S שאינו חופף ל-P, השאר נמחק.
2. יש S שהוא P - מסמנים X בחלק של S שחופף ל-P ואת השאר מוחקים
3. כל S אינו P - מוחקים את החפיפה
4. כל S הוא P - מוחקים את החלקים שאינם חופפים
(מעניין - טענות כוללניות דורשות שנמחק שטח ספציפי, בעוד שטענות ישיות דורשות שנציב X ונמחק את השאר).

*מעניין לשים לב - בשיטה של וון דווקא אין את הנחת הקיום!
טענה כוללת מבקשת שנמחק שטח, אבל לא מבקשת שנציב X במה שנשאר. (מראה לדעתי שהנחת הקיום לא עובדת במציאות עד כמה שהיא חומרית/חושית...).

תרגיל ז
4 - החוברת טועה, לדווח.
המשפט: רק מלצרים אינם סטודנטים
ההצרנה בפתרונות: כל סטודנט אינו מלצר
המשפט קובע שיש קבוצה, 'סטודנטים', שכל מי שאינו נכלל בה הוא מלצר (ולא מכוח העובדה שלא נכלל בה, אלא טרם זאת).
האם יכול להיות סטודנט שהוא מלצר? בטח, לא נאמר שאין מלצרים בקבוצת הסטודנטים. רק נאמר שמחוץ לזה, ישנם רק מלצרים.

~וידוי תקפות באמצעות דיאגרמת ון:
יש לזה כמה שלבים.
א. קודם כל ניצור את הדיאגרמה הקלסית הכוללת 3 מעגלים. יש לוודא שנוצרים כך 4 "שטחים" עבור כל מעגל:
1. חפיפה עם שני המעגלים הנוספים
2. חפיפה עם מעגל אחד בלבד
3. חפיפה עם המעגל הנותר בלבד
4. היעדר כל חפיפה עם יתר המעגלים

ב. נסמן במעגלים את ההנחות - מאחר שבכל הנחה משתתפים רק שניים, 'נתעלם' מהמעגל הנותר, נסמן גם עליו, כאילו הוא לא משתתף.
ג. מאחר שהנחות כוללניות דורשות שנמחק שטחים, וטענות ישיות דורשות שנסמן X על שטחים, יש להתחיל תמיד מסימון הטענות הכוללניות. כשאנחנו מציבים X - יש להציב אותו על השטחים שנותרו לא מחוקים בלבד. (גם אם היה אמור להופיע על חלק שנמחק).
ד. טענה תקפה היא כזו שלאחר סימון שתי ההנחות, היא למעשה מסומנת כבר מראש. (אין צורך להוסיף סימון שלישי על מנת לייצג אותה).

חשוב לזכור שכאשר לא מוצב X (בזכות טענה ישית) ולא נמחק שטח (בזכות טענה כוללנית) - המשמעות היא לא שיש/אין בו פרטים, אלא שהטענות אינן מספיקות כדי לקבוע זאת!
לעתים, אנחנו נדרשים לסמן X על שטח שמחולק לכמה תת-שטחים - למשל, אם יש P שאינו M, יתכן שה-X מסומן בשטח בו P ו-S חופפים ואינם נוגעים ב-M, בשטח בו P אינו חופף הן עם S הן עם M, או שהוא מסומן בשניהם ללא אבחנה.
*הפיתרון הוא לסמן שני Xים עם קו ביניהם - הקו מסמל שלא מדובר בשני פרטים שונים ("לפחות פרט אחד פה ולפחות פרט אחד פה"), אלא בביטוי יחיד של "לפחות פרט אחד", שלא ניתן לקבוע את מיקומו המדויק.

תרגיל ח
1. תקף
2. תקף
3. תקף רק אם יש הנחת קיום, אחרת לא
\טעיתי כאן, כנראה בסימון. לבדוק בהמשך למה אין לי כוח!!!
5. תקף
6. לא תקף
7. לא תקף
8. תקף
9. לא תקף
10. לא תקף
11. לא תקף

~מעבר לסילוגיזמים (רמז לבאות?)
מעגלי וון יכולים לשרטט גם טענות שאינן סילוגיסטיות - למשל טענות אם "או-או": "כל הילדים יפים, או שהם מכוערים".
אנחנו נבדוק רק טענות עם 3 מונחים לכל היותר, כדי להישאר בגבולות הדיאגרמה המקורית.

גם במקרים כאלה, בדיקת התקפות היא באותה שיטה - עלינו למצוא את המסקנה מסומנת במעגל מבלי להוסיף סימונים מעבר להנחות.
לשים לב - 3 מונחים יכולים לחזור על עצמם גם לאורך 10 טענות - העיקר הוא מס' המונחים/מעגלים בהתאמה.
שאר החוקים אותו דבר: מוחקים, מסמנים Xים, איפה שאין וודאות מסמנים דאבל X עם קו מקשר, ובודקים אם מתקיימת נביעה.
וון הציע גם מודל של 4 מעגלים (אני מניח שאי אפשר להמשיך עד אינסוף מבחינת ההיגיון המרחבי - לא ניתן לכלול מספיק חתכים שונים...) - אבל המודל הזה מאוד מסורבל ויזואלית.

*באופן כללי, לשים לב שבמקרה של דיאגרמת וון אין צורך "לסדר" את הסילוגיזם כך שיתחיל מP+M, ימשיך ל-P+S ויסתיים ב-S+P. או שמתחילים מהטענה הכוללנית, או שאם שתיהן ישיות - זה שרירותי. את המסקנה לא מסמנים כמובן.

~מגבלות הלוגיקה האריסטוטלית:

1. כמו שלמדנו כבר, הלוגיקה האריסטוטלית יוצאת מהנחת הקיום - כלומר, שבכל מעגל יש לפחות X אחד, איפשהו (כל מונח כולל לפחות פרט אחד).
2. השיטה של וון נובעת מהלוגיקה האריסטוטלית, אבל היא לא דורשת את הנחת הקיום - היא פועלת גם כאשר מעגל מסוים 'נמחק' לחלוטין בעקבות ההנחות (ומעגל שלא נעוץ בו X עשוי להיות ריק, אפשר לחשוב על זה כעל אפשרות).
3. אם ככה, למה מעגלי וון הם לא הלוגיקה המושלמת? מה חסר?

הבעיות הנותרות:
1. הלוגיקה האריסטוטלית עוסקת במונחים כלליים בלבד (ושיטת וון במעגלים כלליים בלבד, שבהם מופיעים פרטים): טיעון כמו "כל אדם הוא בן תמותה, סוקרטס הוא אדם, סוקרטס הוא בן תמותה" נמצא 'מחוץ לתחום הדיון' של הלוגיקה האריסטוטלית! זה כי אי אפשר לטעון לגבי הפרט עצמו "יש סוקרטס שהוא/שאינו X" (הרי, יש רק אחד, אין הבדל בין טענה ישית לטענה כוללת), ואי אפשר לטעון לגביו "כל סוקרטס" (שהרי סוקרטס אינו כלל! הוא מקרה פרטי בלבד).

1. הלוגיקה האריסטוטלית לא יכולה לעסוק במשפטים מורכבים: כאלה שכוללים יותר מקשרים של השתייכות או אי-השתייכות. דוגמה בולטת היא התניה. הטיעון "נלך לים או לבריכה; לא נלך לים; לכן נלך לבריכה" הוא תקף מבחינה מודאלית, אך לא ניתן להצרין אותו במסגרת הלוגיקה האריסטוטלית!

בלוגיקה המודרנית, קשרים מורכבים אלה נכללים תחת 'פונקציות האמת': תנאי, ברירה, חיבור, שלילה ועוד. לוגיקה זו מראה שהם פועלים לפי חוקיות לוגית קבועה שניתן להציג באמצעים צורניים. התוצאה הראשונית היא 'תחשיב הפסוקים'.
כבר בתקופה ההלניסטית התבצעו נסיונות לפיתוח של תחשיב פסוקים, אלא שהם התקיימו לצד הלוגיקה האריסטוטלית ולא כהרחבה שלה.

1. הלוגיקה האריסטוטלית לא יודעת להציג יחסים: למשל, טיעון כמו "יש אדם שאהוב ע"י כל בני האדם, לכן הוא אהוב ע"י עצמו" הוא כמובן נכון מבחינה מודאלית, אך אינו תקף מבחינת הלוגיקה האריסטוטלית! (אינו סילוגיזם תקף). ('יחסים 'מובדלים כאן מ-'תכונות', שהן הדבר שהלוגיקה האריסטוטלית נוגעת בו לכאורה).
   *תכונות במובן הזה הן שמות תואר. יחסים הם משהו אחר.

בשלהי המאה ה-19, לוגיקנים חיפשו דרכים להרחבת תחום הדיון של הלוגיקה האריסטוטלית המוכרת.
היו כל מיני לוגיקנים שהציעו חוקים לוגיים כתוספת לאריסטו, אבל את הקפיצה המשמעותית ביצע כידוע פרגה.
*על הנסיונות שקדמו לפרגה בפיתוח הלוגיקה המודרנית, ניתן לקרוא בהקדמה של גלעד ברעלי ל-'כתב מושגים'.

נעבור לתחשיב הפסוקים ולאחריו לתחשיב הפרדיקטים.

*נשאר לי תרגיל אחרון בדיאגרמות לעשות! כשיהיה לי כוח.