מטלת מנחה 15 לקורס 'מבוא ללוגיקה' (10703)

מגיש: אנטוניו דורון (ת.ז 318155272)
למנחה: ענבל קולינר
סמסטר 2025א
שאלה 1: קבעו אילו מבין רצפי הסימנים הבאים הם נב"כים. הסבירו את קביעתכם. בכל מקרה שקבעתם כי רצף הסימנים הוא נב"ך, קבעו מהו טווח הכמת(ים), אילו מופעים של המשתנים הם קשורים ואילו חופשיים:

![[Pasted image 20250106181930.png]] בהתאם לחוקי הנב"ך לעיל:
א. Ax→B¬y לא נב"ך 1. הנוסחה Ax היא נב"ך: לפי כלל 2 (A אות פרדיקט חד-מקומית שאחריה מגיע מציין אישי אחד) 2. הנוסחה B¬y היא לא נב"ך: אין כלל המאפשר למקם סימן שלילה (¬) בין אות פרדיקט (B) לאחד ממצייניה האישיים (y) 3. לכן הנוסחה Ax→B¬y אינה נב"ך (כלל 4 מאפשר לחבר את α ואת ꞵ בפונקציות אמת (→) רק כאשר שתיהן נב"ך)

ב. xAxy∃¬ נב"ך 1. הנוסחה Axy היא נב"ך: לפי כלל 2 (A היא אות פרדיקט דו-מקומית שאחריה מגיעים שני מציינים אישיים) 2. לכן, הנוסחה xAxy∃ היא נב"ך: לפי כלל 5 (Axy היא נב"ך שנוספו לפניה כמת ואחריו משתנה) 3. לכן, הנוסחה xAxy∃¬ היא נב"ך: לפי כלל 3 (xAxy∃ נב"ך שנוסף לפניה סימן השלילה)
- טווח הכמת x∃ הוא הנב"ך Axy - מופעו של המשתנה x קשור: פעם אחת, לכמת x∃ - מופעו של המשתנה y חופשי

ג. x¬∀yAxy∃ נב"ך 1. הנוסחה Axy היא נב"ך: לפי כלל 2 (A היא אות פרדיקט דו-מקומית שאחריה באים שני מציינים אישיים) 2. לכן, הנוסחה yAxy∀ היא נב"ך: לפי כלל 5 (Axy היא נב"ך שנוספו לפניה כמת ואחריו משתנה) 3. לכן, הנוסחה yAxy∀¬ היא נב"ך: לפי כלל 3 (yAxy∀ נב"ך שנוסף לפניה סימן השלילה) 4. לכן, הנוסחה x¬∀yAxy∃ היא נב"ך: לפי כלל 5 (yAxy∀¬ היא נב"ך שנוספו לפניה כמת ואחריו משתנה)
- טווח הכמת x∃ הוא הנב"ך yAxy∀¬ - טווח הכמת y∀ הוא הנב"ך Axy - מופעו של המשתנה x קשור: פעם אחת, לכמת x∃ - מופעו של המשתנה y קשור: פעם אחת, לכמת y∀

ד. xAz∨By∀ נב"ך 1. הנוסחה By היא נב"ך: לפי כלל 2 (B היא אות פרדיקט חד-מקומית שאחריה בא מציין אישי אחד) 2. הנוסחה Az היא נב"ך: לפי כלל 2 (A אות פרדיקט חד-מקומית שאחריה בא מציין אישי אחד) 3. לכן, הנוסחה xAz∀ היא נב"ך: לפי כלל 5 (Az היא נב"ך שנוספו לפניה כמת ואחריו משתנה) 4. לכן, הנוסחה xAz∨By∀ היא נב"ך: לפי כלל 4 (הנוסחאות By ו-xAz∀ הן שתי נב"ך שביניהן פונקציה לוגית אחת)
- טווח הכמת x∀ הוא הנב"ך Az - מופעו של המשתנה z חופשי - מופעו של המשתנה y חופשי
ה. (Axyz→¬Ax¬)x∀ לא נב"ך 1. הנוסחה Ax היא נב"ך: לפי כלל 2 (A היא אות פרדיקט חד-מקומית שאחריה בא מציין אישי אחד) 2. לכן, הנוסחה Ax¬ היא נב"ך: לפי כלל 3 (הנוסחה Ax היא נב"ך שנוסף לפניה סימן השלילה) 3. ולכן, הנוסחה Axyz היא לא נב"ך: אין כלל המאפשר להשתמש באות פרדיקט חד-מקומית כשאחריה באים 3 מציינים אישיים 4. לכן, הנוסחה Axyz¬ לא נב"ך: אין כלל המאפשר להוסיף סימן שלילה לפני נוסחה שאינה נב"ך 5. לכן, הנוסחה (Axyz→¬Ax¬) אינה נב"ך: אין כלל המאפשר לחבר שתי נוסחאות בפונקציה לוגית כאשר אחת או יותר מהן אינה נב"ך 6. לכן, הנוסחה (Axyz→¬Ax¬)x∀ אינה נב"ך: אין כלל המאפשר להוסיף כמת ואחריו משתנה לפני נוסחה שאינה נב"ך
* תלוי בסדר הפירוק של הנוסחה, ניתן לחילופין להגיד ש-Axyz היא נב"ך ו-A היא אות פרדיקט תלת-מקומית. במקרה זה, Ax לא תהיה נב"ך, מאחר שאין כלל המאפשר להשתמש באות פרדיקט תלת-מקומית כשאחריה מופיע מציין אישי אחד בלבד. Ax¬ לא תהיה נב"ך מכיוון שאין כלל המאפשר לרשום אות פרדיקט תלת-מקומית כשאחריה מציין אחד בלבד, ו-(Axyz→¬Ax¬) ו-(Axyz→¬Ax¬)x∀ לא יהיו נב"ך מאותן הסיבות שצוינו.

שאלה 2: הצרינו את הטענות הבאות
מילון: Hx – x הוא סוס; Gx – x עדין; Tx – x אומן היטב; Bxy - x שייך ל-y; a – אהרון

א. כל סוס עדין אומן היטב. עבור כל x, אם x הוא סוס ו-x הוא עדין, אז x אומן היטב

∀x((Hx∧Gx)→Tx)

ב. אף סוס שלא אומן היטב אינו עדין לא קיים x כך ש-x הוא סוס ו-x לא אומן היטב, ו-x עדין ¬∃x((Hx∧¬Tx)∧Gx)

ג. כל דבר שהוא סוס שאומן היטב הוא סוס עדין . עבור כל x, אם x הוא סוס ו-x אומן היטב, אז x הוא עדין ∀x((Hx∧Tx)→Gx)

ד. יש לאהרון סוסים עדינים שלא אומנו היטב יש x כך ש-x הוא סוס ו-x שייך ל-a, ו-x הוא עדין ו-x לא אומן היטב ∃x((Hx∧Bxa)∧(Gx∧¬Tx))

ה. כל סוס עדין שייך לאהרון או שהוא אומן היטב עבור כל x, אם x הוא סוס ו-x הוא עדין, אז או ש-x שייך ל-a או ש-x אומן היטב ∀x((Hx∧Gx)→(Bxa∨Tx))