10 זהות

• אנחנו הולכים ללמוד על תוספת חדשה לשפת תחשיב הפסוקים/פרדיקטים, הזהות
• יש זהות סוג - שני פרטים שונים, שדומים זה לזה מבחינות מסוימות בלבד
• יש זהות פרט שהיא הזהות של a עם עצמו, כשמדובר באותו אובייקט ממש
• לזהות של פרט עם עצמו קוראים גם זהות חמורה - אם יש זהות חמורה בין a ל-b, בעצם יש פריט אחד שהוא שניהם
• הזהות נכתבת בדומה לפרדיקט, אבל במקום Lxy למשל, נכתוב x=y
• פרדיקט הזהות הוא חלק מהשפה הלוגית, לעומת פרדיקטים אחרים שהם חוץ-לוגיים.
• המשמעות היא ש"a זהה ל-b" הוא אמת לוגית שניתן לגזור ממנה ביטוי כמו "לכן b זהה ל-a", באופן שיהיה תקף לוגית
• אם היה מדובר ב-"a גדול מ-b" (יכל להיכתב Bab), היינו יכולים לגזור "לכן b אינו גדול מ-a" כטיעון תקף מודלית בלבד (תקף במקרה הזה), ולא כטיעון תקף לוגית
• כדי לחדד עוד יותר: כשאנחנו כותבים Bab, השפה הלוגית עוצרת ב-"יש פרדיקט דו מקומי כלשהו בשם B, והמציינים שלו הם ab". השפה הלוגית לא נכנסת לתוכן של הפרדיקט, לכן הוא תוכן חוץ-לוגי מהגדרתו; אי אפשר לגזור מסקנה לוגית ממשמעות חוץ-לוגית, ולכן אנחנו לא יכולים לגזור מסקנה צורנית (באופן שישמר תקפות צורנית) מהתוכן של פרדיקט. ניתן לגזור תקפות מודלית בלבד
• לא כך המצב עם זהות - הביטוי a=b הוא בעל משמעות לוגית ולכן ניתן לגזור ממנו למשל b=a כטענה לוגית.
• תקפות לוגית היא התקפות שאנחנו עוסקים בה בקורס: טיעונים שהם תקפים מודלית בזכות תקפותם הצורנית (תקפים נקודתית משום שכל טיעון החולק איתם צורה הוא תקף)
• שאלת ההתייחסות הלוגית לזהות היא נושא מורכב בפילוסופיה של הלוגיקה. הטיעון הכללי בעד יחס מיוחד לזהות הוא שהזהות היא רלוונטית בכל תחום דיון (בעוד שהגדרות כמו צבע, גודל וכו' רלוונטיות רק לעתים)
  • עוד על זה ב-Philosophy of Logic, פרק 5, Williard Van Orman Quine

סינטקס

• סימן הזהות נחשב לפרדיקט דו מקומי והסמל שלו הוא "="
• עם זאת, לא נכתוב =ab אלא a=b
• בשני הצדדים יהיו רק משתנים בודדים: לא פרדיקטים, לא אותיות גדולות, לא קבועים...

• נרחיב את הגדרת הנבך בהתאם: ![[Pasted image 20250129114824.png|500]]

• בתחתית השורה אם יש צורה תקינה של a=b פשוט מתייחסים אליה כאל נב"ך α, כמו ל-Abc לצורך העניין

• לשים לב שאת המציינים של הזהות אי אפשר לשלול כשלעצמם - a=¬b הוא דווקא לא נב"ך אלא רק a=b¬

[[תרגילים - פרק 10 🏋️#תרגיל א#|תרגיל א]]

סמנטיקה

• כזכור, הסמנטיקה של שיטה לוגית היא התנאים שבהם נקבע ערך האמת של הביטוי

• במקרה של תחשיב הפרדיקטים, זה קשור לפשר (למצוא את ההסבר בפרק 8)

• המוסכמה לגבי פרדיקט הזהות (=) בכתיבת פשר:

  • I(=) לא נהוג לכתוב, אבל נעשה רגע כאילו כן
  • הפשר הזה מונה את קבוצת כל הזוגות הסדורים האפשריים בתחום הדיון, כך שהאיבר הראשון בזוג והאיבר השני בזוג הם אותו האיבר
  • כלומר, אם יש לנו {a, b, c}, האקסטנציה של (=)I היא {, , <c,c}
  • חשוב לזכור את ההנחות שלנו לגבי תחום הדיון: כל פריט בתחום הדיון הוא ייחודי בזהותו
  • כלומר: אם a ו-b היו מקיימים זהות חמורה, לא היינו כותבים את שניהם. אם נכתב גם a וגם b, אנחנו מניחים שלכל אחד זהות ייחודית. כי כל זהות ייחודית נכתבת פעם אחת בלבד בתחום הדיון.

• זה בעצם אומר שהפרדיקט a=b אמיתי בפשר רק בתנאי שהאסקטנציה של = (פרדיקט הזהות) כוללת את הזוג הסדור

• אם הפשרים של a ו-b הם זהים, זה אומר שהם מציינים את אותו פריט בתחום הדיון

• זה עוזר לי קצת להבין מתי כותבים אסקטנציה לקבוע/משתנה:

• תחילה יש את תחום הדיון (דומיין) שמונה כל פריט "ממשי" בעל זהות ייחודית
• כשאנחנו רוצים לכתוב a או b וכו' בטיעון עצמו, אנחנו כותבים a אבל זה לא קובע לאיזה פריט אנחנו מרפררים
• לכתוב בפשר a=(a)I בעצם אומר "כשאנחנו כותבים a, זו אקסטנציה שכוללת את הפריט a מתחום הדיון"

• לכן, אמנם אי אפשר לכתוב בדומיין a ו-b כך ששניהם יהיו אותו פריט (כל אחד ייחודי), אבל אפשר "להמציא" קבוע b שהפשר שלו כולל את איבר c מתחום הדיון, ולעשות אותו דבר עבור קבוע a, ככה שיהיו לנו 2 קבועים (ולא 2 פריטים) שמצביעים על אותו הפריט.

• המשמעות של כל זה, היא ש-a=a הוא פסוק אמיתי בכל פשר (טאוטולוגיה) בעוד ש-a=b הוא קונטיגננטי (נכון בחלק מהפשרים בלבד)

• לא קשה להבין את זה: בכל מצב שבו יש לנו a, יש לפחות פריט אחת בדומיין, ו-a כולל בפשר שלו לפחות את הפריט הזה. לכן יש (a)I, וכמובן ש-(a)I זהה לעצמו
• לכן, יש זוג סדור <פשר(a), פשר (a)>, כי יש לפרדיקט הזהות כל זוג סדור שהוא זהה מהגדרתו

[[תרגילים - פרק 10 🏋️#תרגיל ב#|תרגיל ב]]

הצרנות כולל יידוע ומספור

הצרנת זהות רגילה

• דוגמה לשימוש בזהות בהצרנה: "יוסף סטאלין הוא כוסשליאבא כוסשליאמא" s - יוסף סטאלין g - כוסשליאבא כוסשליאמא s=g

• למעשה, בכל מצב שיש לנו שני שמות שמתייחסים לאותו פריט ("ממשי") בתחום הדיון

• לשים לב שאנחנו מתחילים מלהצרין שמות כ-קבועים. שם לא יכול להיות פרדיקט עם משתנה (Sx = x הוא סטלין) כי הוא לא לוקח x, הוא רק מרפרר באופן קבוע לפריט בתחום הדיון. לזכור את ההצרנות שעשינו, אם יש לנו שם פרטי ולא תואר או הגדרה - מצמידים קבוע ולא פרדיקט עם משתנה

• כמו שלמדנו, טענה מסוג a=b (זהות לא טריביאלית) עשויה להיות תקפה מודלית, אבל היא לא טאוטולוגיה (לא הכרחית צורנית).
• בעקבות המחקר של סול קריפקי ('שמות והכרח' - 1994), הפכה רווחת הטענה לפיה a=b היא טענה הכרחית, למרות שאינה טאוטולוגית (מה ההבדל בין הכרחית לטאוטולוגית? מה המשמעות של להגיד ש-a=b מתקיימת רק לפעמים, אבל שהיא הכרחית?)

צ'אט ג'יפיטי הסביר לי ממש יפה מה ההבדל בין טענה הכרחית ל-טענה מקרית תחתית השורה היא שטענה כמו Cab היא טענה קונטיגננטית ומקרית (אותה מילה למעשה): יש פשר מסוים שבו Cab הוא נכון, יש פשר שבו Cab הוא לא נכון... לא כך המצב עם a=b. ברגע שלמדנו ש-a=b, אז בכל פשר ('עולם') אפשרי שבו יש את השמות a ו-b, הפרדיקט a=b הוא אמיתי. זה קצת שונה מלהגיד שזו קונטיגננציה קלסית, כי יכול להיות פשר עבור טיעון a=b, שלפיו a=b זה F... אבל אם למדנו ש-a=b הוא T בפשר, אז בכל פשר עם a ו-b, מתחייב ש-a=b הוא T

במילותיו של הבוט:

הטענה שמובאת כאן מתבססת על הבחנה בין טאוטולוגיה לבין זהות הכרחית (necessary identity) כפי שהתפתחה בעבודתו של סול קריפקי. הטענה שמובאת כאן מתבססת על הבחנה בין טאוטולוגיה לבין זהות הכרחית (necessary identity) כפי שהתפתחה בעבודתו של סול קריפקי.

1. טאוטולוגיה – בפילוסופיה של הלוגיקה, טאוטולוגיה היא פסוק שהוא תמיד נכון בכל מצב אפשרי, כלומר, בכל מודל לוגי. לדוגמה, הטענה "כל רווקים אינם נשואים" היא טאוטולוגיה, כי היא נכונה בהגדרה. לעומת זאת, משפט מהצורה "a = b" (כגון "סטאלין = ג'וגשווילי") אינו טאוטולוגיה, כיוון שאין הכרח שהוא יתקבל כנכון מתוך חוקי הלוגיקה בלבד.

2. זהות הכרחית – קריפקי טוען כי אם שתי ישויות a ו-b הן למעשה אותה ישות בעולם האמיתי (כלומר, זהותן נכונה במציאות), אז זהות זו אינה מקרית אלא הכרחית. כלומר, אם a = b הוא אמיתי, אז הוא אמיתי בכל עולם אפשרי שבו a ו-b קיימים.

דוגמה לכך היא השם של אדם: -יוסף סטאלין ויוסף ויסריונוביץ' ג'וגשווילי הם שני שמות לאותו אדם. -למרות שזו אינה טאוטולוגיה (כלומר, איננו מסיקים זאת ישירות מהגדרות לוגיות בלבד), אם זה נכון, אז בכל מציאות אפשרית שבה סטאלין קיים, הוא חייב להיות ג'וגשווילי. -אי אפשר לדמיין עולם שבו סטאלין קיים אך אינו ג'וגשווילי, ולכן הזהות בין השמות היא הכרחית.

1. מה המשמעות של "הכרחיות" כאן? -אמירה מסוימת היא הכרחית אם היא נכונה בכל העולמות האפשריים שבהם המושגים שבה מתקיימים. -זה אומר שגם אם לא היינו יודעים מראש שa = b, עדיין ברגע שאנו מגלים שזה נכון, אנו מבינים שלא ייתכן שזה יהיה אחרת. -כלומר, אם אדם A הוא אדם B, אין שום עולם שבו הם לא אותו אדם.

2. מה ההשלכה של זה? -קריפקי חולק על רעיונות מוקדמים בפילוסופיה (כמו אלו של קוויין) שטענו שזהויות תלויות באופן שבו אנו מגדירים מילים ושמות. -קריפקי מראה שזהויות של שמות אינם עניין של הגדרה שרירותית אלא של עובדות מטאפיזיות: אם שני שמות מתייחסים לאותו ישות, אז הם בהכרח מתייחסים אליה בכל מצב אפשרי.

הצרנת זהות בשילוב משתנה

• לשים לב שאפשר גם להשתמש במשתנה ולהשוות אותו לקבוע של שם: "כל התלמידים חוץ משרה נכשלו" Px תלמיד Fx נכשל s שרה ∀x((Px∧¬x=s)→Fx) "עבור על איקס, אם איקס תלמיד ואיקס לא זהה לשרה, אז התלמיד נכשל"

תיאורם מיידעים

• ל-ה' הידיעה שני שימושים לוגיים בשפה הטבעית
• את הראשון למדנו, ייצוג של כמת כללי - למשל "הפיל הוא יונק" בא להגיד "עבור כל x, אם x הוא פיל, אז x הוא יונק"

• שימוש נוסף הוא כדי להצביע על פרט ספציפי באמצעות תכונה שלו, למשל "המחבר של מלחמה ושלום"

• מה המשמעות הלוגית של הצבעה מהסוג השני? למען האמת, פילוסופים התחבטו בכך לא מעט.

• אנחנו נכיר תשובה שכתב ברטנארד ראסל במאמר ידוע - "On Denoting" ("על ההצבעה")

• התשובה של ראסל הייתה כזו:

  • ראשית, יש לשאול האם יש מלך בצרפת. הטענה לא יכולה להיות נכונה כיום, כשאין.
  • שנית, יש לשאול האם יש יותר ממלך אחד בצרפת - כי זה משנה את המשמעות
  • שלישית, יש לשאול האם המלך אכן קירח
  • שלושת השאלות חשובות ולא עומדות בעצמן - אין משמעות לקביעה שהמלך לא קירח אם אין מלך, ואין משמעות לקביעה שיש מלך קירח אם יש עוד מלך...

• לכן, ראסל טוען ש-"המלך של צרפת הוא קירח" היא קוניונקציה של שלוש טענות: "יש מלך בצרפת כרגע" ∧ "אין יותר ממלך אחד בצרפת כרגע" ∧ "כל מלך צרפת נוכחי הוא קירח"

• ההצרנות של "יש מלך בצרפת" ושל "מלך צרפת קירח" הן קלות: "יש איקס ל-מלךבצרפת" ו-"עבור כל x, אם x הוא מלך בצרפת, אז x הוא קירח".

• אבל מה לגבי ההצרנה של "אין יותר ממלך אחד בצרפת כרגע?" איך מצרינים התייחסות לכמות הפריטים בתחום הדיון שעונים להגדרה מסוימת? אנחנו בעצם רוצים להגיד: "בתחום הדיון, יש פריט אחד בלבד שנכלל באקסטנציה של K (מלך)". לדעתי: נגיד שהאקסטנציה של K זהה ל-x; זה בעצם אומר שיש פרט אחד בתחום הדיון, שהאקסטנציה של K זהה לו (ולכן כוללת אותו בלבד). התשובה: לא נכון. כלומר, אולי גם שלי נכון, אבל החוברת מסבירה שאנחנו רוצים להגיד "אם יש x שהוא F וגם יש y שהוא F, אז x=y" (כלומר, כל פריט שהוא F, הוא אותו פריט, לכן יכול להיות רק פריט אחד תחת F).

• המרכיבים של הקוניונקציה עבור תיאור מיידע הם:

  1. תנאי הקיום (יש x עבור F...)
  2. תנאי היחידות (הביטוי שמגביל את כמות הפרטים - "אם יש x שהוא F וגם y שהוא F, אז x=y")
  3. תנאי הפרדיקציה (עבור כל x, אם x הוא F, אז x הוא...) ככה למשל: "הרוצח של רבין בכלא" = "יש x עבור הרוצח של רבין"; "אם יש x שהוא הרוצח של רבין וגם y שהוא הרוצח של רבין, אז x זהה ל-y"; "עבור כל x, אם x הוא הרוצח של רבין, אז x הוא בכלא"

• אחרי שבנינו 3 טענות, לרוב אפשר לאחד אותן לטענה אחת (שהיא פשוטה יותר מ-3 קוניונקטים) ניתן לראות את המעבר בין הצורות בדוגמה הזו (מהתשובות שלי לתרגיל ד):

1. אם קיים x כך ש-x הוא המחבר של a, וקיים y כך ש-y הוא המחבר של a, אז x זהה ל-y; עבור כל x, אם x הוא המחבר של a, אז x זהה ל-t ∃x(Axa)∧(∃x(Axa)∧∃y(Aya))→x=y)∧∀x(Axa→x=t)

   1. קיים x כך ש-x הוא המחבר של a, ועבור כל y, אם y הוא המחבר של y אז y זהה ל-x, ו-x זהה ל-t

∃x(Axa∧∀y(Aya→y=x))∧x=t)

• את הרכיב של תנאי היחידות אפשר לקצר די משמעותית: במקום "אם קיים x שהוא F וגם y שהוא F אז x ו-y זהים", אפשר לעשות "עבור כל x ו-y, אם Fx וגם Fy אז x זהה ל-y"

• חשוב לשים לב שהטענה הזו כלשעצמה לא מבטיחה שיש לפחות פריט אחד בתחום הדיון שהוא F, אלא שאם יש כפילות, זה אותו פריט. אם אנחנו משלבים עם תנאי הקיום. גם פה אפשר לקצר:** במקום לכתוב "(תנאי יחידות)∧(תנאי קיום)", נעשה: "קיים x כך ש-Fx, ועבור כל y, אם Fy אז y=x". (אנחנו בעצם אומרים - קיים x לפרדיקט, ועבור כל y, אם גם הוא בפרדיקט, אז הוא x)

פסוקים מספריים

• איך נצרין את הטענה שיש לפחות שני פריטים שהם F בתחום הדיון? אי אפשר להמיר את הטענה הכללית בטענה ישית, כי זה יגיד "יש בין 1 לאינסוף" בנוסף, אנחנו צריכים לוודא שכל פריט הוא ייחודי - אם x ו-y שניהם F והם זהים, למעשה יש לנו בתחום הדיון רק פריט מתאים אחד

• הצורה הנכונה להצרנה הזו היא:

  1. "קיים x וקיים y... (תנאי הקיום - נגדיר אילו משתנים קיימים במינימום, זה למעשה מעורבב כאן עם היחידות, כי כל משתנה שנפתח הוא ייחודי)
  2. כך ש-x הוא F וגם y הוא F... (תנאי הפרדיקציה - מגדירים מה הפרדיקט של המשתנים)
  3. וגם לא נכון ש-x זהה ל-y (תנאי היחידות - אפשר להגיד. ב-1 הגדרנו כמה משתנים יש, וכאן אנחנו מגדירים שהם ייחודיים ולא זהים אחד לשני).

• אז למדנו להצרין "יש לפחות 2 פריטים ל-"F", אבל איך נגביל את זה ל-2 פריטים בלבד? צריך להוסיף שיש 2 פריטים ל-F לכל היותר: היה לנו את ∃x∃y((Fx∧Fy)∧¬x=y) שאומר "לכל הפחות 2 פריטים ל-F"

  כדי להוסיף שיש לכל היותר שניים, נוסיף קוניונקט כזה: ∀x∀y∀z((Fx∧Fy∧Fz)→(x=y∨x=z∨y=z))

  אנחנו בעצם אומרים "עבור כל x,y,z (עבור שני המשתנים שיש במינימום + משתנה נוסף), אם כל המשתנים הם F, אז אחד מהמשתנים זהה למשתנה אחר"

  (אותו אופן שאנחנו מגבילים בו להתאמה אחת - רק עם מס' משתנים של n+1 כאשר n הוא מספר המשתנים שיש לכל הפחות - כפי שכתבנו בהצרנה המספרית)

  אפשר גם לקצר ולכתוב התניה רק עבור המשתנה השלישי (n+1), ככה: ∀z(Fz→(z=x∨z=y))

  (בעצם אמרנו - "עבור כל z בלבד (משתנה שלא נכלל בתנאי המינימום), אם z הוא F, אז z זהה לאחד המשתנים שהגדרנו במינימום)

• אז כדי לחדד: בתיאור מיידע אנחנו קובעים שאפשר שיהיה פריט אחד ייחודי עבור פרדיקט. זה אומר לכל היותר. בפסוק מספרי אנחנו מוסיפים קביעה לגבי מס' הפרטים הייחודיים שיש לכל הפחות, ומחברים אותה (אם צריך) לקביעה לגבי כמות הפריטים לכל היותר. (הקביעה הזו תהיה דומה לקביעה של התיאור המיידע, אבל מותאמת למס' הפריטים שקבענו כמינימום+1)

• כשיש לנו שלושה פריטים או יותר: זה לא מאוד שונה, מתחילים מטענה לפיה יש לכל הפחות n אובייקטים שהם F וממשיכים לטענה לפיה יש לכל היותר n אובייקטים שהם F

  בטענה הראשונה, חשוב לוודא שאנחנו שוללים כל זהות אפשרית בין השלושה - אם יש x,y,z אנחנו צריכים לשלול גם זהות בין x=y וגם זהות בין y=z

  בטענה השניה, נצטרך להשתמש ב-4 משתנים ולהגיד שאם אחד מהם F, אז אחד מהם זהה לשני. נבנה את זה כקוניונקציה של קוניונקציות, באופן הבא: (Fx∧Fy)∧(Fz∧Fx1) צריך לזכור שזה לא כ"כ מ שנה איך בנינו את הצמדים, כי הכלל גם ככה מופעל רק אם כל המשתנים הם F

• כמה חידודים חשובים: בתיאור מיידע, אנחנו משתמשים ב"לכל היותר פריט 1" - שם משתמשים בx=y רגיל, כדי להגיד שאם יש y שמתאים ל-F (כאשר גם x מתאים ל-F), אז x הוא y. לשים לב לצורה שמשלבת טענה ישית עם ההגבלה של לכל היותר (הקיצור)

  בפסוק מספרי, אנחנו משלבים "לכל היותר n פריטים" עם "לכל הפחות n פריטים": לכל היותר: אם יש יותר מפריט אחד, נשתמש בכמתים כוללים לפי n+1 כאשר n הוא מס' הפריטים שיש לכל הפחות (כמו שבתיאור מיידע, מדובר בפריט אחד, אז נוסיף y אחד ל-x שהוא הפריט הזה) (לא לשכוח את הקיצור שמחבר לטענה ישית)

  לכל הפחות: זה האחד שייחודי לפסוק מספרי. אנחנו משתמשים בשלילה כדי להגיד שהפריטים הייחודיים דווקא לא יכולים להיות אותו פריט.

  אם מדובר במבנה של "לכל היותר" ובמס' פריטים ייחודיים גדול מ-1, נלך למבנים של פסוק מספרי; אם רק 1 נלך למבנים של תיאור מיידע (ונבחר במבנה שמשלב טענת קיום עם טענת היחידות).

[[תרגילים - פרק 10 🏋️#תרגיל ה#|תרגיל ה]]

תכונות יחסים

• תכונות היחסים מתחלקות ל: רפלקסיביות (החזרה), סימטריות (הדדיות), טרנזיטיביות (העברה).

רפלקסיביות

• כל יחס הוא או רפלקסיבי, או אי-רפלקסיבי או לא-רפלקסיבי -- לשים לב שיש הבדל בין "אי-" לבין "לא-"

• יחס הוא רפלקסיבי אם הוא מתקיים בין כל פריט בתחום הדיון, לבין עצמו נניח, R אומר "בדיוק בגובה של-", אז Rxx הוא יחס רפלקסיבי. הטענה ש-R הוא יחס רפלקסיבי (מייחס כל פריט בתחום הדיון לעצמו) תוצרן כמובן כך: ∀xRxx

• יחס הוא אי-רפלקסיבי אם הוא לא משייך אף פריט בתחום הדיון לעצמו (הפוך מרפלקסיביות) נניח, אם R אומר "x הוא אביו הביולוגי של y", אז R הוא פרדיקט אי-רפלקסיבי ההצרנה היא כמובן כך: ∀x¬Rxx

• יחס הוא לא-רפלקסיבי אם הוא משייך רק חלק מהפריטים בתחום הדיון לעצמם (ערבוב של רפלקסיביות ואי-רפלקסיביות) למשל, אם R אומר "x אוהב את y", חלק מאיתנו אוהבים את עצמם וחלק לא, לכן זה פשוט לא-רפלקסיבי.

  ההצרנה היא פשוט השלילה של שתי האפשרויות הנותרות: ¬∀xRxx∧¬∀x¬Rxx

  אפשר גם להצרין באמצות טענות ישיות שאינן שלולות, זו בעצם המרה של Q.N.: ∃x¬Rxx∧∃xRxx

סימטריות

• גם כאן, יש לנו או יחסים סימטריים, או א-סימטריים או לא-סימטריים.
• יש גם יחסים אנטי-סימטריים, אבל הם סוג מיוחד של יחסים שמתאימים גם לאחת משלושת הגדרות הבסיס

• יחס הוא סימטרי אם עבור כל שני פריטים, אם הראשון מתייחס לשני, אז גם השני מתייחס לראשון אם מדובר ביחס R, "איקס נשוי ל-y", אז כמובן שגם "y נשוי לאיקס" הוא נכון. R סימטרי. ההצרנה של היחס מתבצעת כך: ∀x∀y(Rxy→Ryx)

• יחס הוא א-סימטרי אם עבור כל שני פריטים בתחום הדיון, אם הראשון מתייחס לשני, אז השני לא מתייחס לראשון (ההפך מסימטרי) אם מדובר ביחס R, "מספר x בא אחרי מספר y", אז כמובן שזה לעולם לא מתקיים הפוך ההצרנה היא כמובן: ∀x∀y(Rxy→¬Rxy)

• יחס הוא לא-סימטרי אם הוא לא סימטרי ולא א-סימטרי, כלומר יכולה להיות סימטריות עבור פריטים מסוימים, אבל יכולה גם להיות א-סימטריות עבור אחרים למשל עבור יחס R, כשהוא אומר "x אוהב את y", מאחר שיש אהבות הדדיות, אבל לא כולן כאלה... כמו ברפלקסיביות, ההצרנה היא קוניונקציה של שלילת הסימטריות והא-סימטריות: ¬∀x∀y(Rxy→Ryx)∧¬∀x∀y(Rxy→¬Ryx)

  ==וכמו עם לא-רפלקסיביות, אפשר להמיר לוגית לטענות ישיות חיוביות: ∃x∃y(Rxy∧¬Ryx)∧∃x∃y(Rxy∧Ryx)== זה לא נכון, לעבור על זה

  לאחר בדיקה: ברפלקסיביות זו לא המרה לוגית. מה שכתבתי ומודגש הוא נכון - פשוט החלפנו טענה של "לא עבור כל x וכל y (סימטריות), ולא עבור כל x וכל y (אי-סימטריות)" בטענה של "יש x ו-y (שמקיימים סימטריות), ויש x ו-y (שלא מקיימים סימטריות)"

• יש גם אנטי-סימטריות: מתקיימת בכל פסוק שאם הוא מקיים סימטריות, אז הוא מקיים זהות בין הפרטים הסימטריים כלומר, אם Rxy סימטרי, אז Ryx גם נכון, ובאנטי-סימטריות המשמעות היא בנוסף ש x=y למשל, אם R אומר "x גדול או שווה ל-y". מאחר שהסימטריות תתקיים רק עבור פריטים שווים, אפשר להגיד שאם Rxy אז גם Ryx וגם x=y ההצרנה היא כך: ∀x∀y((Rxy→Ryx)→x=y)

==זה לא לגמרי מדויק, אנטי-סימטריות אומרת שאם יש סימטריות, אז יש זהות, כלומר, יכול להיות פסוק שהוא לא-סימטרי, אבל איפה שיש סימטריות הוא מקיים גם זהות.

טרנזיטיביות

• שוב, כל יחס הוא או טרנזיטיבי,או אין-טרנזיטיבי או לא-טרנזיטיבי

• יחס הוא טרנזיטיבי אם עבור כל שלושה פריטים, אם הראשון מתייחס כך לשני, והשני לשלישי, אז הראשון לשלישי. זה בעצם מאפיין כל יחס שמקיים את הנוסחה "אם ab וגם bc אז ac" למשל אם R אומר "שווה ל-", אז כמובן שאם a=b וגם b=c, אז a=c ההצרנה: ∀x∀y∀z((Rxy∧Ryz)→Rxz)

• יחס הוא אין-טרנזיטיבי אם עבור כל שלושה פריטים, אם הראשון מתייחס כך לשני, והשני לשלישי, אז הראשון לא מתייחס כך לשלישי. (הפוך מטרנזיטיביות) למשל אם יחס R אומר "x קטן מ-y ב-1 בדיוק", אז ברור שאם a=1 ו-b=2, וb=2 ו-c=3, היחס לא מתקיים בין a ל-c ההצרנה: ∀x∀y∀z((Rxy∧Ryz)→¬Rxz)

• לא-טרנזיטיביות היא, שוב, המצב בו הפסוק אינו טרנזיטיבי ואינו אין-טרנזיטיבי (אין חוקיות גורפת) למשל, R אומר "הגובה של x שונה מהגובה של y", יכול להיות שabc שווים ל-123 והכל טוב. אבל גם יכול להיות שabc הם 121 ואז זה לא טרנזיטיבי. ההצרנה היא כמובן שלילת שתי האפשרויות: ¬∀x∀y∀z((Rxy∧Ryz)→Rxz)∧¬∀x∀y∀z((Rxy∧Ryz)→¬Rxz)

  ו==שוב, אפשר להמיר לוגית: ∃x∃y∃z((Rxy∧Ryz)→Rxz)== לא, לבדוק

  לאחר בדיקה: גם בטרנזיטיביות זו לא המרה לוגית. מה שכתבתי ומודגש הוא נכון - פשוט החלפנו טענה של "לא עבור כל x וכל y (טרנזיטיביות), ולא עבור כל x וכל y (אין-טרנזיטיביות)" בטענה של "יש x ו-y (שמקיימים טרנזיטיביות), ויש x ו-y (שלא מקיימים טרנזיטיביות)"

קשרים בין היחסים

• לתכונות היחסים יש קשרים של תלות:

  1. אם יחס הוא א-סימטרי, הוא בהכרח גם אי-רפלקסיבי אפשר להוכיח זאת כך: ∀x∀y(Rxy→¬Ryx) ∴∀x¬Rxx

  2. אם יחס הוא אין-טרנזיטיבי, הוא גם אי-רפלקסיבי.

  3. אין יחס שהוא גם טרנזיטיבי וגם רפלקסיבי, אבל הוא א-סימטרי
  4. כאשר יחס הוא גם רפלקסיבי, גם סימטרי וגם טרנזיטיבי יחד - מדובר ביחסי שקילות למשל, יחס הזהות הוא יחס שקילות ∀x x=x ∀x∀y(x=y→y=x) ∀x∀y∀z((x=y∧y=z)→x=z) אין אפשרות לבנות פשר שיחס הזהות בו לא רפלקסיבי, לא סימטרי או לא טרנזיטיבי. זה כמובן בגלל ההגדרה של יחס הזהות בפשר - הוא חייב לכלול את כל הזוגות הסדורים הזהים...

• מכיוון שהטענה יחס הזהות הוא טרנזיטיבי היא טאוטולוגיה (נכונה תמיד), הטיעון הבא תקף צורנית:

  1. רומן הוא גארי
  2. גארי הוא אמיל
  3. לכן רומן הוא אמיל

• אנחנו נלמד כיצד להוכיח את התקפות של טיעון כזה באמצעות עצים ודדוקציה טבעית, ברגע שנלמד את החוקים שמוסיפים את כלל הזהות.
  זה כדי שנוכל להבדיל בין טיעון דומה שאינו תקף צורנית:

  1. מוריה גדולה יותר מליאור
  2. ליאור גדולה יותר מנעם
  3. לכן מוריה גדולה יותר מנעם

  זה טיעון תקף מודלית, אך לא צורנית. זה בגלל שהיחס "גדול יותר" הוא חוץ-לוגי, ולכן לא מובן מאליו שהוא טרנזיטיבי. על מנת לטעון שהוא טרנזיטיבי עלינו להוסיף הנחה: ∀x∀y∀z((Bxy∧Byz)→Bxy)

• הסיבה שהטיעון המקורי תקף מודלית מוסברת ע"י כך שההנחה המובלעת שהוספנו היא טענה הכרחית: זה נושא סופר מעניין שאני רוצה לקרוא עליו עוד. בגדול, טענה הכרחית היא כמו שלמדנו, טענה שאם היא נכונה בעולם אפשרי אחד, היא נכונה בכל עולם אפשרי. יש התנגדויות בולטות מאוד למושג ההכרח בלוגיקה:

  1. קווין - "שתי דוגמאות לאמפיריציזם"
  2. ויטגנשטיין - "מאמר לוגי פילוסופי"

  באופן כללי, כמו שלמדנו היטב, יש טיעונים רבים שתקפים מודלית בשפה הטבעית, אך אינם תקפים צורנית בשפה הלוגית. כמו בדוגמה הזו, רבים מהם יתבררו כתקפים צורנית לאחר שנוסיף הנחות מובלעות על תכונות היחסים שמעורבות בהם. (בהתאם למושג ההכרח הלוגי)

[[תרגילים - פרק 10 🏋️#תרגיל ו|תרגיל ו]]

זהות בעצי אמת

כלל הסתירה

• ענף שכולל זהות סותרת, כמו ¬a=a, הוא ענף סגור זה מאחר שזה מצב לא אפשרי, לא תקף

כלל ההמרה

• בפסוק מהצורה a=b, כאשר יש לנו פרדיקט שכולל את אחד המשתנים, עלינו לכתוב את הפרדיקט שוב, כך שכל מופע של המשתנה הראשון יוחלף בשני אם נתון a=b וגם Fa, יש להוסיף Fb; עבור Faaa נוסיף Fbbb

• נעצור את ההמרה באמצע אם אחת ההמרות שביצענו הובילה לסגירת הענף נניח שיש לנו גם a=b, Fa, Faa, ¬Fb - אז לא נצטרך להגיע ל-Fbb בגלל ש-Fb יסגור את הענף.

• "שימו לב: אנו מניחים כי אם פריט מספק נוסחה בפשר, הוא מספק את אותה נוסחה גם אם נקרא לו בשם אחר. כלומר אנו מניחים שתכונותיו של פריט אינן תלויות בדרך שאנו מציינים אותו. הנחה זו מבטאת את העובדה שבלוגיקה אנו עוסקים רק בהקשרים אקסטנציונאליים. בהקשרים אינטנציונאליים הזהות לכאורה אינה מתקיימת — בטרגדיה אדיפוס, אדיפוס התכוון להרוג את הזקן שפגש בדרך אך לא התכוון להרוג את אבא שלו למרות שהזקן שאדיפוס פגש בדרך ואבא של אדיפוס הם שני שמות של אותו אדם."

  זה מעניין, קשר אקסטניוצלי קשור כשמו, לאקסטנציה. כלומר, הזהות האמתית היא זו שמגדירה את הפריט, ולא השם שלו. במציאות, לעתים יש קשרים אינטנציונליים - יכול להיות יחס כמו "E", שאומר "אדיפוס לא רוצה להרוג את x". זה יהיה נכון על פריט a שהוא הזקן, אבל לא נכון על פריט b שהוא אביו של אדיפוס - למרות שמתקיימת ביניהם זהות.

[[תרגילים - פרק 10 🏋️#תרגיל ז|תרגיל ז]]

זהות בדדוקציה טבעית

כלל זהות 1 (I.d.)

• קובע ש-x=x היא טאוטולוגיה כלומר שמכל נוסחה α, ניתן לגזור x=x (כאשר α נבך), ולא צריך לציין מס' שורה כשמפעילים את הכלל (זה יהיה שרירותי). מדובר בכלל היסק

כלל זהות 2 (I.d.)

• קובע שאם יש x=y אפשר לכתוב y=x הסימון יכלות את השורה שהפעלנו עליה את הכלל, ואת הסימן I.d. זהו כלל חילוף שניתן להפעיל גם על חלקי נוסחאות

כלל זהות 3 (I.d.)

• קובע שאם x=y, אז כל תכונה של x היא גם תכונה של y אם x=y וגם Px, אז אפשר לגזור מכך ש-Py הסימון כולל את מספרי השורות שעליהן מופעל הכלל, ואת הסימן I.d. זהו כלל היסק (על נוסחה שלמה בלבד)

כלל זהות 4 (I.d.)

• קובע שאם פרדיקט כלשהו חל על x, ולא חל לגבי y, אז x=y¬ מסמנים כמו כלל 3 - את מספרי השורות שעליהן הכלל מופעל, ו-I.d.