הדפסות 3 תחשיב פסוקים

חידודים ממש חשובים להצרנות מורכבות: 1. לפני שמתחילים, להמיר את המשפט לצורה הכי "לוגית שלו" - זה חשוב. 2. פסוק עם שלילה בתוכו הוא לא פסוק אטומי - אפשר לפרק אותו לשלילה ופסוק אטומי (נשייך אות פסוקית רק לצורה החיובית של משפט שלילה) 3. לשים לב לדיסיונקציות שבהן לא אפשרי ששני המצבים יהיו T - בדיסיונקציות כאלה, ההצרנה היא לשלילה של שקילות מטריאלית (דיסיונקציה אקסלוסיבית), ולא לדיסיונקציה רגילה. 4. להיזהר עם הסוגריים - לפעמים קשר מסוים "תוחם" ביטוי בסוגריים גם כאשר הוא מגיע אחריו.

כללי הנבך

לא לשכוח! 1. בתחשיב הפסוקים הכי בסיסי יש רק rqp וכו' (אותיות קטנות מאמצע ה-abc) שהן אותיות פסוקיות, סוגריים ופונקציות; אם חסרות אותיות עושים p1 וכו'; משתנים זה רק בפרדיקטים. 2. האותיות α ו-ꞵ וכו' הן חלק רק מהמטא-שפה!, ולא מהשפה עצמה. הן לא נב"ך כשלעצמן. 3. כשמצרינים, חשוב למצוא קשר ראשי ולהראות סוגריים - וחשוב לדאוג שלא הפכנו את הכיוון של אימפליקציה! (קל להתבלבל ולשים את הסיפה ברישה וכו')

הוכחת קשר אמת:

אנו יכולים להשתמש גם בטכניקה הדו־שלבית הבאה: 1. בשלב הראשון אנו פותחים טבלת אמת לקשר ומנסים לקבוע אם ניתן לקבוע את ערך־האמת של הפסוק המורכב רק על־סמך ערכי־האמת של המרכיבים. במקרה שהצלחנו בכך, אנו קובעים כי הקשר הוא קשר אמת, ובזאת סיימנו. 2. במקרה שנתקלנו בבעיה בשורה מסוימת של טבלת האמת, אנו עוברים לשלב השני ומביאים דוגמה אחת שבה הפסוק המורכב הוא אמיתי באותה שורה, ודוגמה אחת בה הוא שקרי באותה השורה. אם ישנן שתי דוגמאות כאלה, אנו קובעים כי הקשר איננו קשר אמת.

סוגי פסוקים: בשפה הטבעית, פסוקים אטומיים הם משפטים שאם נחלק אותם, נקבל צירופים שלפחות אחד מהם אינו טענה.

למשל: "אני הילד הכי גדול" - אם נפרק ל-"אני הילד" ול-"הכי גדול", הרי שלפחות "הכי גדול" אינה טענה (ומה המשמעות של "אני הילד"?...). במילים אחרות, פסוק אטומי הוא כל טענה שלא ניתן לפרק לתת-טענות מבלי שארית.

פסוקים מורכבים הם חיבור של פסוקים אטומיים, באמצעות קשרים פסוקיים: למשל "אבל", "ו-", "מפני ש-" וכו'. ישנם 'סתם' קשרים פסוקיים, וישנם קשרי אמת: קשר פסוקי הוא קשר אמת אם ורק אם ניתן לקבוע את ערך האמת של הפסוק המורכב (כלל הטענות) באופן חד-משמעי בהינתן ערכי האמת של הפסוקים האטומיים המרכיבים אותו.

הצרנה: קשר ראשי הוא הקשר שקובע את אופי הפסוק: פסוק תנאי, פסוק ברירה, פסוק שלילה וכיו"ב. בפסוק מוצרן (נב"ך) הקשר הראשי הוא זה שנמצא מחוץ לכל סוגריים (על־פי המוסכמה שהנהגנו). במקרה שיש בו קשר דו־מקומי וגם קשר חד־מקומי מחוץ לכל סוגריים, הדו־מקומי הוא הראשי.

תרגום של טענות מהשפה הטבעית לשפה הלוגית מתבסס על: 1. התאמה בין פסוקים אטומיים (בשפה הטבעית) לאותיות פסוקיות (בשפה הפורמלית): זיהוי של 'נשאי אמת'. 2. התאמה בין קשרי אמת (בשפה הטבעית) לפונקציות אמת (משפת תחשיב הפסוקים)

✍ חידוד: פסוק אטומי הוא כל רכיב-משפט בשפה הטבעית שלא ניתן לפרק אותו למרכיבים שכל אחד מהם הוא או פסוק אטומי, או קשר אמת

✍ מה שהופך רכיב-משפט לפסוק אטומי, ומה שמגדיר 'נשא-אמת', זו האפשרות לשייך לו ערך-אמת של T/F, כמו לאות פסוקית.

הצרנה של מרובי קשרים

• כדי להצרין פסוק עם יותר מקשר אחד, תחילה עלינו למצוא את הקשר הראשי: זה שנמצא מחוץ לכל הסוגריים. אם יש לנו גם דו-מקומי וגם חד-מקומי מחוץ לכל הסוגריים, מצרינים לפי הדו-מקומי.
• הקשר הראשי הוא זה שמגדיר את אופי הפסוק

**שלבים להצרנה של משפטים מרובי קשרי אמת: 1. לפרק את הפסוק לפסוקים אטומיים ולקשרי אמת 2. בניית 'טבלת אמת' לכל קשר אמת, על מנת להתאים לו פונקציית אמת (חד/דו מקומי בהתאמה) 3. הצרנת הפסוקים המולקולריים (לאותיות פסוקיות + פונקציות אמת) 4. מחברים את הפסוקים שהוצרנו בהתאם למבנה של הפסוק המורכב/המולקולרי

כך למשל, "יוסי חרוץ אבל אינו חכם" יוצרן ל- p∧¬q

שלבים להצרנה של משפטים מרובי פסוקים אטומיים:

1. לאתר את כל הפסוקים האטומיים במשפט ואת קשרי האמת
2. לנתח את היחסים ביניהם: בכל פעם שקשר מתייחס רק לחלק מהפסוק המורכב, יש לתחום את החלק הנכון בסוגריים.
3. הקשר שנמצא מחוץ לכל הסוגריים הוא הקשר הראשי. (יתכן שיהיו שניים, כאמור, חד מקומי ודו-מקומי. במקרה כזה, הדו-מקומי הוא הראשי.)

אם מדובר באימפליקציה מטיריאלית (IF →), יש לוודא תמיד מה היא הרישה (התנאי, antecedent), ומה היא הסיפה (המותנה, consequent).

• הרחבת ההגדרה של פסוק אטומי: למדנו שאת הפסוק האטומי לא ניתן לפרק כך שנקבל רק פסוקים וקשרי אמת. התוספת היא שלעתים ניתן לחלק אותו כך, אבל לפסוקים המתקבלים לא יהיו ערכי-אמת עצמאיים.

  ◾ לדוגמה, "דני ורוני מתחתנים". אם ההקשר הוא שהם מתחתנים עם אנשים שונים, הרי שזה לא פסוק אטומי, אלא "דני מתחתן" + "ו-" + "רוני מתחתנת", כאשר לכל אחד מהפסוקים יש T/F עצמאי. ◾ עם זאת, ברוב המקרים ההקשר יהיה שהם מתחתנים זה עם זה. במקרה כזה, לכאורה אפשר לפרק את הפסוק ל-"דני מתחתן עם רוני" + "ו-" + "רוני מתחתנת עם דני", אלא שעבור כל אחד מהפסוקים האלה ערך האמת תלוי בערך האמת של השני!. מאחר שלפסוקים אין ערך אמת עצמאי, הרי שהפסוק המכיל אותם הוא אטומי.

  ✍ זה המצב בכל קשר של הדדיות, אבל כמובן שזה לא יהיה ככה במה שהוא קוניונקציה מטבעו, למשל "דני ורוני גבוהים".

- לא לשכוח את ההבדל בין "רק אם", "אם ורק אם", "אם... (אז...)" - כל אחד מהשלושה הוא שונה. באופן כללי, אם לא נכתב בפירוש "אם ורק אם" (התניה כפולה), הרי שיש לנו התניה בודדה.

◾ בלוגיקה אריסטוטלית, למדנו שהתניה מתורגמת לטענה כוללת וחיובית בסדר הפוך ("רק s הוא p" מתורגם ל-"כל p הוא s". ◾ דבר דומה קורה בתחשיב הפסוקים: טבלת האמת של "רק אם" לא קיימת כפונקציה כשלעצמה, אבל היא מתקבלת כשהופכים את הרישה והסיפה בטבלה של אימפליקציה מטריאלית/IF. הכוונה היא שניתן להתאים "רק אם" לפונקציה של IF, פשוט צריך ליצור פונקציה של ꞵ→α, ככה שהיא שגויה כשהאות הפסוקית השניה היא אמת בעוד הראשונה היא שקר (לעומת המצב ההפוך.) ◾ ניתן להבין את זה גם ככה: השורה בה הפונקציה היא F, היא השורה השלישית ולא השניה. ◾ אז בעצם, אם יש לנו טבלה שמתאימה ל-"רק אם", יש להצרין אותה כ-"אם... אז...). "α רק אם ꞵ" מוצרן כ-"אם בטא אז אלפא". ✍ באופן כללי - "רק אם" = b עשוי לקרות רק כש-a קורה "אם" = אם a קורה, b קורה בהכרח "אם ורק אם" = b קורה בהכרח כש-a קורה, ולא קורה בשום מצב אחר (בעצם, יש לנו "רק אם", ויש לנו "אם" - ואז "אם ורק אם" הוא השילוב שלהם! בלעדיות והכרחיות.)

ישנם קשרי אמת כמו "אלא אם כן...", שיצרו טבלת אמת דומה לזו של הדיסיונקציה, אלא שישללו מצב של T-T (שתי הפונקציות הן אמת). - הדיסיונקציה שהכרנו עד כה נקראת 'דיסיונקציה כוללת', והיא בעצם מקבלת ערך T גם במצב ששני האיברים שקשורים ב-OR הם T. (היא F רק כששניהם F). - הדיסיונקציה שנוצרת כשיש לנו משהו כמו "אלא אם כן..." נקראת 'דיסיונקציה אקסלוסיבית', מאחר שהיא מקבלת ערך F במצב שבו שני האיברים הם T. היא T רק כשזה "או a או b (ולא שניהם)".

על מנת להצרין, יש שתי אפשרויות: 1. לבנות את הנוסחה כך שהפסוקים שלה יסתרו זה את זה במקרה של T-T: ("אם P אז לא Q" + "או-" + "אם Q אז לא P"). 2. לערוך את המשפט שקיבלנו, כדי שיכלול בסופו "אבל לא שיקרו שני הדברים". אפשר לבנות את הנוסחה ולבטא את זה בסופה: ("p או q" + "ו-" + "לא p ו-q").

◾ הדיסיונקציה האקסלוסיבית מייצרת טבלת אמת "הופכית" (T איפה ש-F ולהפך) לזו של השקילות המטריאלית. לכן, שלילה של שקילות מטיריאלית היא שקולה לוגית לדיסיונקציה אקסלוסיבית. לכן ניתן להצרין גם כך: 3. ¬(p↔q)

• לפעמים יש תנאים שאין להם מילות התניה. למשל "ניפגש בשני, או בראשון אם יהיה זמן." כמובן שלא מדובר ב-"ניפגש בשני" + ("ניפגש בראשון" אם "יהיה זמן")". יש להשלים את המשפט כאילו הוא "ניפגש ביום ראשון אם בראשון יהיה זמן, וביום שני אם בראשון לא יהיה זמן". נראה לי שתמיד כדאי להרחיב את המשפט ככה שהמשמעות הסבירה שלו תימצא מילולית.

• אנחנו כן מציבים את ה-NOTים כמובלעים בטבלה. הטבלה שאנחנו בונים היא עבור הפסוק המולקולרי, היינו אמורים לבנות טבלאות לכל קשר אמת משני אם היה צורך (אם לא היה טריביאלי לזהות אותו כ-NOT).

  1. במילים אחרות, על הטבלה של קשר האמת הראשי לכלול כאיברים את השכבה הראשונה של הסוגריים, כאשר השכבות הנוספות (NOT שמתייחס לפסוק מולקולרי, וכו') נכללות באיברי הטבלה.

הצרנת טיעונים

• דומה מאוד להצרנה של טענות, אבל חשוב לבנות 'מילון' משותף לכל הטענות בטיעון - כל פסוק אטומי שמשתתף בטיעון מסומן באות פסוקית ייחודית.
• כשמקבלים טיעון בשפה הטבעית, יש לסדר אותו לצורה של שתי הקדמות ומסקנה, לחלק לאותיות פסוקיות ייחודיות ואז להציג ברשימה מוצרנת.
• את המסקנה מסמנים לא כ-'3.', אלא בסימן המיוחד למסקנה: ∴