תרגילים פרק 8 🏋️

תרגיל א

![[Pasted image 20250111194828.png]]

עשיתי ניסיון ראשון לא נכון כי בלבלתי בין הדומיין (מצויין בהתחלה) לבין הקבועים המוגדרים - a ו-b. ניסיון חוזר לפי תחום הדיון עצמו

1. אמת כי נכון עבור c
2. אמת כי אפשר שיהיה Cca
3. שקר כי אם Ax ו-Bx אמתיות, x הוא c. אין זוג סדור של c, b באקסטנציה של C.
4. אמת כי אפשר ש-Aa ו-Cab
5. אמת כי הרישה שקרית

עכשיו נכון. לשים לב לצורת הכתיבה הנכונה: "אמת כי **c מספק את הנוסחה ..."

תרגיל ב

![[Pasted image 20250111210035.png]]

1. 1. הפסוק נכון בפשר אם יש פריט בתחום הדיון המספק את הנוסחה Px∧Rxa
   2. האקסטנציה של פרדיקט P היא קבוצה ריקה, לכן אין פריט שיספק את הנוסחה Px∧Rxa
   3. לכן, ערך האמת של הנוסחה הוא שקר
2. 1. הפסוק נכון בפשר אם יש פריט בתחום הדיון שיספק את הנוסחה Px∨Rxa
   2. כל המספרים הם כפולות של 1 ולכן כל פריט בתחום הדיון מספק את Rxa
   3. לכן ערך האמת של הנוסחה הוא אמת
3. 1. הפסוק נכון בפשר אם קיים פריט בתחום הדיון המספק את הנוסחה xRxy∀
   2. הפסוק xRxy∀ נכון בפשר אם כל פריט בתחום הדיון מספק את הנוסחה Rxy
   3. הפריט a בתחום הדיון מספק את xRxy∀ אם כל פריט בתחום הדיון מספק את Rxa
   4. כל המספרים הם כפולות של 1, כך שכל פריט בתחום הדיון מספק את Rxa
   5. לכן a מספק את xRxy∀
   6. ומאחר שקיים פריט בתחום הדיון המספק את xRxy∀, ערך האמת של הפסוק הוא אמת
4. 1. הפסוק אמיתי אם כל הפריטים בתחום הדיון מספקים את הנוסחה yRxy∃
   2. הפריט a בתחום הדיון יכול לספק כל Rxa
   3. לכן כל הפריטים בתחום הדיון מספקים את yRxy∃
   4. לכן ערך האמת הוא אמת

נכון, החוברת מוסיפה ב-4 שכל פריט הוא כפולה של עצמו (בקיצור, אפשר לתת אותו פריט פעמיים)

תרגיל ג

![[Pasted image 20250112160015.png]]

1. 1. עבור כל x, אם x הוא פסנתרן, אז x הוא מוזיקאי
   2. אבי (a) הוא מוזיקאי
   3. אבי (a) הוא פסנתרן ∀X(Px → Mx) Ma Pa

פשר: Domain: {a, b} I(M) = {a, b} I(P) = {b}

נכון, צריך לתת גם שם ל-a (עם סוגריים והכל, פשוט לכתוב ש-a זה a)

1. • כל = x, אם x פסנתרן, אז ל-x יש מעריץ
   • קיים x כך ש-x הוא פסנתרן וכך ש-d מעריצה את x
   • לכן, d אינה P ∀-X(Px → ∃ y(Fyx)) ∃ x(Px ˄ Fdx) ¬ Pd

פשר: Domain: {c, d} I(P) {c} I(F)= {}

ההצרנה נכונה פשרים יש מלא 3. - 1. עבור כל x, אם x הוא פסנתרן או ש-x הוא כנר, אז x הוא מוזיקאי ו-x הוא מחונן 2. מיה (m) היא מוזיקאית ומחוננת 3. לכן מיה (m) היא פסנתרנית או שמיה היא כנרית

∀x ((Px ˅ Vx) → (Mx ˄ Gx)) Mm ˄ Gm Pm ˅ Vm

פשר: Domain: {m, n} I(P) {n} I(V)= {n} I(M) {m, n} I(G) {m, n }

אני כן מזהה את החוק בינתיים - למי שיש שם בהצרנה, נותנים שם. למי שאנחנו מוסיפים בלי שם - לא נותנים שם. (למשל, מיה מוזכרת בטיעון, אז צריך לכתוב שm=m; ה-n שהצגתי אינו קיים בטיעון אלא רק בתחום הדיון, ולכן אין לו שם...) 4. - 1. עבור כל x, אם x הוא פנסתרן ו-x הוא מחונן, קיים y כך ש-y הוא מוסיקאי ו-y הוא מחונן, ו-y מעריץ את x 2. מיה (m) היא מוזיקאית ומיה היא מחוננת 3. לכן מיה (m) היא פסנתרנית או שמיה (m) היא כנרית

∀ x ((Px ˄ Gx) → ∃ y ((My ˄ Gy) ˄ Fyx)) Mm ˄ Gm Pm ˅ Vm

פשר:

Domain: {m, n} I(P) {n} I(V)= {n} I(M) {m, n} I(G) {m, n} I(F) {}

הצרנה נכונה

1. -
   1. יש x כך ש-x בן אדם ו-x חובב מוסיקה
   2. עבור כל x, אם x חובב מוסיקה, אז קיים y כך ש-y כנר או ש-y פסנתרן ו-x מעריץ את y
   3. אבי (a) הוא כנר
   4. לכן יש x כך ש-x בן אדם ו-x מעריץ את a ∃x(Hx˄Lx) ∀ x (Lx → ∃ y ((Vy ˅ Py) ˄ Fxy) Va ∃ x (Hx ˄ Fxa)

Domain: {a, b} I(H) {a} I(L)= {a} I(V) {a} I(P) {b} I(F) {}

נכון מאוד. למדתי שהאקסטנציה של פרדיקט יכולה להיות ריקה: ![[Pasted image 20250112183755.png]]

תרגיל ד

![[Pasted image 20250112185251.png]]

1. - א.

   Domain: {a} I(A) {a} I(B)= {a} I(C) {} שקרי ב. Domain: {a, b} I(A) {a} I(B)= {a} I(C) {b} *שקרי

2. - א. Domain: {a, b} I(A) {a} I(B)= {b} I(C) {} אמיתי ב. Domain: {a, b, c} I(A) {} I(B)= {} I(C) {}

3. - א. Domain: {a, b} I(F) {b} I(G)= {a} שקרי Domain: {a, b} I(F) {a} I(G)= {b} אמיתי ב. Domain: {a, b} I(A) {} I(B)= {b} אמיתי Domain: {a, b} I(A) {} I(B)= {a} שקרי ג. Domain: {a, b} I(C) {} I(D) {} אמיתי Domain: {a, b} I(C) {} I(D) {} שקרי

הראשון יצא לי כמו שלהם, הכל נראה נכון... **אבל צריך לתת שמות באמצעות פונקציית השמה לכל האיברים! לא קלטתי עד הסוף עדיין מה החוקים, עדיף פשוט להכריז... החוקיות הפעם היא שעל כל פרט הכרזנו בשמו (a=a)

תרגיל ה

![[Pasted image 20250113165731.png]]

1. • Domain: {a, b} I(F): {a} I(a): {a} I(b): {b}
2. • Domain: {a, b} I(F): {a} I(G): {a} I(a): {a} I(b): {b}
3. • Domain: {a, b} I(P): {b} I(Q): {a} I(a): {a} I(b): {b}
4. • Domain: {a} I(A): {} I(B): {} I(C): {a} I(a): {a}

תרגיל ו

![[Pasted image 20250113172241.png]]

1. • Domain: {a, b, c} I(R): {, , } I(a): {a} I(b): {b} I(c): {c} הראשון אמיתי: עבור כל x, יש y ככה ש-Rxy a, b b, b c, c

השני שקרי: יש y כך שעבור כל x, קיים Rxy

אין אף משתנה שמגיע גם אחרי a, גם אחרי b וגם אחרי c בטווח של R

1. • Domain: {a, b} I(P): {a} I(Q): {b} I(a): {a} I(b): {b}

הראשון אמיתי: יש x ככה שPx ויש x ככה ש-Qx השני שקרי: אין x ככה שגם Px וגם Qx

תרגיל ז

![[Pasted image 20250113182135.png]]

1. • Domain: {a, b} I(P): {a} I(Q): {b} I(a): {a} I(b): {b}

2. - ההנחות נכונות בפשר μ. המשמעות היא שיש פריט a שמספק את Px, כך ש-Pa אמתית. אותו פריט a מספק גם את Qx כך ש- Qa אמתית. אם Qa ו-Pa שתיהן אמתיות, גם Px∨Qx אמתית כך שהמסקנה אמתית.

3. • הפסוק נכון בפשר μ המשמעות היא שיש שני פריטים, a ו-b, המספקים את Rxy או את Rxy¬ אם Rab נכון, אז Rab¬ שקרי כך שהדיסיונקציה היא אמת אם Rab¬ אמיתי, אז Rab שקרי כך שהדיסיונקציה היא אמת המשמעות היא שעבור כל שני פריטים, בכל אפשר אפשרי, הפסוק אמיתי, לכן הוא טאוטולגיה
4. • Domain: {a, b} I(R): {} I(b): {b} I(a): {a}
5. • הפסוק (x(Px∧Qx∀ אמיתי בפשר μ המשמעות היא שכל פריט בפשר מספק את Px ומספק את Qx, כך שגם xPx∀ אמיתי, וגם xQx∀ אמיתי

הפסוק xPx∧∀xQx∀ אמיתי בפשר μ המשמעות היא שכל פריט בפשר מספק את Px ומספק את Qx ואם כך גם (Px∧Qx) מסופקת ע"י כל פריט בפשר, והפסוק (x(Px∧Qx∀ אמיתי

1. Domain: {a, b} I(P): {a} I(Q): {b} I(b): {b} I(a): {a}