הדפסות 10 זהות

לשים לב איפה יש לנו פרדיקט ואיפה משתנה... אי אפשר לעשות "או נב"ך או y" - כאשר y משתנה, חייב להיות לפניו פרדיקט... (תרגיל א סעיף 4)

בפשרים: לא לשכוח שאם יש לנו ביטוי עם שני כמתים, נדגים בהתחלה שהמשתנה הראשון מספק את הביטוי עם הכמת הראשון, ואז נגיד שהחלק הזה ממנו אמיתי בפשר, ואז נראה כיצד המשתנה השני מספק את הביטוי שכבר כולל את הכמת הראשון...

בהצרנות עם כמתים: שוב, לא לשכוח כמת לפני כל הופעה של משתנה חדש!!!! משתנה לא קשור = לא פסוק.

בתיאורים מיידעים פשוטים (עם ה' הידיעה ובלי מספור מפורש): אני נוטה ללכת לפי השבלונה של קיום-יחידות-פרדיקציה, אבל נראה שלא חייב... למשל, את "המחברת של הספרים בעל ואישה וחיי אהבה היא צרויה שליו" (תרגיל ד-2) הצרנתי כך: ∃x((Axb∧Axh)∧∀y((Ayb∧Ayh)→y=x)∧x=s) "קיים x כך ש-x כתב את b ו-x כתב את h - ועבור כל y, אם y כתב את b ו-y כתב את h, אז y זהה ל-x" בעוד שהחוברת הצרינה יותר פשוט: (Asb∧Ash)∧∀x(Axb∨Axh)→x=s) "צרויה שליו היא המחברת של b וצרויה שליו היא המחברת של h, ועבור כל x, אם x הוא המחבר של b והמחבר של h, אז x=s" למה זה ככה? כי יש לנו קבוע - אין צורך לקשור את Asb או את Ash עם כמת. האינסטינקט הראשוני הוא פשוט לכתוב Px אם ידוע ש-x הוא P -אבל כדי לקשור את הכמת יש לעשות xPx∃... פשוט לזכור שכשאין משתנה - לא צריך. צורת הכתיבה שלי בסדר, אבל עדיף לעשות מדויק. במקרה שבו לא כתוב "(שם פרטי) הוא/היא ה-...", אלא פשוט "ה-... הוא/היא (פרדיקט)" - אז עושים כמו שכתבתי עד כה. (תרגיל ד-3 למשל)

בהצרנות עם מספור: קודם כל, להסתכל על התרגילים בחוברת ועל הפתרונות. יש מלא דוגמאות. הערה מאוד חשובה: נפלתי בתרגיל ה-4. כשמצרינים עבור "לכל הפחות" עם 2 פריטים או יותר - זה לא מספיק לכתוב שיש אותם ושעבור כל פריט נוסף, אם הוא כמוהם, אז הוא זהה לאחד מהם. צריך גם לכתוב שהם שונים זה מזה!!! להסתכל על תרגיל ה-4...

פלואוצ'ארט די פשוט: 1. בודקים אם מדובר ב-x או בזהות (מי שה' הידיעה מתייחסת אליו: האם זה Px עבור "ה-... הוא פילוסוף" - או שהאם זה "בני הוא ה-..." ואפשר לשים קבוע b for benny ) 2. בהתאם - נבנה את ההצרנה עם כמת ישי בהתחלה (עבור משתנה) או עם אפיון הקבוע (עבור קבוע) 3. אם יש לנו משתנה - בסוף נכתוב את הפרדיקט שמאפיין אותו. זה מגיע אחרי התנאים לזיהוי שלו (נניח "המחבר של a ושל b") ואחרי השלילה של משתנה נוסף כמוהו (אם יש y שהוא המחבר של a ושל b - אז הוא זהה ל-x) 4. אם יש לנו קבוע - מסיימים בשלילה של משתנה נוסף כמוהו (x, כי לא התחלנו מ-x)

פלואו-צ'ארט להצרנה עבור מספור: לכל הפחות: - עבור פריט אחד: נכתוב שקיים x עבור ההגדרות שלו. אם הוא קבוע ולא משתנה - פשוט נכתוב את ההגדרות שלו (Pa נניח). - עבור שני פריטים או יותר: 1. נכתוב שהם קיימים באמצעות כמתים - n∃ עבור כל פריט 2. נכתוב את האפיון שלהם בטווח הכמתים שהוספנו (יש xyz... כך ש-x כלב ו-y כלב ו-z כלב, למשל) 3. נכתוב שהם שונים זה מזה (נחבר בקוניונקציה לאפיון: x לא שווה y, y לא שווה z, ו-z לא שווה x - למשל) לכל היותר: - כפסוק עצמאי (בלי "לכל הפחות"): 5. נפתח כמתים כוללים עבור מס' הפריטים שיש לכל הפחות + 1 ("יש לי עד 2 דברים" = פותחים xyz) 6. כותבים את האפיון שלא יכול להיות משותף לכולם כרישה של התניה (אם x שייך לי, ו-y שייך לי, וגם z שייך לי...) 7. בסיפה של ההתניה, כותבים דיסיונקציה שאומרת שאחד מהם חייב להיות זהה לאחד מהאחרים (אז x=y או y=z או z=x)

 **לא לשכוח שלא עושים שרשרת של 3 דיסיונקציות - לשים סוגריים שרירותיות!**

 **ותמיד להצרין עבור "לכל היותר", "לכל הפחות", או "בדיוק:"** 
   למשל, "למוריה אין יותר מכלב אחד" מוצרן פשוט כ-"לכל היותר כלב אחד".
   "לענבר יש כלב אחד" מוצרן כ-"לענבר יש כלב אחד בדיוק". 
   תמיד עדיף לבדוק בחוברת דוגמאות - ולכתוב איך בחרנו לפרש את הצורה הטבעית.

בתכונות יחסים: לא לשכוח לציין אנטי-סימטריה, ולא לשכוח שאנטי-סימטריה היא לעולם לא תכונת הסימטריה היחידה. כל יחס הוא סימטרי, א-סימטרי או לא-סימטרי, ובנוסף לכך עשוי להיות אנטי-סימטרי. (עריכה: בפתרונות לתרגילים דווקא נראה שלציין אנטי-סימטריה זה מספיק. זו כנראה תמיד סוג של לא-סימטריה)

באפיון יחסים כדי להגיע לטיעון תקף (תרגיל ו-ג): אלה השלבים שהחוברת לגמרי איבדה את זה. לא ברור אם צריך לאפיין את כל מה שמהותי לקשר, או את מה שמהותי לתקפות הטיעון. עדיף לא להיכנס לשאלה כזו, ואם כבר יש אחת, לאפיין הכל ולנמק...

**קשר לא יכול להיות רפלקסיבי ואין-טרנזיטיבי: אם הוא מתקיים בין a ל-a הוא לכל הפחות לא-טרנזיטיבי, אם יש דוגמאות נגדיות, כי הוא מתקיים בין a ל-a ל-a

סיכום + חידודים חשובים לגבי תכונות יחסים: רפלקסיביות הוא יחס שפשוט קובע: עבור כל פריט בתחום הדיון, הפריט מתייחס לעצמו. סימטריה היא יחס עם התניה: אם פריט מקיים יחס עם פריט אחר, אז היחס הוא דו-כיווני (אם לא מקיים - אין לסימטריה משמעות) טרנזיטיביות גם היא יחס עם התניה: אם פריט a מקיים את היחס כלפי b, ואם b מקיים את היחס כלפי c, אז a מקיים אותו כלפי c בהכרח.

(ההבדל החשוב הוא שרפלקסיבות מלמדת אותנו שכל פריט מקיים אותה, בעוד ששתי התכונות האחרות מלמדות אותנו משהו אודות הפריט אם הוא מקיים את התנאי שלהן)

חשוב לזכור שאם קבענו שהיחס הוא אחת מהתכונות המותנות (סימטריה או טרנזיטיביות) - אז הוא חייב לקיים את הכלל באופן פעיל ללא יוצא מן הכלל. כלומר - לא מספיק שאין הפרה של הכלל - צריך שיתקיים בפועל (בפשר שבו לכל הפרדיקטים יש אקסטנציות ריקות, אפשר להגיד שמתקיימת גם סימטריה וגם א-סימטריה, פשוט כי מהתניה שהסיפה שלה היא שקר ניתן לגזור כל רישה... כדי שלתכונות תהיה משמעות, אנחנו קובעים אותן רק כשיש דוגמה 'חיובית' עבור הכלל של התכונה, ואין הפרה שלה

סינטקס

• סימן הזהות נחשב לפרדיקט דו מקומי והסמל שלו הוא "="
• עם זאת, לא נכתוב =ab אלא a=b
• בשני הצדדים יהיו רק משתנים בודדים: לא פרדיקטים, לא אותיות גדולות, לא קבועים...

• נרחיב את הגדרת הנבך בהתאם: ![[Pasted image 20250129114824.png|500]]

• בתחתית השורה אם יש צורה תקינה של a=b פשוט מתייחסים אליה כאל נב"ך α, כמו ל-Abc לצורך העניין

• לשים לב שאת המציינים של הזהות אי אפשר לשלול כשלעצמם - a=¬b הוא דווקא לא נב"ך אלא רק a=b¬

סמנטיקה

• כזכור, הסמנטיקה של שיטה לוגית היא התנאים שבהם נקבע ערך האמת של הביטוי

• במקרה של תחשיב הפרדיקטים, זה קשור לפשר (למצוא את ההסבר בפרק 8)

• המוסכמה לגבי פרדיקט הזהות (=) בכתיבת פשר:

  • I(=) לא נהוג לכתוב, אבל נעשה רגע כאילו כן
  • הפשר הזה מונה את קבוצת כל הזוגות הסדורים האפשריים בתחום הדיון, כך שהאיבר הראשון בזוג והאיבר השני בזוג הם אותו האיבר
  • כלומר, אם יש לנו {a, b, c}, האקסטנציה של (=)I היא {, , <c,c}
  • חשוב לזכור את ההנחות שלנו לגבי תחום הדיון: כל פריט בתחום הדיון הוא ייחודי בזהותו
  • כלומר: אם a ו-b היו מקיימים זהות חמורה, לא היינו כותבים את שניהם. אם נכתב גם a וגם b, אנחנו מניחים שלכל אחד זהות ייחודית. כי כל זהות ייחודית נכתבת פעם אחת בלבד בתחום הדיון.

• זה בעצם אומר שהפרדיקט a=b אמיתי בפשר רק בתנאי שהאסקטנציה של = (פרדיקט הזהות) כוללת את הזוג הסדור

• אם הפשרים של a ו-b הם זהים, זה אומר שהם מציינים את אותו פריט בתחום הדיון

• זה עוזר לי קצת להבין מתי כותבים אסקטנציה לקבוע/משתנה:

• תחילה יש את תחום הדיון (דומיין) שמונה כל פריט "ממשי" בעל זהות ייחודית
• כשאנחנו רוצים לכתוב a או b וכו' בטיעון עצמו, אנחנו כותבים a אבל זה לא קובע לאיזה פריט אנחנו מרפררים
• לכתוב בפשר a=(a)I בעצם אומר "כשאנחנו כותבים a, זו אקסטנציה שכוללת את הפריט a מתחום הדיון"

• לכן, אמנם אי אפשר לכתוב בדומיין a ו-b כך ששניהם יהיו אותו פריט (כל אחד ייחודי), אבל אפשר "להמציא" קבוע b שהפשר שלו כולל את איבר c מתחום הדיון, ולעשות אותו דבר עבור קבוע a, ככה שיהיו לנו 2 קבועים (ולא 2 פריטים) שמצביעים על אותו הפריט.

• המשמעות של כל זה, היא ש-a=a הוא פסוק אמיתי בכל פשר (טאוטולוגיה) בעוד ש-a=b הוא קונטיגננטי (נכון בחלק מהפשרים בלבד)

• לא קשה להבין את זה: בכל מצב שבו יש לנו a, יש לפחות פריט אחת בדומיין, ו-a כולל בפשר שלו לפחות את הפריט הזה. לכן יש (a)I, וכמובן ש-(a)I זהה לעצמו
• לכן, יש זוג סדור <פשר(a), פשר (a)>, כי יש לפרדיקט הזהות כל זוג סדור שהוא זהה מהגדרתו

הצרנות

הצרנת זהות רגילה

• דוגמה לשימוש בזהות בהצרנה: "יוסף סטאלין הוא כוסשליאבא כוסשליאמא" s - יוסף סטאלין g - כוסשליאבא כוסשליאמא s=g

• למעשה, בכל מצב שיש לנו שני שמות שמתייחסים לאותו פריט ("ממשי") בתחום הדיון

• לשים לב שאנחנו מתחילים מלהצרין שמות כ-קבועים. שם לא יכול להיות פרדיקט עם משתנה (Sx = x הוא סטלין) כי הוא לא לוקח x, הוא רק מרפרר באופן קבוע לפריט בתחום הדיון. לזכור את ההצרנות שעשינו, אם יש לנו שם פרטי ולא תואר או הגדרה - מצמידים קבוע ולא פרדיקט עם משתנה

• כמו שלמדנו, טענה מסוג a=b (זהות לא טריביאלית) עשויה להיות תקפה מודלית, אבל היא לא טאוטולוגיה (לא הכרחית צורנית).
• בעקבות המחקר של סול קריפקי ('שמות והכרח' - 1994), הפכה רווחת הטענה לפיה a=b היא טענה הכרחית, למרות שאינה טאוטולוגית (מה ההבדל בין הכרחית לטאוטולוגית? מה המשמעות של להגיד ש-a=b מתקיימת רק לפעמים, אבל שהיא הכרחית?)

הצרנת זהות בשילוב משתנה

• לשים לב שאפשר גם להשתמש במשתנה ולהשוות אותו לקבוע של שם: "כל התלמידים חוץ משרה נכשלו" Px תלמיד Fx נכשל s שרה ∀x((Px∧¬x=s)→Fx) "עבור על איקס, אם איקס תלמיד ואיקס לא זהה לשרה, אז התלמיד נכשל"

תיאורם מיידעים

• ל-ה' הידיעה שני שימושים לוגיים בשפה הטבעית
• את הראשון למדנו, ייצוג של כמת כללי - למשל "הפיל הוא יונק" בא להגיד "עבור כל x, אם x הוא פיל, אז x הוא יונק"

• שימוש נוסף הוא כדי להצביע על פרט ספציפי באמצעות תכונה שלו, למשל "המחבר של מלחמה ושלום"

• מה המשמעות הלוגית של הצבעה מהסוג השני? למען האמת, פילוסופים התחבטו בכך לא מעט.

• אנחנו נכיר תשובה שכתב ברטנארד ראסל במאמר ידוע - "On Denoting" ("על ההצבעה")

• התשובה של ראסל הייתה כזו:

  • ראשית, יש לשאול האם יש מלך בצרפת. הטענה לא יכולה להיות נכונה כיום, כשאין.
  • שנית, יש לשאול האם יש יותר ממלך אחד בצרפת - כי זה משנה את המשמעות
  • שלישית, יש לשאול האם המלך אכן קירח
  • שלושת השאלות חשובות ולא עומדות בעצמן - אין משמעות לקביעה שהמלך לא קירח אם אין מלך, ואין משמעות לקביעה שיש מלך קירח אם יש עוד מלך...

• לכן, ראסל טוען ש-"המלך של צרפת הוא קירח" היא קוניונקציה של שלוש טענות: "יש מלך בצרפת כרגע" ∧ "אין יותר ממלך אחד בצרפת כרגע" ∧ "כל מלך צרפת נוכחי הוא קירח"

• ההצרנות של "יש מלך בצרפת" ושל "מלך צרפת קירח" הן קלות: "יש איקס ל-מלךבצרפת" ו-"עבור כל x, אם x הוא מלך בצרפת, אז x הוא קירח".

• אבל מה לגבי ההצרנה של "אין יותר ממלך אחד בצרפת כרגע?" איך מצרינים התייחסות לכמות הפריטים בתחום הדיון שעונים להגדרה מסוימת? אנחנו בעצם רוצים להגיד: "בתחום הדיון, יש פריט אחד בלבד שנכלל באקסטנציה של K (מלך)". לדעתי: נגיד שהאקסטנציה של K זהה ל-x; זה בעצם אומר שיש פרט אחד בתחום הדיון, שהאקסטנציה של K זהה לו (ולכן כוללת אותו בלבד). התשובה: לא נכון. כלומר, אולי גם שלי נכון, אבל החוברת מסבירה שאנחנו רוצים להגיד "אם יש x שהוא F וגם יש y שהוא F, אז x=y" (כלומר, כל פריט שהוא F, הוא אותו פריט, לכן יכול להיות רק פריט אחד תחת F).

• המרכיבים של הקוניונקציה עבור תיאור מיידע הם:

  1. תנאי הקיום (יש x עבור F...)
  2. תנאי היחידות (הביטוי שמגביל את כמות הפרטים - "אם יש x שהוא F וגם y שהוא F, אז x=y")
  3. תנאי הפרדיקציה (עבור כל x, אם x הוא F, אז x הוא...) ככה למשל: "הרוצח של רבין בכלא" = "יש x עבור הרוצח של רבין"; "אם יש x שהוא הרוצח של רבין וגם y שהוא הרוצח של רבין, אז x זהה ל-y"; "עבור כל x, אם x הוא הרוצח של רבין, אז x הוא בכלא"

• אחרי שבנינו 3 טענות, לרוב אפשר לאחד אותן לטענה אחת (שהיא פשוטה יותר מ-3 קוניונקטים) ניתן לראות את המעבר בין הצורות בדוגמה הזו (מהתשובות שלי לתרגיל ד):

1. אם קיים x כך ש-x הוא המחבר של a, וקיים y כך ש-y הוא המחבר של a, אז x זהה ל-y; עבור כל x, אם x הוא המחבר של a, אז x זהה ל-t ∃x(Axa)∧(∃x(Axa)∧∃y(Aya))→x=y)∧∀x(Axa→x=t)

   1. קיים x כך ש-x הוא המחבר של a, ועבור כל y, אם y הוא המחבר של a אז y זהה ל-x, ו-x זהה ל-t

∃x(Axa∧∀y(Aya→y=x))∧x=t)

• את הרכיב של תנאי היחידות אפשר לקצר די משמעותית: במקום "אם קיים x שהוא F וגם y שהוא F אז x ו-y זהים", אפשר לעשות "עבור כל x ו-y, אם Fx וגם Fy אז x זהה ל-y"

• חשוב לשים לב שהטענה הזו כלשעצמה לא מבטיחה שיש לפחות פריט אחד בתחום הדיון שהוא F, אלא שאם יש כפילות, זה אותו פריט. אם אנחנו משלבים עם תנאי הקיום. גם פה אפשר לקצר:** במקום לכתוב "(תנאי יחידות)∧(תנאי קיום)", נעשה: "קיים x כך ש-Fx, ועבור כל y, אם Fy אז y=x". (אנחנו בעצם אומרים - קיים x לפרדיקט, ועבור כל y, אם גם הוא בפרדיקט, אז הוא x)

פסוקים מספריים

• איך נצרין את הטענה שיש לפחות שני פריטים שהם F בתחום הדיון? אי אפשר להמיר את הטענה הכללית בטענה ישית, כי זה יגיד "יש בין 1 לאינסוף" בנוסף, אנחנו צריכים לוודא שכל פריט הוא ייחודי - אם x ו-y שניהם F והם זהים, למעשה יש לנו בתחום הדיון רק פריט מתאים אחד

• הצורה הנכונה להצרנה הזו היא:

  1. "קיים x וקיים y... (תנאי הקיום - נגדיר אילו משתנים קיימים במינימום, זה למעשה מעורבב כאן עם היחידות, כי כל משתנה שנפתח הוא ייחודי)
  2. כך ש-x הוא F וגם y הוא F... (תנאי הפרדיקציה - מגדירים מה הפרדיקט של המשתנים)
  3. וגם לא נכון ש-x זהה ל-y (תנאי היחידות - אפשר להגיד. ב-1 הגדרנו כמה משתנים יש, וכאן אנחנו מגדירים שהם ייחודיים ולא זהים אחד לשני).

• אז למדנו להצרין "יש לפחות 2 פריטים ל-"F", אבל איך נגביל את זה ל-2 פריטים בלבד? צריך להוסיף שיש 2 פריטים ל-F לכל היותר: היה לנו את ∃x∃y((Fx∧Fy)∧¬x=y) שאומר "לכל הפחות 2 פריטים ל-F"

  כדי להוסיף שיש לכל היותר שניים, נוסיף קוניונקט כזה: ∀x∀y∀z((Fx∧Fy∧Fz)→((x=y∨x=z)∨y=z)

  אנחנו בעצם אומרים "עבור כל x,y,z (עבור שני המשתנים שיש במינימום + משתנה נוסף), אם כל המשתנים הם F, אז אחד מהמשתנים זהה למשתנה אחר"

  (אותו אופן שאנחנו מגבילים בו להתאמה אחת - רק עם מס' משתנים של n+1 כאשר n הוא מספר המשתנים שיש לכל הפחות - כפי שכתבנו בהצרנה המספרית)

  אפשר גם לקצר ולכתוב התניה רק עבור המשתנה השלישי (n+1), ככה: ∀z(Fz→(z=x∨z=y))

  (בעצם אמרנו - "עבור כל z בלבד (משתנה שלא נכלל בתנאי המינימום), אם z הוא F, אז z זהה לאחד המשתנים שהגדרנו במינימום)

• אז כדי לחדד: בתיאור מיידע אנחנו קובעים שאפשר שיהיה פריט אחד ייחודי עבור פרדיקט. זה אומר לכל היותר. בפסוק מספרי אנחנו מוסיפים קביעה לגבי מס' הפרטים הייחודיים שיש לכל הפחות, ומחברים אותה (אם צריך) לקביעה לגבי כמות הפריטים לכל היותר. (הקביעה הזו תהיה דומה לקביעה של התיאור המיידע, אבל מותאמת למס' הפריטים שקבענו כמינימום+1)

• כשיש לנו שלושה פריטים או יותר: זה לא מאוד שונה, מתחילים מטענה לפיה יש לכל הפחות n אובייקטים שהם F וממשיכים לטענה לפיה יש לכל היותר n אובייקטים שהם F

  בטענה הראשונה, חשוב לוודא שאנחנו שוללים כל זהות אפשרית בין השלושה - אם יש x,y,z אנחנו צריכים לשלול גם זהות בין x=y וגם זהות בין y=z

  בטענה השניה, נצטרך להשתמש ב-4 משתנים ולהגיד שאם אחד מהם F, אז אחד מהם זהה לשני. נבנה את זה כקוניונקציה של קוניונקציות, באופן הבא: (Fx∧Fy)∧(Fz∧Fx1) צריך לזכור שזה לא כ"כ מ שנה איך בנינו את הצמדים, כי הכלל גם ככה מופעל רק אם כל המשתנים הם F

• כמה חידודים חשובים: בתיאור מיידע, אנחנו משתמשים ב"לכל היותר פריט 1" - שם משתמשים בx=y רגיל, כדי להגיד שאם יש y שמתאים ל-F (כאשר גם x מתאים ל-F), אז x הוא y. לשים לב לצורה שמשלבת טענה ישית עם ההגבלה של לכל היותר (הקיצור)

  בפסוק מספרי, אנחנו משלבים "לכל היותר n פריטים" עם "לכל הפחות n פריטים": לכל היותר: אם יש יותר מפריט אחד, נשתמש בכמתים כוללים לפי n+1 כאשר n הוא מס' הפריטים שיש לכל הפחות (כמו שבתיאור מיידע, מדובר בפריט אחד, אז נוסיף y אחד ל-x שהוא הפריט הזה) (לא לשכוח את הקיצור שמחבר לטענה ישית)

  לכל הפחות: זה האחד שייחודי לפסוק מספרי. אנחנו משתמשים בשלילה כדי להגיד שהפריטים הייחודיים דווקא לא יכולים להיות אותו פריט.

  אם מדובר במבנה של "לכל היותר" ובמס' פריטים ייחודיים גדול מ-1, נלך למבנים של פסוק מספרי; אם רק 1 נלך למבנים של תיאור מיידע (ונבחר במבנה שמשלב טענת קיום עם טענת היחידות).

תכונות יחסים

• תכונות היחסים מתחלקות ל: רפלקסיביות (החזרה), סימטריות (הדדיות), טרנזיטיביות (העברה).

רפלקסיביות

• כל יחס הוא או רפלקסיבי, או אי-רפלקסיבי או לא-רפלקסיבי -- לשים לב שיש הבדל בין "אי-" לבין "לא-"

• יחס הוא רפלקסיבי אם הוא מתקיים בין כל פריט בתחום הדיון, לבין עצמו נניח, R אומר "בדיוק בגובה של-", אז Rxx הוא יחס רפלקסיבי. הטענה ש-R הוא יחס רפלקסיבי (מייחס כל פריט בתחום הדיון לעצמו) תוצרן כמובן כך: ∀xRxx

• יחס הוא אי-רפלקסיבי אם הוא לא משייך אף פריט בתחום הדיון לעצמו (הפוך מרפלקסיביות) נניח, אם R אומר "x הוא אביו הביולוגי של y", אז R הוא פרדיקט אי-רפלקסיבי ההצרנה היא כמובן כך: ∀x¬Rxx

• יחס הוא לא-רפלקסיבי אם הוא משייך רק חלק מהפריטים בתחום הדיון לעצמם (ערבוב של רפלקסיביות ואי-רפלקסיביות) למשל, אם R אומר "x אוהב את y", חלק מאיתנו אוהבים את עצמם וחלק לא, לכן זה פשוט לא-רפלקסיבי.

  ההצרנה היא פשוט השלילה של שתי האפשרויות הנותרות: ¬∀xRxx∧¬∀x¬Rxx

  אפשר גם להצרין באמצות טענות ישיות שאינן שלולות, זו בעצם המרה של Q.N.: ∃x¬Rxx∧∃xRxx

סימטריות

• גם כאן, יש לנו או יחסים סימטריים, או א-סימטריים או לא-סימטריים.

• יש גם יחסים אנטי-סימטריים, אבל הם סוג מיוחד של יחסים שמתאימים גם לאחת משלושת הגדרות הבסיס

• יחס הוא סימטרי אם עבור כל שני פריטים, אם הראשון מתייחס לשני, אז גם השני מתייחס לראשון אם מדובר ביחס R, "איקס נשוי ל-y", אז כמובן שגם "y נשוי לאיקס" הוא נכון. R סימטרי. ההצרנה של היחס מתבצעת כך: ∀x∀y(Rxy→Ryx)

• יחס הוא א-סימטרי אם עבור כל שני פריטים בתחום הדיון, אם הראשון מתייחס לשני, אז השני לא מתייחס לראשון (ההפך מסימטרי) אם מדובר ביחס R, "מספר x בא אחרי מספר y", אז כמובן שזה לעולם לא מתקיים הפוך ההצרנה היא כמובן: ∀x∀y(Rxy→¬Rxy)

• יחס הוא לא-סימטרי אם הוא לא סימטרי ולא א-סימטרי, כלומר יכולה להיות סימטריות עבור פריטים מסוימים, אבל יכולה גם להיות א-סימטריות עבור אחרים למשל עבור יחס R, כשהוא אומר "x אוהב את y", מאחר שיש אהבות הדדיות, אבל לא כולן כאלה... כמו ברפלקסיביות, ההצרנה היא קוניונקציה של שלילת הסימטריות והא-סימטריות: ¬∀x∀y(Rxy→Ryx)∧¬∀x∀y(Rxy→¬Ryx)

  ==וכמו עם לא-רפלקסיביות, אפשר להמיר לוגית לטענות ישיות חיוביות: ∃x∃y(Rxy∧¬Ryx)∧∃x∃y(Rxy∧Ryx)== זה לא נכון, לעבור על זה

  לאחר בדיקה: ברפלקסיביות זו לא המרה לוגית. מה שכתבתי ומודגש הוא נכון - פשוט החלפנו טענה של "לא עבור כל x וכל y (סימטריות), ולא עבור כל x וכל y (אי-סימטריות)" בטענה של "יש x ו-y (שמקיימים סימטריות), ויש x ו-y (שלא מקיימים סימטריות)"

• יש גם אנטי-סימטריות: מתקיימת בכל פסוק שאם הוא מקיים סימטריות, אז הוא מקיים זהות בין הפרטים הסימטריים כלומר, אם Rxy סימטרי, אז Ryx גם נכון, ובאנטי-סימטריות המשמעות היא בנוסף ש x=y למשל, אם R אומר "x גדול או שווה ל-y". מאחר שהסימטריות תתקיים רק עבור פריטים שווים, אפשר להגיד שאם Rxy אז גם Ryx וגם x=y ההצרנה היא כך: ∀x∀y((Rxy→Ryx)→x=y)

==זה לא לגמרי מדויק, אנטי-סימטריות אומרת שאם יש סימטריות, אז יש זהות, כלומר, יכול להיות פסוק שהוא לא-סימטרי, אבל איפה שיש סימטריות הוא מקיים גם זהות.

טרנזיטיביות

• שוב, כל יחס הוא או טרנזיטיבי,או אין-טרנזיטיבי או לא-טרנזיטיבי

• יחס הוא טרנזיטיבי אם עבור כל שלושה פריטים, אם הראשון מתייחס כך לשני, והשני לשלישי, אז הראשון לשלישי. זה בעצם מאפיין כל יחס שמקיים את הנוסחה "אם ab וגם bc אז ac" למשל אם R אומר "שווה ל-", אז כמובן שאם a=b וגם b=c, אז a=c ההצרנה: ∀x∀y∀z((Rxy∧Ryz)→Rxz)

• יחס הוא אין-טרנזיטיבי אם עבור כל שלושה פריטים, אם הראשון מתייחס כך לשני, והשני לשלישי, אז הראשון לא מתייחס כך לשלישי. (הפוך מטרנזיטיביות) למשל אם יחס R אומר "x קטן מ-y ב-1 בדיוק", אז ברור שאם a=1 ו-b=2, וb=2 ו-c=3, היחס לא מתקיים בין a ל-c ההצרנה: ∀x∀y∀z((Rxy∧Ryz)→¬Rxz)

• לא-טרנזיטיביות היא, שוב, המצב בו הפסוק אינו טרנזיטיבי ואינו אין-טרנזיטיבי (אין חוקיות גורפת) למשל, R אומר "הגובה של x שונה מהגובה של y", יכול להיות שabc שווים ל-123 והכל טוב. אבל גם יכול להיות שabc הם 121 ואז זה לא טרנזיטיבי. ההצרנה היא כמובן שלילת שתי האפשרויות: ¬∀x∀y∀z((Rxy∧Ryz)→Rxz)∧¬∀x∀y∀z((Rxy∧Ryz)→¬Rxz)

  ו==שוב, אפשר להמיר לוגית: ∃x∃y∃z((Rxy∧Ryz)→Rxz)== לא, לבדוק

  לאחר בדיקה: גם בטרנזיטיביות זו לא המרה לוגית. מה שכתבתי ומודגש הוא נכון - פשוט החלפנו טענה של "לא עבור כל x וכל y (טרנזיטיביות), ולא עבור כל x וכל y (אין-טרנזיטיביות)" בטענה של "יש x ו-y (שמקיימים טרנזיטיביות), ויש x ו-y (שלא מקיימים טרנזיטיביות)"

קשרים בין היחסים

• לתכונות היחסים יש קשרים של תלות:

  1. אם יחס הוא א-סימטרי, הוא בהכרח גם אי-רפלקסיבי אפשר להוכיח זאת כך: ∀x∀y(Rxy→¬Ryx) ∴∀x¬Rxx

  2. אם יחס הוא אין-טרנזיטיבי, הוא גם אי-רפלקסיבי.

  3. אין יחס שהוא גם טרנזיטיבי וגם רפלקסיבי, אבל הוא א-סימטרי
  4. כאשר יחס הוא גם רפלקסיבי, גם סימטרי וגם טרנזיטיבי יחד - מדובר ביחסי שקילות למשל, יחס הזהות הוא יחס שקילות ∀x x=x ∀x∀y(x=y→y=x) ∀x∀y∀z((x=y∧y=z)→x=z) אין אפשרות לבנות פשר שיחס הזהות בו לא רפלקסיבי, לא סימטרי או לא טרנזיטיבי. זה כמובן בגלל ההגדרה של יחס הזהות בפשר - הוא חייב לכלול את כל הזוגות הסדורים הזהים...

• מכיוון שהטענה יחס הזהות הוא טרנזיטיבי היא טאוטולוגיה (נכונה תמיד), הטיעון הבא תקף צורנית:

  1. רומן הוא גארי
  2. גארי הוא אמיל
  3. לכן רומן הוא אמיל

• אנחנו נלמד כיצד להוכיח את התקפות של טיעון כזה באמצעות עצים ודדוקציה טבעית, ברגע שנלמד את החוקים שמוסיפים את כלל הזהות.
  זה כדי שנוכל להבדיל בין טיעון דומה שאינו תקף צורנית:

  1. מוריה גדולה יותר מליאור
  2. ליאור גדולה יותר מנעם
  3. לכן מוריה גדולה יותר מנעם

  זה טיעון תקף מודלית, אך לא צורנית. זה בגלל שהיחס "גדול יותר" הוא חוץ-לוגי, ולכן לא מובן מאליו שהוא טרנזיטיבי. על מנת לטעון שהוא טרנזיטיבי עלינו להוסיף הנחה: ∀x∀y∀z((Bxy∧Byz)→Bxy)

• הסיבה שהטיעון המקורי תקף מודלית מוסברת ע"י כך שההנחה המובלעת שהוספנו היא טענה הכרחית: זה נושא סופר מעניין שאני רוצה לקרוא עליו עוד. בגדול, טענה הכרחית היא כמו שלמדנו, טענה שאם היא נכונה בעולם אפשרי אחד, היא נכונה בכל עולם אפשרי. יש התנגדויות בולטות מאוד למושג ההכרח בלוגיקה:

  1. קווין - "שתי דוגמאות לאמפיריציזם"
  2. ויטגנשטיין - "מאמר לוגי פילוסופי"

  באופן כללי, כמו שלמדנו היטב, יש טיעונים רבים שתקפים מודלית בשפה הטבעית, אך אינם תקפים צורנית בשפה הלוגית. כמו בדוגמה הזו, רבים מהם יתבררו כתקפים צורנית לאחר שנוסיף הנחות מובלעות על תכונות היחסים שמעורבות בהם. (בהתאם למושג ההכרח הלוגי) זהות בעצי אמת

זהות בעצי אמת

כלל הסתירה

• ענף שכולל זהות סותרת, כמו ¬a=a, הוא ענף סגור זה מאחר שזה מצב לא אפשרי, לא תקף

כלל ההמרה

• בפסוק מהצורה a=b, כאשר יש לנו פרדיקט שכולל את אחד המשתנים, עלינו לכתוב את הפרדיקט שוב, כך שכל מופע של המשתנה הראשון יוחלף בשני אם נתון a=b וגם Fa, יש להוסיף Fb; עבור Faaa נוסיף Fbbb

• נעצור את ההמרה באמצע אם אחת ההמרות שביצענו הובילה לסגירת הענף נניח שיש לנו גם a=b, Fa, Faa, ¬Fb - אז לא נצטרך להגיע ל-Fbb בגלל ש-Fb יסגור את הענף.

• "שימו לב: אנו מניחים כי אם פריט מספק נוסחה בפשר, הוא מספק את אותה נוסחה גם אם נקרא לו בשם אחר. כלומר אנו מניחים שתכונותיו של פריט אינן תלויות בדרך שאנו מציינים אותו. הנחה זו מבטאת את העובדה שבלוגיקה אנו עוסקים רק בהקשרים אקסטנציונאליים. בהקשרים אינטנציונאליים הזהות לכאורה אינה מתקיימת — בטרגדיה אדיפוס, אדיפוס התכוון להרוג את הזקן שפגש בדרך אך לא התכוון להרוג את אבא שלו למרות שהזקן שאדיפוס פגש בדרך ואבא של אדיפוס הם שני שמות של אותו אדם."

  זה מעניין, קשר אקסטניוצלי קשור כשמו, לאקסטנציה. כלומר, הזהות האמתית היא זו שמגדירה את הפריט, ולא השם שלו. במציאות, לעתים יש קשרים אינטנציונליים - יכול להיות יחס כמו "E", שאומר "אדיפוס לא רוצה להרוג את x". זה יהיה נכון על פריט a שהוא הזקן, אבל לא נכון על פריט b שהוא אביו של אדיפוס - למרות שמתקיימת ביניהם זהות.

זהות בדדוקציה טבעית

כלל זהות 1 (I.d.)

• קובע ש-x=x היא טאוטולוגיה כלומר שמכל נוסחה α, ניתן לגזור x=x (כאשר α נבך), ולא צריך לציין מס' שורה כשמפעילים את הכלל (זה יהיה שרירותי). מדובר בכלל היסק

כלל זהות 2 (I.d.)

• קובע שאם יש x=y אפשר לכתוב y=x הסימון יכלות את השורה שהפעלנו עליה את הכלל, ואת הסימן I.d. זהו כלל חילוף שניתן להפעיל גם על חלקי נוסחאות

כלל זהות 3 (I.d.)

• קובע שאם x=y, אז כל תכונה של x היא גם תכונה של y אם x=y וגם Px, אז אפשר לגזור מכך ש-Py הסימון כולל את מספרי השורות שעליהן מופעל הכלל, ואת הסימן I.d. זהו כלל היסק (על נוסחה שלמה בלבד)

כלל זהות 4 (I.d.)

• קובע שאם פרדיקט כלשהו חל על x, ולא חל לגבי y, אז x=y¬ מסמנים כמו כלל 3 - את מספרי השורות שעליהן הכלל מופעל, ו-I.d.