הדפסות 7 תחשיב הפרדיקטים

חידודים חשובים: את התרגיל הזה לא לשכוח בחיים... בהתחלה מדברים על כל מעגל, אז כל x. בהמשך מדברים על כל מי שמצייר מעגל, אז המצייר הוא x והמעגל הוא y. ואיך נגיד שהמעגל הוא גם צורה גאומטרית? לא צריך... לשים לב למבנה: אם Dxy אז גם Dxz כאשר z צורה גאומטרית ו-y מעגל. לא לשכוח תמיד להשתמש בכמתים! ההצרנה של המסקנה בתמונה היא ולא "עבור כל x, אם Dxy וגם Cy אז..." - בפרדיקטים אנחנו תמיד נדרשים להגדיר האם הקביעה נכונה לכל ערך אפשרי של המשתנה (כל פריט בתחום הדיון) - או רק לחלק! (ועוד חשוב לזכור: עבור קבועים, זה לא כך.) זאת בעצם טעות שעשיתי בכל פרק 7 תרגיל ו' -

אם מופיע משתנה צריך לתת לו כמת מתאים - תמיד!!!

לא לחבר כמתים אם אתה לא 100% בטוח בזה - עדיף שיופיעו זה אחרי זה ולא בהתחלה (לשאוף לחבר רק מקרים שבהם זה ברור ש-x ו-y מקיימים התאמה הדדית, "כל x מתאים לכל y ולהפך", או "יש x ככה שיש y") תמיד לכתוב הצרנה מילולית לפני ההצרנה (|עבור כל x...") - זאת גם הדרישה וגם הדרך להצליח

לחשוב טוב על בחירת הכמת!!! אם מדובר בהתייחסות לכל פריט שמקיים את התנאים - אז מדובר בהצרנה של A. רק אם מדובר בחלק מהפרטים שמקיימים את התנאים אז מדובר ב-E.

לשים לב שאותו משתנה יכול להופיע באותה טענה עם משמעות אחרת לגמרי (כאילו הוא חדש)!!! - אם הוא הופיע פעם ראשונה תחת כמת שהטווח שלו נסגר, ואז הופיע שנית קשור ע"י כמת חדש

שילוב הסימנים:

• שילוב של אותיות פרדיקטים ומציינים אישיים: אות פרדיקט (גדולה) תמיד תהיה מלווה במציין אישי, או משתנה או קבוע.
  • מספר האותיות הקטנות קובע את ערכיות אות הפרדיקט ('Valency')
  • Ax - אות פרדיקט חד-מקומית (ערכיות אחת)
  • Byd אות פרדיקט דו-מקומית (ערכיות שתיים)
  • Cabz - אות פרדיקט תלת-מקומית (ערכיות שלוש)
  • כמו בתחשיב הפסוקים, בהיעדר מספיק אותיות נשתמש באותיות ממוספרות. A1, c3 וכו' גם הן חלק משפה.
• שילוב של כמתים ומציינים אישיים: כמת תמיד יהיה מלווה במשתנה אחד בדיוק שכתוב לצידו: x∀, ∃y וכו'.

הגדרת הנב"ך בתחשיב הפרדיקטים:

• נתחיל מלהגדיר את המטא-שפה באמצעותה נתאר את שפת תחשיב הפרדיקטים:

  • μ מסמל מציין אישי מסוג משתנה (x,y,z)
  • υ מסמל כל מציין אישי (אם משתנה ואם קבוע)
  • Φ, Ψ יסמלו כל נוסחה שכוללת פרדיקטים
  • α, ꞵ ימשיכו לציין כל נוסחה, כמו בתחשיב הפסוקים

• ההגדרה לנב"ך, גם פה, היא רקורסיבית: כלומר, נתחיל מכמה אקסיומות שהן נב"ך ואז נפתח אותן כדי להסיק על מבנים נוספים שהם נב"ך.

• ההגדרה הבסיסית:
• כל אות פסוקית היא נב"ך (כמו בתחשיב הפסוקים)
• כל אות פרדיקט n-מקומית, שאחריה מופיעים n מציינים אישיים, היא נב"ך (חדש: על אות פרדיקט להופיע עם מס' המציינים המתאים למס' המקומות שלה)
• אם α נב"ך אז גם α¬ נב"ך (כמו בתחשיב הפסוקים)
• אם α ו-ꞵ נב"ך, אז αXꞵ נב"ך, כש-X מסמל כל פונקציה לוגית (כמו בתחשיב הפסוקים)

• אם α נב"ך, אז גם μα∀ או μα∃ הם נב"ך (חדש: לנוסחה בנויה כהלכה תמיד אפשר להוסיף משתנה (מציין מסוג משתנה) וכמת)

• כל אות פרדיקט n-מקומית, שאחריה מופיעים n מציינים אישיים, היא נב"ך:

  • הכוונה היא שאם F היא תלת-מקומית, יש לכתוב אותה Fxyz, Fabc, או גם שילוב (של משתנים וקבועים:) Fayz וכו'.
  • מספר המשתנים שכתובים לידה מגלה לנו כמה מקומות יש לה
  • עם זאת, חשוב לזכור שלפעמים הם נכתבים רק כדי שנדע מה ערכיות הפרדיקט. יכול להיות שהפרדיקט מופיע כ-Fx, אבל גם Fy, Fa וכו' יהיו נב"ך - כי ידוע שהערכיות של F היא 1
  • יכול להופיע אותו מציין פעמיים: Axx נב"ך
  • יש הנוהגים לכתוב F_ _ _ כדי לסמל תלת-מקומיות וכן הלאה, אבל החוברת לא בעד

• אם α נב"ך, אז גם μα∀ או μα∃ הם נב"ך:

  • הכוונה ב-α היא לכל נב"ך, גם במסגרת החוקים החדשים
  • אם Fx→Gx נב"ך לפי החוקים שלמדנו, אז גם (Fx→Gx)x∀, למשל, אבל Fx∃ לא (כי אין לנו משתנה לפני הכמת, ישר מגיעה α)
  • בהמשך לזה, xyF∀ לא נב"ך, כי מגיעים שני משתנים אחרי הכמת
  • וגם aFx∃ הוא לא נב"ך, כי a הוא מציין קבוע, ואחרי כמת בא רק משתנה יחיד.

מופע קשור ומופע חופשי של משתנים

• מופע קשור: מופע של משתנה μ בנוסחה Φμ, שנמצא בטווח של כמת μ∀ או μ∃.
  • אם הבנתי: בנוסחה עם פרדיקט שכוללת את משתנה μ, המופע של המשתנה הוא 'קשור' אם הוא בטווח של כמת שמתלווה אליו אותו המשתנה
• מופע חופשי: מופע של משתנה μ בנוסחה Φμ שאינו נמצא בטווח של כמת μ∀ או μ∃
  • הפוך מהמופע הקשור: אם המשתנה מופיע בנוסחה עם פרדיקט שכוללת אותו, אבל מחוץ לטווח של הכמת שאליו הוא מתלווה

![[Pasted image 20241228164247.png]]

• מופע יכול להיקשר פעמיים! כאשר משתנה x שבא אחרי אות פרדיקט נמצא בטווח של שני כמתים שמתלווה אליהם x.
• בתחשיב הפסוקים, כל נב"ך היא פסוק; בתחשיב הפרדיקטים זה לא כך!

• בתחשיב הפרדיקטים, נב"ך היא פסוק רק אם כל המשתנים המופיעים בה קשורים בדיוק פעם אחת (אם יש לנו x שאינו קשור, או קשור פעמיים - זה נב"ך, אבל זה לא פסוק עצמאי).

• החוק המלא קובע שנב"ך כלשהו הוא פסוק אך ורק אם אין בו:

• מופע חופשי של משתנה
• מופע של משתנה הקשור יותר מפעם אחת

• כמת שאינו קושר מופע כלשהו של משתנה (כמת שלא קושר בטווח שלו משהו...)

• ההבדל החשוב בין נב"ך לבין פסוק, מה שהופך את הפסוק ל-'עצמאי', הוא שלפסוק אפשר לייחס ערך אמת! ולנב"ך לא!

תחום הדיון של תחשיב הפרדיקטים

• בשפה הטבעית, אנחנו מבינים על איזה "תחום" חלה אמירה מסוימת בהתאם לקונקטסט
  • למשל: "כמעט לכולם יש שתי ידיים" היא מן הסתם טענה שמתייחסת לכל בני האדם
  • "כולם נובחים" היא על כל הכלבים, וכו'
• כשאנחנו מצרינים פסוק, אנחנו מאבדים הרבה מהקונטקסט וצריכים להגדיר במפורש מה הוא תחום הדיון של הטיעון.
• המוסכמה שננהיג היא כלהלן: כאשר תחום הדיון הוא כל הפריטים שבעולם, לא נציין את התחום במפורש.
• כאשר התחום מצומצם מ-'כל הפריטים', למשל כל היונקים, כל המילים בעברית וכו' - נציין את תחום הדיון

הצרנה עם כמתים

• כעת נלמד להצרין את 4 הטענות הקטגוריות של אריסטו (AEIO)
• המשמעות של (כמת)x... היא: "יש/כל x בטווח הזה (של ...)".
• לשים לב שאפשר גם לשלול את הכמת, כדי להגיד למעשה "אין x בטווח הזה"

הצרנה של טענות ישיות מסוג I

• טענות של 'יש' (יש a שהוא b), למשל: יש נחש שהוא וורוד
• הטענה בעצם אומרת: יש פרט שהוא גם נחש, וגם וורוד.
• x יהיה הפרט, והוא יכלל בשני פרדיקטים: "x הוא נחש" ו-"x הוא וורוד".
• נבנה מילון:

  Sx - איקס הוא נחשב Px - איקס הוא וורוד

• נקבע את צורת הפסוק - ברור שנשתמש בכמת הישי ∃, ומה שהוא מבטא הוא שילוב של שתי פרדיקציות, כלומר קוניונקציה.

• צורת הפסוק: (x(Sx∧Px∃

  • הערות על שימוש בכמת:
  • לא לשכוח ששמים x מיד לאחריו. אנחנו לא כותבים "יש(מקרה של x ו- עוד מקרה של x)", אלא כותבים ישx(בטווח הזה של מקרים אפשריים של x).
  • בהמשך ל-1, צריך לוודא שאנחנו תוחמים נכון את הטווח של הכמת - אם לא היינו משתמשים בסוגריים, הנב"ך הקצר ביותר לאחריו היה Sx, ולא הקוניונקציה של Sx ושל Px. לכן יוצרים סוגריים.

הצרנה של טענות ישיות מסוג O

• לדוגמה: יש נחש שאינו וורוד
• נשתמש במילון מהדוגמה של טענות I
• אנחנו באמת רוצים להגיד: "יש x שהוא נחש, אבל הוא לא וורוד"
• אז נכתוב ככה: (x(Sx∧¬Px∃

הצרנה של טענות כללניות מסוג A

• לדוגמה: כל נחש הוא וורוד
• זה יכול להיות מבלבל - x בצורתו הפשוטה יכול להיות כל דבר בעולם.
• בטענות הישיות, עבדנו עם x בטענה ש-"עבור(כל הדברים בעולם), יש דבר שהוא (גם וורוד וגם נחש).
• במקרה הזה, לא נוכל להגיד "עבור(כל הדברים בעולם), כל פרט הוא (גם נחש וגם וורוד)" אנחנו מתכוונים רק ש"(עבור כל הדברים בעולם), כל פרט שהוא (נחש) הוא גם (וורוד)"
• זוהי למעשה התניה: "עבור(כל הדברים בעולם), אם פרט הוא (נחש) אז הוא גם (וורוד)"
• ולכן נצרין כך: (x(Sx→Px∀ (לשים לב שעברנו לכמת הכולל - ∀)
• העובדה שבטענת A מסתתרת התניה הייתה ברורה לאריסטו, והיא מקבלת ביטוי בריבוע הניגודים

הצרנה של טענות כללניות מסוג E

• לדוגמה: כל נחש אינו וורוד
• גם זה יכול להיות מבלבל - אנחנו בעצם רוצים להגיד "עבור(כל הדברים בעולם), אם דבר (הוא נחש), אז (הוא לא וורוד)"
• ואנחנו לא רוצים להגיד "עבור(כל הדברים בעולם), כל דבר ((הוא נחש) ו- (הוא לא וורוד))"

• לכן נצריך כך: (x(Sx→¬Px∀

• נלמד יותר לעומק את הקשר לריבוע הניגודים בפרק 8, כשנדבר על פשר ועל אמת בפשר