4 טבלאות אמת (סמנטיקה)

[[לוגיקה]] [[תרגילים - פרק 4🏋️]]

בניית טבלאות אמת

• המציא את השיטה - וויטגנשטיין!
• טבלת אמת של פסוק היא לא הטבלה של הפונקציה שמחוץ לסוגריים ("הרחבה ביותר" במילים שלי) - אלא של ערך האמת של הפסוק השלם ביחס לערך האמת של כל אחד מהפסוקים האטומיים
• בהתאם, מס' השורות בטבלת האמת יהיה 2^N
• 2 כי עבור כל פסוק אטומי יש שני ערכים: T ו-F. נכפיל את מס' הערכים האפשריים במס' הפסוקים האטומיים (נשאי האמת הצרים ביותר מלבד אותיות פסוקיות) כדי לדעת כמה שורות יהיו בטבלה השלמה.

כדי לוודא שהטבלה בנויה נכון (חשוב כשיש הרבה שורות):

1. נוודא שמס' השורות הוא 2^N
2. נוודא שעבור הפסוק האטומי הראשון, חצי מהמצבים הם T וחצי הם F (2^N\2)
3. נוודא שעבור הפסוק השני, בחצי מהמצבים שהראשון T השני F, ובחצי הנותר השני T; בחצי מהמצבים שהראשון F השני T, ובחצי הנותר השני F. (היגיון של Brute Force - כל הקומביצניות האפשריות). המשוואה תהיה שנרשום (2^N חלקי 2²) פעמים T ברצף ו-F ברצף לסירוגין (חוזר חלילה). (2 בחזקת 2 במחלק - הדרך שלנו "לחצות" את החלוקה - לאחר מכן זה יהיה בחזקת 3 או 4? לחשוב.)
4. בטור האחרון, נכתוב את T ואת F לסירוגין (2^N חלקי 2^N) פעמים (מס' השורות... ). מאחר שערך החלוקה הוא כמובן 1, למעשה נכתוב F ו-T פעם אחת בלבד ברצף, לסירוגין.

פסוק אטומי 1	פסוק אטומי 2	פסוק אטומי 3	פסוק אטומי 4
T	T	T	T
T	T	T	F
T	T	F	T
T	T	F	F
T	F	T	T
T	F	T	F
T	F	F	T
T	F	F	F
F	T	T	T
F	T	T	F
F	T	F	T
F	T	F	F
F	F	T	T
F	F	T	F
F	F	F	T
F	F	F	F
> נוסחה עבור הרציפות של פסוק 3: 2N חלקי 23 - מוסיפים כל פעם 1 לחזקה של המחלק... (וככה באמת נגיע ל-1 בתוצאת החלוקה של הפסוק האחרון)

קביעת ערך אמת של פסוק במצב נתון

• ניזכר בטבלאות האמת של הפונקציות הלוגיות שלמדנו
• כדי לקבוע ערך אמת ב-"מצב נתון", בעצם נצטרך ללמוד להסיק מערכי האמת של הפסוקים האטומיים ("מצב נתון") לגבי ערך האמת של הפסוק כולו.
• זה ידרוש, כמובן, לבדוק אם המצב הנתון מקיים את הפונקציה הרחבה (מחוץ לסוגריים) של הפסוק או לא

• התהליך בגדול:

  1. נציב את כל הפסוקים האטומיים בטבלה ונבין את ערך האמת של כל אחד מהם בהתאם לנתונים (יתכן שנתון P=T אבל אנחנו עובדים בפועל עם NOT-P, אז נצטרך לייצר טבלת אמת לפסוק כמו בפרקים הקודמים.)
  2. נייצר טבלת אמת עבור פונקציית האמת של הפסוק השלם (זו שמחוץ לסוגריים)
  3. נבדוק את הערך שלה בהתאם למצב הנתון עבור הפסוקים האטומיים
  4. אם הנתונים מרכיבים פסוקים מולקולריים (פסוקים נוספים שאינם הפסוק השלם), נציב ונייצר טבלאות אמת גם עבור הפונקציות שלהם... ואת ערך האמת של הפסוק נציב בטבלת האמת הרחבה ביותר לבסוף.
  5. ✍ רק לחדד: אנחנו יוצרים טבלה כדי להבין את ערך האמת של הפונקציה, בהתאם לטבלה שקיימת מראש עבורה - אנחנו יודעים באיזה "מצב" אנחנו בזכות הנתונים ולכן יודעים אם הפונקציה F או T. כך גם ביחס לפונקציה הרחבה ביותר: אנחנו יודעים מראש מה ערך האמת של כל איבר, ולכן יודעים בהתאם לפונקציה "איפה אנחנו נמצאים" מבחינת ערך האמת שלה.

• אנחנו בעצם למדנו איך לייצר שורה אחת בטבלת האמת של פסוק, באמצעות השוואה שלו לטבלת האמת הכללית של הפונקציה. בהמשך, נלמד לייצר טבלת אמת הכוללת את כל המצבים של הפסוק הנתון.

(תרגיל א)

בניית טבלת אמת של פסוק

• הכוונה ב-"לבנות טבלת אמת", היא ליצור טבלה של ערכי האמת של פסוק נתון בכל מצביו האפשריים, כאשר אין לנו מצב נתון של ערכי אמת

מציאת המציין, אפיון פסוק:

• הטור הרחב ביותר בטבלת האמת (זה שמתייחס לערך האמת של הפסוק השלם) הוא למעשה טור ערכי האמת של הקשר הראשי של הפסוק (הטור מוגדר ביחס לקשר הלוגי ששייך לפונקציה השלמה)
• לטור הזה קוראים המציין. ה-'מציין' הוא למעשה ערך האמת של הפונקציה השלמה.
• לאפיין פסוק משמע למצוא את ערכי האמת של הפסוק בכל מצביו האפשריים - למצוא את הטור של הקשר הראשי...

• כדי לאפיין פסוק, דרושים לנו:

  1. ערכי האמת של מרכיביו במצביו כלשהו
  2. טבלאות האמת של הקשרים הלוגיים בפסוק (נתון מראש)
  3. (נשתמש בערכי האמת של האותיות כדי למצוא ערכי אמת של פסוקים מעורבים/מולקולריים, וכך ונוכל למצוא את ערך האמת של הפסוק הראשי...) ❓ לא ממש הבנתי למה צריך ערכי אמת של האותיות... אפשר לייצר טבלת אמת כללית לכל פסוק. למען האמת אפילו לא צריך - אפשר ליצור טבלה קומבינטורית כללית של כל האפשרויות של הפונקציה הרחבה ביותר. כלומר, פשוט לבדוק מה הוא הקשר הראשי ולהציג את טבלת האמת שלו ביחס לפסוקים...

• ❗ חידוד חשוב! אות פסוקית היא פסוק אטומי. פסוק עם קשר אמת הוא פסוק מורכב.

הסדר הרשמי ליצירת טבלת אמת שלמה לפסוק:

1. ניצור טור 'קומבינטורי' של ערכי האמת של הפסוקים האטומיים
2. נחלק את הפסוק לתתי-פסוקים, בהתאם לסוגריים ולקשרי האמת, מהצרים ביותר ועד לפסוק השלם.
3. כעת נחשב את ערכי האמת של כל הפסוקים בהתאם לטבלאות האמת של הפונקציה שלהם. החוברת מציעה בחכמה לעבוד מהפסוק הצר לרחב, ולמלא את כל הטור לפני שממשיכים לאחד הבא.
4. לאחר שבנינו את טבלת האמת של הפסוק השלם, טור ערכי האמת של הקשר הראשי הוא המציין של הפסוק.
5. כשאנחנו עובדים עם פסוק שהוא שלילה (ꞵ?α)¬), אנחנו ניצור טבלה עבור הפסוק בצורתו החיובית, ולאחר מכן טור אחרון והופכי של הפסוק בצורתו הנתונה. זהו המציין...

![[Pasted image 20241116214646.png]]

❓ עדיין לא ממש ברור לי מה אנחנו עושים... כדי לייצר את טבלת האמת השלמה אני לא צריך את ערכי האמת. כדי לסמן באיזה טור אני נמצא - צריך. נראה לי שהבנתי -- אנחנו אכן יוצרים טבלה של כל המצבים האפשריים. אנחנו מוסיפים על טבלה של כל הערכים של הפסוקים הנתונים, טבלה של כל ערכי האמת של הפסוקים המורכבים בהתאם. וטבלה של כל ערכי האמת של הפסוק השלם בהתאם. מה שבלבל אותי: רק העובדה שאנחנו לא צריכים ערכי אמת נתונים כלל... ערכי אמת כלשהם דרושים רק כדי לקבוע מצב.

• כאן ממש חשוב לזכור את הנוסחה לחישוב הגודל של טבלת האמת... זה מתחיל מטבלה 'קומבינטורית' של הפסוקים האטומיים.
• למדנו את זה כי ככה למעשה בודקים תקפות. לפסוק תקף יש רק T במציין - לא משנה מה נציב!!!

(תרגיל ב)

טאוטולוגיה, קונטינגנציה וסתירה עצמית

• המציינים מתחלקים לכאלה שיש להם רק T, רק F, או את שניהם. כלומר: כל פסוק יכול להיות או אמיתי בכל מצב, או שקרי בכל מצב, או שניהם כשזה תלוי במצב.
• מצב = שורה בטבלת האמת (זה די אינטואיטיבי, אפשרות אחת של הצבת ערכי האמת הנכללים בפסוק).
• טאוטולוגיה = אמיתי בכל מצב ("אמת לוגית" או "טענה הכרחית")
• סתירה עצמית = שקר בכל מצב ("שקר לוגי")
• קונטינגנציה = אמיתי במצבים מסוימים ושקרי באחרים ("מקרי" או "טענה אפשרית")
  • לא מדובר באותו מושג של סתירה שלמדנו בריבוע בואטיוס (ריבוע הניגודים)

(תרגיל ג)

בדיקת שקילות לוגית ותקפות בטבלות אמת

• שקילות לוגית היא מצב בו לשני פסוקים יש בדיוק את אותו המציין.
• כלומר, בהצבה נתונה של ערכי אמת, יהיה להם טור זהה של ערכי אמת עבור הפסוק השלם
• אפשר לנסח את זה גם פורמלית: אם α ו-ꞵ הם פסוקים שקולים לוגית, α↔ꞵ יהיה פסוק טאוטולוגי (בכל מצב עניינים ערך האמת שלהם יהיה זהה)
• החוברת מוכיחה את זה, לי זה נראה טריביאלי
• מה שחשוב להבין מההוכחה: אם α↔ꞵ טאוטולוגיה, אפשר להוכיח שיש להם מציין זהה; אם ל- α ו-ꞵ יש מציין זהה, ניתן להוכיח שהם טאוטולוגיה.

איך נבדוק שקילות בין פסוקים?**

1. או שנציב את הפסוקים בפונקציה של שקילות ↔ ונראה באמצעות טבלת האמת שהפונקציה טאוטולוגית

2. או שנכין טבלת אמת שבה לכל פסוק יש מציין משלו, ונראה שערכי האמת של המציינים זהים בכל שורה...

3. פורמלית, יש המפרידים בין שקילות לוגית כפונקציה בתוך פסוקים ושקילות לוגית בין פסוקים עצמאיים. הסמל לשקילות בין פסוקים הוא ≡

   • מסמנים למשל ככה α≡ꞵ
   • זה חלק מהמטא-שפה של הלוגיקה הפורמלית. כלומר, השפה שאנו משתמשים בה כדי לדבר על שפת תחשיב הפסוקים. גם α ו-ꞵ הם חלק מהמטא-שפה, ולא משפה הפורמלית היסודית.

שקילויות לוגיות מיוחדות ומעניינות

• קומוטטיביות = היכולת להחליף את סדר האיברים של הפסוק מבלי שהדבר ישפיע על המציין (ערכי האמת של הפסוק השלם).

  • בגדול, כל הפונקציות שאנחנו עובדים איתן למעט האימפליקציה המטריאלית הן קומוטטיביות: אין הבדל בין α↔ꞵ α∨ꞵ α∧ꞵ ו- ꞵ↔α ꞵ∨α ꞵ∧α בהתאמה.

• אסוציאטיביות = היכולת להזיז את הסוגריים 'מקום אחד' כאשר פונקציה מופיעה פעמיים ברצף. (מבלי לשנות את טבלת האמת (שהיא גם המציין וערך האמת של הפסוק השלם)

  • לצורך העניין, [(p∧q)∧s] הוא פסוק זהה ל- [s∧p)∧q)]
  • גם האסוציאטיביות רלוונטית לכל הפונקציות הנלמדות מלבד אימפליקציה מטריאלית

• אנחנו לא חייבים להקפיד על סוגריים בפסוק אסוציאטיבי, אלא אם אנחנו רוצים לנתח אותו באמצעות הפעלה של כללים לוגיים (יצירת טבלת אמת) -- במקרה כזה, עלינו להציב סוגריים כלשהן ולדבוק בהן בעקביות.

(תרגיל ד)

בדיקת תקפות בטבלאות אמת

• אז איך מוודאים תקפות עם כל היופי הזה? צריך לשים שטאוטולוגיה היא לא תקפות!
• נחזור למושג התקפות: טיעון הוא תקף אם בכל מצב שבו הנחותיו אמתיות, גם המסקנה שלו אמתית.

• כלומר! עלינו לראות אם בשורות שבהן הנחותיו T, גם המסקנה היא T.

  • איך נגדיר את 'ההנחות'?

• גם נביעה לוגית ניתן להציג פורמלית: α נובע מ- ꞵ אך ורק אם הפסוק ꞵ→α הוא טאוטולוגיה (המציין תמיד T)

• גם כאן החוברת מוכיחה את זה, על מנת להדגים שניתן להסיק באופן דו כיווני, מהטאוטולוגיה לנביעה ומהנביעה לטאוטולוגיה.
• 'ההנחות' הן להבנתי האותיות הפסוקיות - אותו N שאנחנו מציבים לצורך בניית טבלת האמת
• המסקנה נובעת מההנחות רק אם בפסוק עם N הנחות, אם כל הנחה עד להנחה N היא אמתית (אם N=3, אז 1-3 אמתיות, עוצרים בהנחה N=3...).
• גם את התכונה הזו ניתן להציג פורמלית: פסוק תקף הוא כזה שמקיים נביעה לוגית בין קוניונקציית ההנחות לבין המסקנה.
  • קוניונקציית ההנחות היא החיבור של ערכי האמת של כל ההנחות: אם יש לנו פסוק עם qsp, הקוניונקציה היא q∧s∧p. כשהקוניונקציה היא T, משמע שכל ההנחות T... בכל מצב אחר היא F.
  • אז אם נכנה את הקוניונקציה של ההנחות בפסוק α - ואת המסקנה של הפסוק ꞵ (כלומר את הפסוק השלם) - נקבל שבפסוק תקף, α→ꞵ הוא טאוטולוגיה
  • זהו קשר בין מושגי התקפות והטאוטולוגיה, שמכונה גם כלל הזהב

![[Pasted image 20241117203032.png]]

• אימפליקציה מטריאלית שהיא טאוטולוגיה מכונה גם אימפליקציה לוגית

אז איך בודקים תקפות בתחתית השורה?

• די קל - בונים טבלת אמת ובודקים אם יש שורה שבה כל ההנחות אמתיות והמסקנה שקרית.

לא ממש הבנתי אם ההנחות הן האותיות הפסוקיות או הפסוקים המורכבים... החוברת עברה להציג את הטיעונים ב-3 שורות של פסוקים... נראה מהדוגמה שמדובר בפסוק השלם שמהווה את ההנחה (ראה תמונה מתחת)

![[Pasted image 20241117203406.png]]

• האם טיעון שהנחותיו סותרות, או שאחת מהן היא סתירה עצמית, הוא תקף?
  • זה בעצם אומר שאו שהן לעולם לא T ביחד, או שאחד לעולם לא T גם ככה (הינו הך).
  • אז כן, הייתי אומר שזה נכון
  • זה מכונה 'קונסיסטנטיות' = 'עקביות' במובן של התכונה של פסוק שיש לו מצבים בהם כל ההנחות האמתיות. פסוק שהוא לא קונסיסטנטי הוא תקף בהכרח

(תרגיל ה)

צורה דיסיונקטיבית נורמלית

• האם לכל קשר האמת בשפה הטבעית יש פונקציה לוגית מתאימה?
• עד כה התאמנו באמצעות טבלאות אמת
• 'קשר אמת' בשפה הטבעית הוא רק קשר שיש לו טבלת אמת
• אנו עומדים להוכיח שכל קשר עם טבלת אמת, ניתן להביע באמצעות הלוגיקה הפורמלית. תכונה זו מכונה דיסיונקציה נורמלית.
• הטענה היא: ניתן לייצר כל טבלת אמת באמצעות שלושה אופרטורים בלבד: ∨, ∧ ו-¬

איך כותבים צורה דיסיונקטיבית נורמלית של טבלת אמת?

1. מסתכלים על השורות בהן המציין הוא T בלבד
2. מסתכלים על ערכי האמת של האותיות הפסוקיות בשורות אלה
3. עבור כל שורה, יוצרים פסוק שהוא קוניונקציה של כל האותיות שערך האמת שלהן הוא T, ושל שלילת כל האותיות שערך האמת שלהן הוא F. (לצורך העניין: אם p היא T ו-q היא F, כותבים (p∧¬q).
4. מחברים את הפסוקים שהתקבלו בכל אחת מן השורות (של מציין = T) בקשר של דיסיונקציה.

5. התוצאה היא פסוק שערך האמת שלו שקול לוגית למציין של הטבלה שהתחלנו ממנה - "אם ערך האמת הוא T, אז או ש(מצב עניינים של שורת T1), או ש(מצב עניינים של שורת T2), וכו' עד למיצוי השורות.

6. צורה דיסיונקטיבית נורמלית היא ביטוי של טבלת האמת באמצעות קשרי האמת, כלומר באמצעות בניית נב"ך מתאים

7. לפעמים, יש לנו רק שורה אחת עם T במציין. אז, הדיסיונקציה הנורמלית תהיה למעשה קוניונקציה נורמלית, בהיעדר סימן דיסיונקציה בפסוק... זה עדיין נקרא צורה דיסיונקטיבית במצב כזה...*
8. יש מקרה אחד של טבלת אמת שאי אפשר להפעיל עליו את השיטה הזו... נלמד בהמשך
9. ומה לגבי מקרה של סתירה עצמית? כלומר פסוק שאין לו ערכי T במציין? במקרה כזה: הצורה הדיסיונקטיבית הנורמלית של סתירה עצמית היא בהגדרה (באופן רשמי) דיסיונקציה של קוניונקציות (כמו שלמדנו, חיבור של פסוקי "AND" באמצעות קשרי "OR"), כאשר כל דיסיונקט הוא קוניונקציה של פסוק אטומי ושל שלילתו. (כלומר, אנחנו יוצרים חיבור של אות פסוקית עם השלילה שלה, ומחברים הכל בקשרים של OR). ### צורה דיסיונקטיבית נורמלית של טבלת אמת עם יותר משתי אותיות פסוקיות:
10. כאן נכנס לתמונה הכלל שלמדנו, שלפיו לא צריך סוגריים בין דיסיונקציה, קוניונקציה ושקילות מטריאלית.
11. אם נתונה שורה שבה p=T, q=T, q=T, ניצור פסוק קוניונקציה כזה: (p∧q∧r).
    • עבור שורה נוספת שבה r=F, נכתוב ככה: (p∧q∧¬r).
    • וכמובן, נחבר את הפסוקים לכדי הצורה הדיסיונקטיבית הנורמלית (נניח לצורך העניין שיש רק שתי שורות בטבלת האמת - זה לא יתכן כמובן:) (p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)
12. המשמעות היא שניתן לבטא כל טבלת אמת באמצעות AND, OR ו-NOT בלבד. למערכת קשרים שיכולה לבטא כל טבלת אמת קוראים מערכת קשרים שלמה, או מערכת קשרים בעלת שלמות פונקציונלית.
13. כמובן שאם כך, גם המערכת שאנו לומדים שכוללת בנוסף את IFF ואת IMPLIES היא מערכת בעלת שלמות פונקציונלית.
14. בהמשך נכיר מערכות שלמות שבנויות רק משני קשרים, ואת קשרי שפר שכל אחד מהם הוא שלם בפני עצמו. (תרגיל ו)

קבוצת קשרים שלמה:

• המשמעות של העובדה ש-AND, OR ו-NOT הם קבוצת קשרים שלמה, היא שניתן לבטא כל קשר לוגי אחר (נניח, IMPLIES) באמצעות הקשרים האלה בלבד, כך שהמציין יהיה זהה.
• ושוב, קבוצת קשרים שלמה לעולם לא תאבד את מעמדה ככזו בעקבות הוספה של קשרים - כמובן. (אז גם הקבוצה שכוללת IMPLIES ו-IFF היא שלמה...)
• כעת נוכיח שגם הקבוצה של {AND, NOT} היא קבוצת קשרים שלמה. מאחר שהוכחנו את שלמות הקבוצה AND, NOT ו-OR - אנחנו רק צריכים להראות שניתן לבטא את OR באמצעות AND+NOT!
• ¬(¬p∧¬q) שקול לוגית ל (p∨q)
  • לא באמת דרושה טבלת אמת כדי להבין: להגיד "או P או Q" זה כמו להגיד "לא יהיה מצב שגם לא P וגם לא Q".
  • אפשר לבטא אימפליקציה בין הפסוקים הללו כ- (p∧¬q)¬
  • ¬(p∧¬q)∧¬(¬p∧q) ואפשר לבטא שקילות כ
  • כמובן שלא באמת היינו צריכים להראות את IMPLIES ואת IFF, כי בהינתן שאפשר לבטא את OR באמצעות AND+NOT, הרי כבר הוכחנו שאפשר לבטא את IMPLIES ואת IFF באמצעות הקבוצה של AND+NOT+OR.
• בפרק 6 נלמד את חוקי החילוף הלוגיים, שהם ממש מתודה להעמדה של קשרים על קבוצות שהם לא נכללים בהן. בינתיים, אנחנו עובדים לפי האינטואיציה ובהסתמך על טור המציין בטבלאות האמת.
• אם נניח יש פונקציה מורכבת שכוללת את P, והיא T רק במצב אחד שבו P אמיתי, אפשר להמיר פשוט ל-"P". העיקר שהפונקציות שקולות לוגית ברמת המציין בטבלת האמת.

שלבים בהמרה למערכת קשרים אחרת:

1. נסתכל על המציין של הפסוק השלם
2. נבדוק אם המציין מתאים לטבלת האמת של אחד מהקשרים הקיימים במערכת שלנו (ואם כן, סיימנו, נביע באמצעותו...)
3. אם לא, נשתמש בהיגיון ובדוגמאות שלמדנו כדי לתרגם את הפסוק לקשרים הקיימים בקבוצה שלנו.

עוד קבוצות קשרים שלמות:

• גם IMPLIES+NOT ו-NOT+OR הן שלמות.
• כלומר, כל אחד מהקשרים שלמדנו + שלילה מהווים קבוצה שלמה, חוץ משקילות מטריאלית.
• הסיבה היא שעלינו ליצור טבלת אמת זהה לזו של אחד הקשרים האחרים -- בכל הקשרים יש 3 שורות של F/T ושורה אחת של הערך ההופכי. בעוד שבאמצעות שקילות, ניתן לייצר רק טבלאות שמתחלקות חצי-חצי בין F ל-T.(הבעיה היא לא כמותית אלא חלוקתית: לא ניתן ליצור טבלת אמת אי-זוגית מבחינת מספרי הערכים).
• בהמשך לזה, הסיבה שכן ניתן לבטא את השקילות באמצעות קשרים אחרים היא שניתן לחבר שני מספרים אי-זוגיים ולקבל מספר זוגי (אבל אי אפשר לחבר זוגיים לכדי אי-זוגי).
• עוד בהמשך לזה, הסיבה שכל אחד מהקשרים האחרים יכול לבטא את יתר הקשרים האחרים, היא שכדי להפוך טבלה עם T בשורה 1/4 לטבלה עם T בשורה 3/4, רק צריך לשחק קצת עם הסדר של הפסוק. זה כמו שהופכים את α ואת ꞵ ואז ה-F בטבלת האמת של IMPLIES יורדת לשורה 3 (במקום שורה 2).
• אחרי שהראנו ש-AND+NOT היא קבוצה שלמה, על מנת להראות ש-AND+IMPLIES היא קבוצה שלמה, פשוט צריך לראות שאפשר להעמיד את AND על IMPLIES.
• אם נתון (q∧p), אפשר לבטא אותו באמצעות קבוצה זו ככה:
  • ל-AND יש T רק בשורה הראשונה; ל-IMPLIES יש F רק בשורה השניה. כלומר, נשלול את הפונקציה כדי שיהיה לנו רק T אחד עבור הערכים. (q∧p)¬.
  • כדי להעביר אותו לשורה הראשונה,נכתוב
  • ¬(q→¬p)
  • (בדקתי על דף, זה עובד, החוברת מסכימה איתי...). פשוט לזכור ששוללים כדי להפוך מה שצריך... ולעדכן את הטבלאות בהתאמה שזה מעט מבלבל.
• החוק הפורמלי הוא כזה: אם קבוצת קשרים Γ היא שלמה פונקציונלית, ובאמצעות קבוצת הקשרים Δ ניתן לבטא את כל הקשרים של קבוצה Γ, אז קבוצת הקשרים Δ שלמה פונקציונלית גם היא. (אלה הסימנים הנהוגים לקבוצות קשרים)

קו שפר:

• עוד ב-1880, הפילוסוף האמריקאי צ'ארלס סאנדרס פירס כתב שמעניינת אותו האפשרות שישנו קשר לוגי יחיד שהוא שלם פונקציונלית.
• הקשר שהוא חשב עליו הוא, בשפה הטבעית, "לא... ולא.." (דו מקומי)
• ב-1913 פרסם המתמטיקאי הנרי מ' שפר את הפורמליזציה, שזכתה לשם 'קו שפר'.
• קו שפר מסומן כך α|ꞵ, והפונקציה שלו מחזירה ערך אמת T אך ורק כששני הפסוקים הם F.
• איך מבטאים שלילה וקוניונקציה באמצעות קו שפר? שלילה: α|α קוניונקציה: (α|α)|(ꞵ|ꞵ) ("לא (השלילה של α) ולא (השלילה של ꞵ)" למעשה שקול ללהגיד "α וגם ꞵ".
  • זה בעצם די משעשע, הקשר שהוא חשב עליו הוא שילוב של קוניונקציה ושלילה. ב-"לא... ולא..." יש גם "לא" וגם "ו-"...
• החוברת מאשרת, אפשר להפוך כל קשר דו מקומי לחד מקומי על ידי כך שנציב את אותו הפסוק משני הצדדים שלו...
• הוכחנו כבר ש-AND+NOT היא קבוצה שלמה פונקציונלית, אז בכך שהעמדנו את שניהם על קו שפר, הוכחנו שהוא שלם פונקציונלית.
• שאלה למחשבה מהחוברת: אם את כל הפונקציות שאנחנו לומדים, ניתן לבטא באמצעות קו שפר בלבד, למה אנחנו טורחים עם כל היתר?
  • התשובה שלי היא כמובן שזה קריא יותר, זו אותה סיבה שיש לנו מילים שניתן להגדיר באמצעות מילים אחרות.
  • החוברת מוסיפה: אם ככה, למה לא 20 קשרים? התשובה היא כמובן שזה מסורבל - איך נזכור את טבלאות האמת?
  • ולמה דווקא החמישה שאנו לומדים? כי הם הרווחים ביותר בשפה הטבעית.

(תרגיל ז)