תרגיל א

א. קבעו אילו מבין רצפי הסימנים הבאים הם נב"כים. הסבירו את קביעתכם

![[Pasted image 20241228165057.png]]

1. נב"ך
2. נב"ך
3. נב"ך
4. נב"ך
5. לא נב"ך (משתנים צריכים להתלוות לפרדיקט או לפחות לאות פסוקית)
6. לא נב"ך (משתנים מגיעים אחרי הפרדיקט)
7. נב"ך
8. לא נב"ך (שימוש לא נכון בכמת)
9. נב"ך
10. נב"ך

טעות ב-10! לא מדובר בנב"ך כי אין לנו סוגריים פנימיים, אז יוצא שיש שני קשרים לוגיים ברצף (קוניונקציה ודיסיונקציה) בלי משהו שיסדר אותם... לא לשכוח את הכללים המקוריים מתחשיב הפסוקים :) השאר נכון

ב. בכל מקרה שקבעתם כי רצף הסימנים הוא נב"ך, קבעו מהו טווח הכמת(ים), אילו מופעים של המשתנים הם קשורים ואילו חופשיים.

1. x קשור y חופשי
2. x ו-y קשורים הטווח של x הוא כל מה שאחריו, של y כל מה שאחריו
   1. הטווח של x עד Z z ו-y חופשיים (האם גם x נחשב חופשי?)
3. x ממשיך עד x והוא קשור a חופשי
4. y ממשיך עד לפני ההתניה ואז עד הסוף הוא קשור בשני המופעים שלו
5. x ראשון עד הסוף y ראשון עד הסוף x שני עד הקיוניונקציה y שני עד הדיסיונקציה כל המשתנים קשורים, חלקם יותר מפעם אחת

כללי כתיבה: כדי לציין טווח של כמת, פשוט כותבים מה הנב"ך שהוא חל עליו (המינימלי): "טווח הכמת X הוא הנב"ך α" לגבי 4: לא נראה שציינו את x כמשתנה חופשי, לחפש עוד דוגמה, אבל בינתיים נוטה לחשוב שרק הופעות לצד אות פרדיקט נחשבות לשים לב שאם זה לא xyz אלא abc זה לא משתנה, ואין בכלל הגדרה כזו קשור/חופשי השאר נכון

ג. קבעו אילו מבין הנב"כים מהסעיף הקודם הם פסוקים.

1. לא פסוק (בגלל y)
2. פסוק
3. לא פסוק בגלל z ו-y
4. פסוק (להבנתי,כי a היא מציין קבוע ולא משתנה)
5. פסוק
6. לא פסוק (x קשור פעמיים)

נכון: לשים לב ש-4 הוא לא פסוק גם בגלל המשתנים החופשיים, אבל גם בגלל שיש בו כמת שלא קושר אף משתנה!

תרגיל ב

![[Pasted image 20250103130854.png]]

1. איקס היא חיילת (Ax)
2. איקס היא חיילת בחיל הים (Ax) (האם חיל הים הוא לא 'שם פרטי'? יכולה להיות חיילת בכל מני מקומות... שאלה.)

   אכן, כותבים את זה X היא חיילת ב-Y. למה חיל הים הוא שם פרטי? כי זו כתובת ספציפית, זה לא כל חיל ים, וכי אפשר להפוך את זה למשתנה בלי לאבד את המשמעות הכללית.

3. איקס הוא הסבא של וואי (Axy)
4. איקס היא נכדתו של וואי (Axy)

5. איקס קנה ל-וואי את זי (Axyz) ![[Pasted image 20250103131344.png]]

6. עמנואל קאנט הוא פילוסוף חשוב

7. הרמל מלוויל כתב את מובי דיק
8. בעל ואישה נכתב על ידי צרויה שלו
9. 7 גדול מ-5 אך קטן מ-11
10. הסכום של 3 ו-4 שווה להפרש בין 9 ו-2

תרגיל ג

![[Pasted image 20250103141532.png]]

1. ∀x(Sx→¬Ox)
2. ∀x(Ox→Sx)
3. ∃x(Sx∧Ox)
4. ∀x(Ox→Sx)
5. ∀x((Mx∧Sx)→Ox)
6. ∀x((Sx∧¬Mx)→¬Ox)

בדיקה: הכל נכון! לשים לב שאפשר גם לשלול את הכמת, כדי להגיד למעשה "אין x בטווח הזה" - נניח ב-4, אפשר היה לכתוב ∃¬

תרגיל ד

![[Pasted image 20250103153947.png]]

1. ננסח מחדש את הפסוק: עבור כל x, אם x אוהב את x, יש y ככה ש-x אוהב את y נצרין: ∀x(Lxx→∃yLxy) תחום הדיון הוא בני אדם

2. ננסח מחדש את הפסוק: עבור כל x, אם יש y ככה ש-x אוהב את y, אז x אוהב את x נצרין: ∀x(∃yLxy→Lxx) תחום הדיון הוא בני אדם

3. ננסח מחדש את הפסוק: עבור כל x, אם x לא אוהב את x, אין y ככה ש-x אוהב את y נצרין: ∀x(¬Lxx→¬∃yLxy) תחום הדיון הוא בני אדם

4. ננסח מחדש את הפסוק: עבור כל x, אם אין y ככה ש-x אוהב את y, אז x לא אוהב את x נצרין: ∀x(¬∃yLxy→¬Lxx) תחום הדיון הוא בני אדם

5. ננסח מחדש את הפסוק: עבור כל x, אם x אוהב את y, אז y אוהב את x נצרין: ∀x(Lxy→Lyx)

6. ננסח מחדש את הפסוק: עבור כל x, אם x אוהב את y, אז יש y ככה ש-y אוהב את x נצרין: ∀x(Lxy→∃yLyx)

כל זה לא נכון ויש לי גם הסבר למה. משתנה מייצג שם פרטי!!!!! אם אומרים לי "לכל אחד שאוהב את עצמו יש מישהו שאוהב אותו, אני לא יכול להגיד "אם x אוהב את x אז y אוהב את x - כי זה אומר שיש y ספציפי שאוהב אותו. כדי להגיד שיש מישהו כלשהו, לא ספציפי שאוהב אותו - יש להגיד "יש y עבור (y אוהב את x)" (תוקן - עכשיו צריך להיות נכון...)

5 ו-6 עדיין לא נכונים ואני באמת לא מבין למה - כי לא הסבירו לי טוב... אני מבין כשמסבירים לי במקום להראות לי עוד ועוד דוגמאות.

• ב-5 כתבתי ∀x(Lxy→Lyx) והחוברת אומרת שזה ∀x∀y(Lxy→Lyx) למה צריך לציין את זה ככה? זה בעצם אומר "עבור כל x, כל y (אם x אוהב את y, אז y אוהב את x)" למה לא מספיק להגיד שזה עבור כל x? כי זה לא משנה את מי הוא אוהב - כל x יכול לאהוב את y, וכל y יכול להיות אהוב ע"י x. בוא ננסה לעשות נכון את 6.

• ב-6: אני מאשים את החוברת.

• אני כתבתי ∀x(Lxy→∃yLyx) כלומר, "עבור כל x, אם x אוהב את y (הספציפי), אז יש y (כלשהו) עבור y אוהב את x"
• החוברת כתבה ∀x(∃yLxy→∃zLzx)
• כלומר, היא השתמשה במשתנה Z כדי להפריד בין "אחד" ל-"מישהו", כמו להגיד "אלה שני משתנים שונים"
• אני הבחנתי בין "אחד" ל-"מישהו" במובן של "מישהו ספציפי" לעומת "כל אחד"
• כמובן שאין הבדל בין להגיד "כל אחד ספציפי" לבין להגיד "כל אחד לא ספציפי", אז זה לא שהגישה שלי הייתה מאוד הגיונית.
• בקיצור, יש כל מיני מילים בשפה הטבעית שהן משתנים. למשל "מישהו", למשל "אחד", וכו'.
• צריך לשים לב לזה ולהפריד משתנים גם בהצרנה

מה למדנו מהתרגיל הארור הזה? 1. להבחין בין "קיים y" - יכול להיות כל y, לבין y ספציפי. 2. להבחין בין משתנים שונים בשפה הטבעית ולתרגם אותם למשתנים שונים בשפה הפורמלית

תרגיל ה

![[Pasted image 20250103164125.png]]

מחדש, לפי ההסבר על הטענות הקטגוריות, ולחשוב ולעשות מילון. אני אפצח את זה בסוף.

ישי קוניונקציה כוללני התניה יש קוניונקציה כוללני התניה כל דבר שיש - צריך להגיד שיש

1. עבור כל x, אם x הוא אדם, יש y ככה ש-y שהיא חנות ויש z ככה ש -x קונה את z ב-y

∀x((Px→∃y(Sy∧∃zBxzy)

1. יש x כך ש-x הוא חנות ועבור כל y, אם y הוא אדם, יש z ככה ש-y קונה את z ב-x ∃x(Sx∧∀y(Py→∃z∧Byzx))

   נכון!!!!

2. יש x כך ש-x הוא איש ו-a היא חנות מסוימת, ועבור כל z, איקס קונה את z ב-a ∃x((Px∧Sa)∧∀zBxza)

   נכון, והייתה טעות בחוברת - זה "עבור כל Z", כמו שנכתב בהצרנה. הסוגריים לא באמת משנות.

3. אין x ככה שאם x אדם, עבור כל y אם y הוא חנות, יש Z ככה ש-x קונה את z ב-y ¬∃x(Px→∀y(Sy→∃zBxzy))

כמעט נכון? החוברת השתמשה בקוניונקציה אחרי Px, ככה שזו למעשה טענה ישית. כל השאר זהה. נראה לי ששתי האפשרויות נכונות?

1. אין חנות שכל בני האדם הם לקוחותיה אין x ככה ש-x היא חנות, ועבור כל y אם y הוא בן אדם, יש z כך ש-y קונה את z ב-y ¬∃x(Sx∧∀y(Py→∃zByzx))

מדויק. אז לשים לב למשהו: טענה כוללנית שלולה אפשר להציג הן כהתניה והן כקוניונקציה. עדיף קוניונקציה כשזה לא מהותי.

![[Pasted image 20250103182651.png]]

1. עבור כל x, אם x הוא גבר ו-x הוא מת, אין y ככה ש-y הוא סיפור ו-x (הגבר המת) מספר את y (סיפורים) ∀x(Mx∧Dx→¬∃y(Sy∧Txy))

נכון, לשים לב לסוגריים נכונות

![[Pasted image 20250103183057.png]]

1. יש x ככה ש-x הוא עו"ד ו-x (העו"ד) מייצג את המקרה של x (העו"ד), ו-x הוא טיפש ו-x הוא הלקוח של x. ∃x((Lx∧Pxx)∧∃y(Fy∧Cxy))

   החוברת הבינה את זה שונה ממני... היא הבינה את זה כהתניה: אם העו"ד מייצג את עצמו (כל עו"ד), אז יש לו לקוח טיפש. אני לקחתי את זה כאמירה פשוטה לגבי עו"ד מסוים... בערך נכון. החוברת עשתה: ∀x((Lx∧Pxx)→∃y(Fy∧Cxy))

2. עבור כל x, אם x הוא אריה ו-x הוא לא חי - אז עבור כל y, אם y הוא כלב ו-y הוא חי, x מסוכן יותר מ-y ∀x((Lx∧¬Ax)→∀y((Dy∧Ay)→Dxy)))

   לא בדיוק... החוברת עשתה "עבור כל x ועבור כל y, אם x אריה ו־ x אינו חי וגם y כלב ו־ y חי אז x מסוכן מ־y" והצרינה ככה: ∀x∀y(((Lx∧¬Ax)∧(Dy∧Ay))→Dxy) אני די בטוח שההצרנות שקולות... פשוט לזכור שכדי להגיד "יש x ויש y" או "עבור כל x וכל y" (בשביל קוניונקציה של כמתים - **כותבים אותם אחד אחרי השני! **

![[Pasted image 20250103184941.png]] 9. עבור כל x, אם x הוא אדם ויש y ככה ש-y פסיכיאטר ו-x (האדם) מתייעץ עם y (הפסיכיאטר), אז x צריך שיבדקו את ראשו. ∀x(Px∧∃y(Sy∧Cxy)→Ox)

מושלם!!!

**היה תרגיל נאצי. למדתי שצריך להידבק למה שלמדנו על הטענות הקטגוריות (ישי קוניונקציה כוללני התניה), שצריך להבדיל בין ספציפיים, ספציפיים שרירותיים וכלליים (a, יש y, עבור כל y)

תרגיל ו

1. כל מעגל הוא צורה גאומטרית לכן: כל מי שמצייר מעגל מצייר צורה גיאומטרית

(Cx - X מעגל Fx- X צורה גאומטרית Dxy - איקס מצייר את וואי)

עבור כל x, אם x הוא מעגל, אז x הוא צורה גאומטרית לכן עבור כל x, אם x הוא מעגל ויש y כך ש-y מצייר את x, יש x כך ש-x הוא צורה גאומטרית ∀x(Cx→Fx) ∀x(Cx∧∃y(Dyx)→∃x(Fx))

לכן עבור כל y, אם יש x כך ש-y מצייר את x, אז עבור כל x, אם x הוא מעגל, אז x הוא צורה גאומטרית 1. כל מעגל הוא צורה גאומטרית לכן: כל מי שמצייר מעגל מצייר צורה גיאומטרית ∀x(Cx→Fx) ∀y(∃xDyx→∀x(Cx→Fx))

![[Pasted image 20250105213725.png]]

לא יצא כמו החוברת... למה החוברת עירבה כאן Z? כל x שהוא מעגל הוא x שהוא צורה גאומטרית החוברת אומרת: "עבור כל (אחד שמצייר), אם קיים y ככה ש-y מעגל ו(אחד שמצייר) מצייר את y, קיים z ככה ש-z צורה גאומטרית ו(אחד שמצייר) מצייר את z" החוברת **החוברת צודקת - לא ציינתי מי מצייר! הייתי צריך להשתמש במשתנה נוסף כדי להראות שאם מישהו מצייר את y שהוא מעגל, הוא מצייר את z שהוא צורה גאומטרית... אבל איך יכולתי לדעת את זה??? יכולתי. יש אלמנט בלתי נראה בשאלות האלה. הפלוני-אלמוני-חסר-צורה שהוא "הוא -X". הייתי צריך להבין שיש כאן את "הוא שמצייר מעגל", "הוא המעגל", ואת "הוא הצורה הגאומטרית" - שחייב להתבטא כ-"הוא" שונה מהמעגל, אפילו שהוא-הוא המעגל.

1. ![[Pasted image 20250105224429.png]]
2. כל מי שרוקד עם גילה רוקד עם צילה
3. כל מי שרוקד עם צילה מעשן נרגילה

4. לכן, אם רון רוקד עם גילה, הוא מעשן נרגילה Nx - x נרגילה Dxy - איקס רוקד עם וואי Sxy - איקס מעשן וואי g - גילה r - רון t - צילה

5. עבור כל x, אם x רוקד עם g, אז x רוקד עם t

6. עבור כל x, אם x רוקד עם t, יש y כך שy נרגילה, ו-איקס מעשן וואי

7. לכן, אם יש r כך שיש g ו-r רוקד עם g, יש x כך ש-x נרגילה ו-r מעשן x

8. ∀x(Dxg→Dxt)

9. ∀x(Dxt→∃y(Ny∧Sxy))
10. ∃r(∃g∧Drg)→∃x(Nx∧Srx)

**כמעט כמו החוברת - החוברת שמה בסוף Drg → בלי כל ההקדמה. למה אני לא הייתי צריך להכריז על הקיימות של המשתנים? כי הם מציינים. רק כשזה משתנה צריך להגיד "יש בו בוודאות תוכן", מציין הוא מראש מציין של תוכן...

2. יש מרצה האהוב על כל סטודנט שאוהב איזשהו מרצה
3. כל סטודנט אוהב מרצה זה או אחר

4. לכן יש מרצה האהוב על כל הסטודנטים Px - x מרצה Sx - x סטודנט Lxy - איקס אוהב את וואי

5. יש x כך ש-((x הוא מרצה), ועבור כל y, אם ((y הוא סטודנט) ויש z כך ש-(y אוהב את z)), אז (y אוהב את x)

6. עבור כל x, אם x הוא סטודנט, קיים z כך ש-z הוא מרצה ו-x אוהב את z

7. לכן קיים x כך ש-x הוא מרצה ועבור כל y, אם y הוא סטודנט, אז y אוהב את x

8. ∃x(Px∧∀y(Sy∧∃z(Pz∧Lyz)→Lyx))

9. ∀x(Sx→∃z(Pz∧Lxz))
10. ∃x(Px∧∀y(Sy→Lyx))

יש x כך ש-x הא מרצה, ועבור כל y, אם y הוא סטודנט ויש z כך ש-y אוהב את z

קרוב מאוד מאוד: 1. שכחתי לכתוב ש-Z הוא מרצה!!! לא לשכוח בחיים להכריז הכל על כל משתנה. כל השאר נכון!!!!

2. כל ספר שהומלץ ע"י כל מבקרי הספרות, נקרא ע"י כל חובב ספרות
3. כל אחד הקורא משהו, ידבר עליו
4. כל מבקר ספרות ימליץ על כל דבר שנכתב ע"י אדם המתחנף אליו לכן, אם מישהו מתחנף לכל מבקרי הספרות, אז כל דבר שהוא כותב, ידברו עליו כל חובבי הספרות

Bx - x ספר Cx - x מבקר ספרות Lx - x חובב ספרות Px - x אדם Axy - איקס ממליץ על וואי Rxy - איקס קורא את וואי Txy - איקס מדבר על וואי Fxy - איקס מתחנף לוואי Wxy = איקס כותב את וואי

1. עבור כל x אם x הוא ספר ו- (עבור כל y, אם y מבקר ספרות אז y ממליץ על x), אז עבור כל z, אם z הוא חובב ספרות, z קורא את x

עבור כל x, אם x הוא אדם וקיים y כך ש-y הוא ספר ו-x קורא את y, קיים y כך ש-x מדבר על y (לקחתי סיכון, אולי צריך להגיד שקיים z בסוף)

עבור כל x, אם x הוא מבקר ספרות, אז עבור כל y ו-z, אם y הוא אדם ו-z הוא ספר, ו-z נכתב ע"י y ו-y מתחנף ל-x קיים z כך ש-z ספר ו-x ממליץ על z

לכן: (אם) קיים x כך ש-x הוא אדם ועבור כל y, אם y הוא מבקר ספרות, x מתחנף ל-y (אז) עבור כל z, אם z הוא ספר ו-x כתב את z, אז עבור כל x1, אם x1 הוא חובב ספרות, קיים z ככה ש-x1 מדבר על z.

1. ∀x(Bx∧∀y(Cy→Ayx)→∀z(Lz→Rzx))
2. ∀x((Px∧∃y(By∧Rxy))→∃y(Txy))
3. ∀x((Cx→∀y∀z((Py∧Bz)∧(Wyz∧Fyx)))→∃z(Bz∧Axz))
4. ∃x(Px∧∀y(Cy→Fxy))→∀z((Bz∧Wxz)→∀x1(Lx1→∃z(Tx1z)))

1 מושלם! 2 - נפלתי בפח... לא מדובר בספר, כתבו "קורא משהו". אבל אני רוצה לראות אותם מתמידים בזה, הביטוי "ספר" הופיע רק ב-1. בכל אופן, הם הצרינו לפי "עבור כל x ועבור כל y" לא לשכוח את האפשרות של עבור כל X ועבור כל Y!!! כשיש יחסי כוללני דו-כיווני, זה הביטוי! 3 - לא בדיוק נכון 4 - הרישה נכונה... יש לי כמה הרגלים רעים: (זה מתמטיקה all over again... לא מלמדים אותי ומתפלאים שאני לא יודע:) 1. אם אין טענה ישית בטיעון (יש s שהוא p, יש s שהוא לא p) - אז אין לי מה להשתמש ב-"קיים x עבור...", אפשר פשוט לכתוב את הפרדיקט. אפשר לדעת מתי צריך לתת כמת "לחינם" ומתי לא -- פשוט לבדוק אם המשתנה יהיה חופשי בהיעדרו!!! לא רע ולא טוב...

חזרה

תרגיל ג

1. ∀x(Sx→¬Ox)
2. ∀x(Ox→Sx)
3. ∃x(Ox∧Sx)
4. ¬∃x(Ox∧¬Sx)
5. ∀x((Mx∧Sx)→Ox)
6. ∀x((Sx∧¬Mx)→¬Ox)

נכון מאוד 10/10

תרגיל ד

Lxy - איקס אוהב את וואי

1. כל אחד שאוהב את עצמו אוהב מישהו עבור כל x, אם x אוהב את x, אז יש y כך ש-x אוהב את y ∀x(Lxx→∃y(Lxy))

2. כל אחד שאוהב מישהו אוהב את עצמו עבור כל x, אם קיים y כך ש-x אוהב את y, אז x אוהב את x ∀x(∃y(Lxy)→Lxx)

3. כל מי שלא אוהב את עצמו, לא אוהב אף אחד עבור כל x, אם x לא אוהב את x, אז לא קיים y כך ש-x אוהב את y ∀x(¬Lxx→¬∃y(Lxy))

4. כל מי שלא אוהב אף אחד, לא אוהב את עצמו עבור כל x, אם לא קיים y כך ש-x אוהב את y, אז x לא אוהב את x ∀x(¬∃y(Lxy)→¬Lxx)

5. כל אחד האוהב אחד, נאהב בחזרה ע"י אותו אחד

האינסטינקט הראשון הוא לכתוב: עבור כל x, אם קיים y כך ש-x אוהב את y, אז y אוהב את x עוד אפשרות: עבור כל x וכל y, אם x אוהב את y, אז y אוהב את x מדובר ב-"שקילות מושלמת", אז הייתי הולך על השני, אבל זה פחות נאמן למבנה של המשפט... **צדקתי בתחושה שלי... זה יחס שבו כל a חל על כל b וכל b על כל a - אז כותבים כמו באפשרות ב', "עבור כל x ועבור כל y" (לחשוב... אני לא מתכוון שעבור כל x, אם יש y שהוא אוהב, אז יש y שאוהב אותו - זה נכון ל-כל- y!)

∀x(∃y(Lxy)→Lyx) או ∀x∀y(Lxy→Lyx)

1. כל אחד שאוהב אחד, יש מישהו שאוהב אותו

   שמנו לב, אלה 3 צבעים, 3 "פלוניים"

עבור כל x, אם קיים y כך ש-x אוהב את y, אז קיים z כך ש-z אוהב את x ∀x(∃y(Lxy)→∃z(Lzx))

הכל נכון! לשים לב קצת לסוגריים, לפעמים אני שם כשלא חייב.

תרגיל ה

Px - אדם Sx - חנות Bxyz - איקס קונה את וואי בזי 1. כל אדם קונה משהו בחנות כלשהי עבור כל x, אם x אדם, קיים y כך שקיים z עבור -z חנות, ו-x קונה את y ב-z ∀x(Px→∃y(∃z(Sz)∧Bxyz))

קרוב מאוד. לא לעשות כפל כמתים. כלומר, לא לעשות "קיים y כך שקיים z" אלא אם אני חייב לגמרי. החוברת עשתה כמו שרציתי בהתחלה: "קיים y כך ש-y חנות, וקיים z..." משפטים ישיים מתחברים טוב לקוניונקציה - לזרום על זה.

1. יש חנות ממנה כל אדם קונה משהו יש x כך ש-x חנות ועבור כל y, אם y אדם, קיים z כך ש-y קונה את z ב-x ∃x(Sx∧∀y(Py→∃z(Byzx)))

2. יש אנשים הקונים את הכל בחנות אחת מסוימת יש x כך ש-x אדם ועבור כל z, קיים a כך ש-a היא חנות ו-x קונה את z ב-a (נראה לי שזה צריך להיות a, כי זה לא שעבור כל דבר שהם קונים, יש חנות שהם קונים בה. זה שעבור כל דבר שהם קונים, יש את אותה החנות, שהם קונים בה את הכל - אז זה חייב להיות קבוע.) ∃x(Px∧∀z(∃a(Sa∧Bxza)))

כמעט. כשמדובר במציין קבוע, לא צריך לכתוב "קיים a כך ש-a" החוברת פשוט עשתה: "קיים x כך ש-x אדם ו-a חנות" (כלומר, אנחנו מצמידים את המציין הקבוע לטווח כלשהו של משתנים - אנחנו לא צריכים להגיד "קיים a כך ש-a חנות", כי a היא חנות ספציפית ואין לה התגלמויות אפשריות שונות.)

1. אף אחד לא קונה דברים בכל החנויות עבור כל x, אם x בן אדם, לא קיים z כך שעבור כל y, אם y היא חנות אז x קונה את z ב-y ∀x(Px→¬∃z(∀y(Sy→Bxzy)))

החוברת עשתה שונה לגמרי ממני. היא עשתה "לא קיים x ככה ש" (טענה ישית) זה חלק באמת חשוב: טענה מסוג E - "כל S הוא לא P" יכולה להופיע בשפה הטבעית כ-"כל איש הוא לא כלב" אבל יכולה להופיע גם כ-"אין איש שהוא כלב" 'אין' זה ההפך מ-'יש', אבל זו לא טענה ישית! טענה ישית מסוג o היא "יש איש שאינו כלב". למה החוברת בוחרת להציג את זה כ∃¬ ולא כטענה כוללנית? לא יודע. פשוט לזכור בינתיים שטענות קטגוריות מסוג E יכולות להיות הן טענות ∀ עם שלילה בהמשך שלהן, או טענות ∃. המשמעות היא שכמת ישי שלול = טיעון כוללני; וכמת כוללני שלול = טיעון ישי.

בסה"כ, התשובה שלי נראית מאוד דומה לשל החוברת רק בסדר שונה. אני באמת לא יודע אם זה בסדר או לא.

1. אין חנות שכל בני האדם הם לקוחותיה עבור כל x, אם x היא חנות, אז לא עבור כל y, אם y הוא בן אדם, קיים z כך ש-y קונה את z ב-x ∀x(Sx→¬∀y(Py→∃z(Byzx)))

זה בעצם בדיוק אותו עניין כמו בשאלה הקודמת. התשובה שלי מאוד מאוד דומה לשל החוברת, אבל אני בחרתי לנסח עם ∀ ועם שלילה בסיפה של ההתניה, בעוד שהחוברת בחרה להתחיל מ-∃¬ מבלי לשלול בהמשך.

1. גבר מת לא מספר סיפורים Dx מת Mx גבר Sx סיפור Txy איקס מספר את וואי

עבור כל x, אם x הוא גבר ו-x הוא מת, לא קיים y כך ש-y הוא סיפור ו-x מספר את y ∀x((Mx∧Dx)→¬∃y(Sy∧Txy))

מדויק

1. לעורך דין המייצג את המקרה שלו עצמו, יש לקוח טיפש Lx עורך דין Fx טיפש Pxy איקס מייצג את המקרה של וואי Cxy - איקס הוא הלקוח של וואי

עבור כל x, אם x הוא עו"ד ו-x מייצג את x, יש y כך ש-y הוא הלקוח של -x ו-y הוא טיפש ∀x((Lx∧Pxx)→∃y(Cyx∧Fy))

מדויק

1. אריה מת מסוכן יותר מכלב חי Ax - חי Dx - כלב Lx - אריה Dxy - איקס מסוכן מוואי

עבור כל x, אם x הוא אריה ו-x הוא לא חי, אז עבור כל y, אם y הוא כלב ו-y הוא חי, x מסוכן יותר מ-y. ∀x((Lx∧¬Ax)→∀y((Dy∧Ay)→Dxy)

אפשר גם עבור כל x ועבור כל y, אם (x הוא אריה ו-x הוא לא חי), ו-(y הוא כלב ו-y הוא חי), אז x מסוכן יותר מ-y

∀x∀y((Lx∧¬Ax)∧(Dy∧Ay)→Dxy)

שוב, יש כאן השלכה מלאה ודו-כיוונית, אז אני יודע שאפשר לשלב את הכמתים. אבל בוא נראה.

האפשרות השניה היא פיתרון מדויק - כשיש השלכה דו כיוונית ("אם (עבור כל x) אז (עבור כל y)) - מתחילים משני הכמתים.

1. אדם המתייעץ עם פסיכיאטר, צריך שיבדקו את ראשו Px - אדם Sx - פסיכיאטר Ox - צריך שיבדקו את ראשו Cxy - איקס מתתיעץ עם וואי

עבור כל x, אם x הוא אדם וקיים y כך ש-y הוא פסיכיאטר ו-x מתייעץ עם y, אז x צריך שיבדקו את ראשו

∀x(Px∧∃y(Sy∧Cxy)→Ox)

נכון וקליל

תרגיל ו

2. כל מעגל הוא צורה גאומטרית

3. לכן, כל מי שמצייר מעגל, מצייר צורה גאומטרית Cx - מעגל Fx - צורה גאומטרית Dxy - איקס מצייר את וואי

4. עבור כל x, אם x הוא מעגל, אז x הוא צורה גאומטרית

5. לכן, עבור כל x, אם קיים y כך ש-y הוא מעגל ו-x מצייר את y, קיים z כך ש-z הוא צורה גאומטרית ו-x מצייר את z

זו קצת רמאות כי אני זוכר שצריך להשתמש ב-z. אבל האם הייתי יודע את זה? אי אפשר לכתוב "אז קיים y כך ש-y צורה גאומטרית", בגלל שכבר אמרנו שקיים y בשביל משהו אחר. אי אפשר פשוט לכתוב "y הוא מעגל", כי לא אמרנו בכך ש-x מצייר אותו. כדי להגיד ש-x מצייר משהו, ואם המשהו הזה הוא מעגל, אז הוא מצייר משהו, והמשהו הזה הוא צורה גאומטרית - **אנחנו צריכים 'לפצל' את ה-'משהו' הזה, לשים לב שבטיעון אין דגש על כך שזה אותו הדבר! רק על כך שאם הוא מצייר מעגל, הוא מצייר גם צורה גאומטרית.

∀x(Cx→Fx) ∀x(∃y(Cy∧Dxy)→∃z(Fz∧Dxz))

מעולה

2. כל מי שרוקד עם גילה רוקד עם צילה
3. כל מי שרוקד עם צילה מעשן נרגילה
4. לכן אם רון רוקד עם גילה, הוא מעשן נרגילה

Nx - x נרגילה Dxy - איקס רוקד עם וואי Sxy - איקס מעשן וואי g - גילה r - רון t - צילה

1. עבור כל x, אם x רוקד עם g, אז x רוקד עם t
2. עבור כל x, אם x רוקד עם t, אז קיים y כך ש-y הוא נרגילה ו-x מעשן את y
3. לכן אם r רוקד עם g, קיים x כך ש-x הוא נרגילה ו-r מעשן את x

∀x(Dxg→Dxt) ∀x(Dxt→∃y(Ny∧Sxy)) Drg→∃x(Nx∧Srx)

קצת רמאות שאני זוכר, אבל על קבועים אין צורך "להכריז" (כמו על טענה כללית ביחס למשתנה)

עשיתי טוב

1. יש מרצה האהוב על כל סטודנט שאוהב איזשהו מרצה כל סטודנט אוהב מרצה זה או אחר לכן יש מרצה האהוב על כל הסטודנטים

Px - מרצה Sx - סטודנט Lxy - איקס אוהב את וואי

1. קיים x כך ש-x מרצה, ועבור כל y, אם y הוא סטודנט וקיים z כך ש-z הוא מרצה כך ש-y אוהב את z, אז y אוהב את x
2. עבור כל x, אם x הוא סטודנט, קיים y כך ש-y הוא מרצה ו-x אוהב את y
3. לכן, קיים x כך ש-x הוא מרצה, ועבור כל y, אם y הוא סטודנט, y אוהב את x

∃x(Px∧∀y(Sy∧∃z(Pz∧Lyz)→Lyx)) ∀x(Sx→∃y(Py∧Lxy)) ∃x(Px∧∀y(Sy→Lyx))

1 כמעט כמעט נכון - שכחתי לכתוב ש-z הוא מרצה... 2 נכון 3 נכון!!! 1. 2. כל ספר שהומלץ ע"י כל מבקרי הספרות, נקרא ע"י כל חובב ספרות 3. כל אחד הקורא משהו, ידבר עליו 4. כל מבקר ספרות ימליץ על כל דבר שנכתב ע"י אדם המתחנף אליו לכן, אם מישהו מתחנף לכל מבקרי הספרות, אז כל דבר שהוא כותב, ידברו עליו כל חובבי הספרות

Bx - x ספר Cx - x מבקר ספרות Lx - x חובב ספרות Px - x אדם Axy - איקס ממליץ על וואי Rxy - איקס קורא את וואי Txy - איקס מדבר על וואי Fxy - איקס מתחנף לוואי Wxy = איקס כותב את וואי

1. עבור כל x, אם x הוא ספר ועבור כל y, אם y הוא מבקר ספרות, y ממליץ על x, אז עבור כל z אם z הוא חובב ספרות, z קורא את x

∀x((Bx∧∀y(Cy→Ayx))→∀z(Lz→Rzx))

1. עבור כל x, אם x הוא אדם אז עבור כל y, אם x קורא את y, x מדבר על y ∀x(Px→∀y(Rxy→Txy))

התלבטתי כאן בין כמת ישי לכולל. אפשר לכתוב "עבור כל x, אם x הוא אדם וקיים y כך ש-x קורא את y, אז x מדבר על y" - בשפה הטבעית זה נראה לי נכון, אבל משהו לא הסתדר עם הכמתים. אולי היה נכון יותר להגיד את זה עם עוד משתנה.

החוברת כתבה "עבור כל x ועבור כל y" - **לזכור שאם יש לי "עבור כל x... אם x הוא... אז עבור כל y:" אפשר פשוט לכתוב "עבור כל x וכל y"

1. עבור כל x, אם x הוא מבקר ספרות, אז עבור כל y, אם קיים z כך ש-z הוא אדם, ו-zכתב את y ו-z מתחנף ל-x, איקס ממליץ על y ∀x(Cx→∀y(∃z(Pz∧(Wzy∧Fzx))→Axy))

2. לכן, אם קיים x כך ש-x הוא אדם ועבור כל y, אם y הוא מבקר ספרות, אז x מתחנף ל-y, אז עבור כל z ועבור כל x, אם x הוא אדם ו-x כתב את z, עבור כל x1, אם x1 הוא חובב ספרות, x1 מדבר על z

∃x(Px∧∀y(Cy→Fxy))→∀z∀x((Px∧Wxz)→∀x1(Lx1→Tx1z))

החוברת השתמשה בכמת כולל. ברור, זו למעשה טענה כוללת. "כל מי ש(ככה וככה) (מצבו ככה וככה)". למה השתמשתי בכמת ישי? כי הרגשתי שזה חלק מההתניה - "אם קיים מישהו". יכולתי פשוט לכתוב "כל מי שככה וככה" (אז) "הוא ככה וככה". גם אצל החוברת זו לבסוף התניה של שני פסוקים. התשובה שלי דומה לשל הספר אבל יש לו שגיאות, כמו למשל לקבוע שמדובר בהכרח בספרים. אני מסכים עם הנטיה הזו אבל לא כך עשו בסעיפים קודמים. לא נראה שיש לי כאן טעות מהותית.