לדלג לתוכן

3 יסודות תחשיב הפסוקים

[[לוגיקה]]

שפה, טבעית או פורמלית, מתחלקת לשלושה רבדים: משמעות, הקשר ותחביר.

בלוגיקה, אנחנו קוראים למבנה =='תחביר'/'Syntax'==, למשמעות =='סמנטיקה'==, ולהקשר =='פרגמטיקה=='(pragmatics, semantics).

  • סינטקס: היחס בין הסימנים לבין עצמם. למשל, החוק ש-מ' או נ' בסוף מילה יופיעו כ-ם' או כ-ן' סופיות. מדובר ביחסים בין הסימנים ובין עצמם, לכן מדובר ב-'כללים סינטקטיים'. היחסים שקובעים מה נב"ך

  • סמנטיקה: הכללים והיחסים בין המסמנים למה שהם מסמנים. למשל, העובדה שצירוף האותיות 'כלב' מצביע על החיה המוכרת, הוא כלל סמנטי. היחסים שגוזרים את ערך האמת.

  • פרגמטיקה: קשור ליחס בין הסימנים למשתמשים בהם, כלומר לדוברים. זו שאלה מה הם המאפיינים הפרגמטיים של השפה הלוגית, והאם יש בכלל. לא ניכנס לזה בקורס. ==(מה הם המאפיינים הפרגמטיים של שפה שאינה לוגית? לחקור מה המשמעות.)==

אנחנו נלמד בפרק הזה את הסינטקס של 'תחשיב הפסוקים', שהוא חלק מהשפה הלוגית הפורמלית, לצד 'תחשיב הפרדיקטים'. ==הסינטקס== של תחשיב הפסוקים כולל:

  1. אותיות פסוקיות: אות קטנה מאמצע האלפבית הלטיני (rptqs), לעתים עם מס' קטן לצידה. (t4, s1 וכו')
  2. קשרי אמת: ↔ → ¬ ∨∧: לא אמורים להיות בעלי משמעות כרגע. אני יודע שמדובר ב, AND, OR, NOT, IF/IMPLIES ו-IF/AND-ONLY-IF.
  3. סוגריים: (), לדעתי אותה פונקציה כמו במ"מ.

  4. משתנים פסוקיים: אפשר להציב את β ואת α כמו במ"מ, כדי להתייחס לפונקציה שלמה בקצרה. למשל לקחת '(q∧p)' ולהתייחס אליו כ-α.

  5. נוסחה שבנויה תקנית מכונה נב"ך - 'נוסחה בנויה כהלכה'. באנגלית: WFF = 'Well Formed Formula'.

  6. ההגדרה לנב"ך היא רקורסיבית - היא מתחילה מהגדרה, שהיא 'קבוצת הבסיס', ולאחר מכן נקבעת לפי התאמה לקבוצת הבסיס.

לדוגמה: "מי שאמא שלו יהודיה הוא יהודי" - השאלה האם X יהודי מתחלפת בשאלה האם אמא שלו יהודיה. אם נבנה את הטיעון ככה: 1. שרה אמנו היא יהודיה 2. מי שאמא שלו יהודיה הוא יהודי 3. ואלה כל היהודים בעצם נגיע למצב בו יש לנו 'קבוצת בסיס' שמתאימה להגדרה בלי הנמקה, ובעזרתה אפשר להגדיר את הפרטים המשתייכים לקבוצה ולתחום אותה.

  • יש להבדיל בין 'הגדרה רקורסיבית'/'הגדרת נסיגה' ל-'רקורסיה מעגלית': מצב שבו השאלה מתחלפת באותה השאלה (ביחס לטיעון כמו 'יהודי הוא מי שיהודי'.)

  • ההגדרה של נב"ך:

  • כל אות פסוקית היא נב"ך
  • אם α נב"ך, אז גם [α¬] נב"ך

  • אם α ו-β נב"ך, אז גם כל קשרי האמת ביניהן (למעט NOT) הם נב"ך: (α∧β) (α∨β) (α→β) (α→β) ❕ לשים לב לסוגריים: (α→β) הוא נב"ך. α→β ללא סוגריים הוא לא נב"ך. לצורך העניין: (r→¬s↔t) הוא לא נב"ך! כי אין כלל שמחבר שלושה נבכים (r t ו-¬s). אם הייתה תחימה של החלק עם s ו-t, הרי שהיה מדובר בנב"ך אחד, וניתן לחבר שני נב"כים. באופן הזה: (r→¬(s↔t)) או ככה: (r→(¬s↔t))

  • ואין יותר נב"כים.

❕ לשים לב: בדיקת נב"ך עושים נוסחה-נוסחה, לפי הסוגריים. אם איבר מסוים הוא נב"ך, ומתחבר באופן תקני לנב"כים אחרים, אפשר לראות האם כל העסק הוא נב"ך או לא - בלי לקרוא לוגיקה בכלל!

תרגיל א:

  1. נב"ך. בגלל שיש לנו p, q ו-r נב"ך, יחס לוגי תקין בין נבכים בתוך הסוגריים הפנימיות, ושוב בין החיצוניות.
  2. נב"ך. אם t→s נבך אז גם השלילה שלו.
  3. שגוי סינטקטית -- טעות, ראה תיקון.
  4. שגוי סינטקטית -- // תיקון בעקבות 3, מדובר בנבך. // טעות בכל-זאת... לקרוא בתיקונים.
  5. שגוי סינטקטית - אי אפשר לחבר 3 נבכים בפונקציה אחת
  6. שגוי סינטקטית - אי אפשר לשים NOT אחרי איבר (ובלי איבר לאחריו)
  7. שגוי סינטקטית - אי אפשר לשים NOT בין שני פסוקים
  8. נב"ך -- ""טעות"" בגלל שהחוברת מפגרת...
  9. שגוי סינטקטית --- אחרי התיקון של 3, לדעתי מדובר בנבך.
  10. שגוי סינטקטית - מה זה הסימן הזה??

תיקונים: 3. הוא כן נב"ך, בגלל שאפשר להוסיף כמה NOT שרוצים... תחשוב על זה: אם P זה נבך. ואז גם P¬. ואז, אם P¬ הוא נבך, אז גם P¬¬... וכן הלאה. 4. גם אחרי התיקון של 3, טעיתי, זהו לא נבך. למה? כי אין סוגריים. לזכור: כל היחסים הלוגיים הם נב"כים אך ורק כשהם בתוך סוגריים - (p↔q)¬¬ או (p↔q¬¬) היה נבך... 8. החוברת מתחכמת ואומרת שאלפה ובטא הן לא חלק משפת תחשיב הפסוקים. זה ממש מפגר, כי (a→b) ליטרלי היה דוגמה לנבך כשהציגו את הרעיון של ה-'משתנים'. בקיצור, אם אני נשאל על זה, משתנים הם לא נב"ך כשלעצמם... אבל לזכור שלרוב הם מסמנים נוסחאות.... ✍ תירגלתי קצת עם פרפלקסיטי, נראה שאני בסדר... פשוט לזכור את הכללים של הסוגריים ושל ה-NOT.

==סמנטיקה של תחשיב הפסוקים==

נלמד: 1. מה הם האופרטורים, 2. מה הם פסוקים ('propositions'), קשרים פסוקיים ו-קשרים פסוקיים תלויי אמת.

❗ לשים לב: מהשלב הזה בחוברת, אנחנו משמיטים את הסוגריים החיצוניות ביותר. אז בקיצור... כמו שחשבתי. אין טעם לכתוב [(q→p)], אפשר לכתוב פשוט [q→p] (סוגריים מרובעות כדי 'לצטט' פונקציה... חסר משמעות.)

כל אחד מקשרי האמת מייצג 'פונקציית אמת', כלומר, הוא מחזיר לנו פלט של T/F בהתאם לתנאים מוגדרים מראש ביחס לקלט. אפשר להגיד שכל פונקציית אמת מייצרת 'טבלה' של ערך האמת שלה, בהתאם לערכי האמת של המשתנים שמוצבים בתוכה.

  • קוניונקציה (AND, ∧): מקבלת ערך אמת T אך ורק כששני המשתנים מקבלים ערך אמת של T. אם רק אחד מהם T, או ששניהם F - הקוניונקציה היא F. (רק אם 'גם A וגם B' הם T.) (מלשון conjuction)
  • דיוסיונקציה (OR, ∨): מקבלת ערך אמת F (לא T!!!) אך ורק כששני המשתנים הם F, אחרת מקבלת T. (בכל מצב ש-'או A או B' הם T.) (מלשון disjunction)
  • אימפליקציה מטריאלית (IMPLIES, →): מקבלת ערך אמת F (לא T!!!) אך ורק כשהמשתנה הראשון (השמאלי) הוא T והשני (הימני) הוא F. בכל מצב אחר, הפונקציה היא T. (זה כמו להגיד "אם A אז B" - יכול להיות ששניהם אמת, או ששניהם שקר, או ש-A שקר אבל B אמת (באופן מקרי, שלא מכוח הטיעון), אבל לא יכול להיות מצב ש-A הוא T ו-B הוא F... זה יהפוך את כל הפונקציה ל-F).
  • שקילות מטריאלית (↔, IFF/IF AND ONLY IF): מקבלת ערך אמת T אך ורק כשערכי האמת של שני המשתנים הם זהים. כלומר, יכול להיות ששניהם F או ששניהם T, אבל אם אחד F והשני T, הפונצקיה היא F. (כמו להגיד "אם ורק אם A, אז B", ככה ש-B לא יכול להיות T שלא מכוח הטיעון, ו-A לא יכול להיות T מבלי ש-B יהיה.)

    (בעצם, אימפליקציה זה כשיש לנו "אם - אז", ושקילות זה כשיש לנו "אם ורק אם - אז". מה זה 'מטריאלית'?)

אלה הן פונקציות האמת ה-'דו מקומיות', יש גם פונקציות אמת כמו NOT ¬ שהן 'חד מקומיות', המשמעות היא ביחס לכמות המשתנים שהפונקציה חלה עליה: הדו-מקומיות חלות על פונקציה עם שתי אותיות פסוקיות, בעוד שהחד-מקומיות חלות על פונקציה עם אות פסוקית אחת. בסך הכל, ישנן 16 דו מקומיות ועוד 4 חד מקומיות, אבל אנחנו מתמקדים ב-5 בסה"כ.

  • שלילה (¬, NOT): אם הפונקציה היא T, מחזיר F; אם הפונקציה היא F, מחזיר T. (הופכי לערך האמת של הפונקציה).

תרגיל ב: לנסות לבנות טבלאות אמת של חד ודו מקומיות שלא הצגנו. דו מקומית: "AND NOT":

a b AND NOT
T T F
T F T
F T F
F F F

חד מקומית: "EITHER"

a (f)
T T
F T

בדיקה: מעולה.

==פסוקים:==

פסוקים הם המרכיבים של תחשיב הפסוקים... הם מתקיימים ראשית בשפה הטבעית, ולאחר מכן מוצרנים לשפת הלוגיקה הפורמלית. בשפה הטבעית, פסוקים אטומיים הם משפטים שאם נחלק אותם, נקבל צירופים שלפחות אחד מהם אינו טענה.

למשל: "אני הילד הכי גדול" - אם נפרק ל-"אני הילד" ול-"הכי גדול", הרי שלפחות "הכי גדול" אינה טענה (ומה המשמעות של "אני הילד"?...). במילים אחרות, פסוק אטומי הוא כל טענה שלא ניתן לפרק לתת-טענות מבלי שארית.

פסוקים מורכבים הם חיבור של פסוקים אטומיים, באמצעות קשרים פסוקיים: למשל "אבל", "ו-", "מפני ש-" וכו'. ישנם 'סתם' קשרים פסוקיים, וישנם קשרי אמת: קשר פסוקי הוא קשר אמת אם ורק אם ניתן לקבוע את ערך האמת של הפסוק המורכב (כלל הטענות) באופן חד-משמעי בהינתן ערכי האמת של הפסוקים האטומיים המרכיבים אותו.

במילים אחרות, קשרי אמת הם קשרים שמקנים לפסוק 'ערך אמת' חדש, שמוגדר על פי נביעה לוגית ביחס לפסוקים האטומיים שהוא מקשר.

דוגמה: נשווה את הקשר "לא נכון ש-" עם הקשר "היא סבורה ש-" עבור "לא נכון ש-", ניתן לייצר טבלת אמת: עבור הפסוק המורכב "לא נכון שיום שלישי היום", הפסוק הוא T כל עוד "יום שלישי היום" הוא F. עבור "היא סבורה שיום שלישי היום", ניתן לדעת אם "יום שלישי היום" הוא F או T, אבל זה לא אומר לנו דבר לגבי הסברה של הגברת.

  • מתקיים באותו אופן גם לגבי קשרים דו-מקומיים: קשר של "ו-" הוא קשר אמת, כי הוא T רק אם שני הפסוקים שמחוברים באמצעותו הם T. לעומת זאת, קשר של סיבתיות הוא לא קשר אמת - אם יש לי "הוא רץ ולכן נפל", אני יכול לדעת את ערך האמת של "הוא רץ", ושל "הוא נפל", אבל הם לא יגידו לי כלום לגבי הסיבתיות של הנפילה - ערך האמת של הפסוק המורכב אינו נובע מערכי האמת של הפסוקים האטומיים. שיטה דו-שלבית לבדיקה:
  • בונים טבלת אמת ובודקים אם ניתן לקבוע את ערך האמת של הפסוק המורכב באמצעות הפסוקים האטומיים. אם כן - סיימנו, מדובר בקשר אמת.
  • אם לא, אנחנו עוצרים בשורה שנתקענו בה. נותנים דוגמה אחת שבה הפסוק המורכב אמיתי לפי אותה שורה, ודוגמה אחרת שבה הוא שקרי לפיה. אם יש שתי דוגמאות, זהו לא קשר אמת.

    למשל: "הוא גדול ולכן הוא חזק"

גדול חזק פונקציה
T T ?
דוגמה 1: יכול להיות שהוא גדול בזכות הגנים, וחזק בזכות האימונים, לכן F.
דוגמה 2: יכול להיות שהוא אכן חזק כי הוא גדול, לכן T.
T F F
F T F
F F F
> ❔ למה צריך שתי דוגמאות? כדי לוודא שאין שום ערך אמת וודאי שניתן לגזור מהקשר הפסוקי.

תרגיל ג: א.

a b ... מפני ש...
T F F
T T אפשרות 1: a מפני ש-b
אפשרות 2: a באופן עצמאי מ-b
F F F
F T F
a יתכן ש...
T
F אפשרות 1: ייתכן ש-a, אבל הוא F
אפשרות 2: לא ייתכן ש-a 2:
a הכרחי ש...
T אפשרות 1: הכרחי ש-a
אפשרות 2: לא הכרחי ש-a, אבל ייתכן...
F
a b מתוך... נובע ש
T F F
T T אפשרות אחת: מתוך a נובע ש-b
אפשרות שניה: b הוא T בלי קשר ל-a
F F
F T
a הוכח מדעית כי...
T אפשרות אחת: נכון כי הוכח מדעית
אפשרות שניה: נכון, אך לא הוכח מדעית
F

❕ לשים לב האם אני עוסק בחד-מקומי או בדו-מקומי. כמעט עשיתי טעות עם הקשרים החד-מקומיים...

ב.

a b אם... אז...
T F F
T T T
F F T
F T T
a b רק אם...אז...
T F F
T T T
F F T
F T F
a זה נכון ש...
T T
F F
a b אפילו אם... עדיין לא...
T F T
T T F
F F T
F T F
a b ...אם ורק אם...
T F F
T T T
F F T
F T F
>👈 בדיקה:
> הכל נכון חוץ מסעיף ב' שאלה 2 - טעות בתרגום ללוגיקה... החוברת כתבה שאם a הוא אמת ו-b הוא שקר, הפונקציה היא אמת.
> אני כתבתי שהיא שקר, בהנחה שלא יתכן ש-"b רק אם a", אבל a אמת ו-b איננו (מתי b יכול להיות אמת, אם כש-a אמת הוא איננו אמת?)
> צריך לזכור שיש בלוגיקה ביטוי חשוב בשם "אם ורק אם", שהוא זה שיוצר תלות 'דו-כיוונית'.
> אם אין מבנה של IF AND ONLY IF, למשל כשכותבים לי 'רק אם-' (ONLY IF וזהו), להניח שלא מדובר בקשר דו-כיווני.*
> כמו כן, צריך להבדיל בין 'ONLY IF' ל-'IF... THEN': הכוונה לא הייתה "אם a אמת אז b אמת", אלא ש-b עשוי להיות אמת רק כאשר a הוא אמת (ובאותה מידה, עשוי שלא להיות...)
>👈 הערה לגבי הבדיקה הדו-שלבית:
> הכוונה הייתה שונה ממה שהבנתי. לא מדובר על להציב שתי 'אפשרויות לוגיות', כמו "דרכים שבהן a או b יכולים להיות אמת".
> **מדובר על להציב תוכן אפשרי באותיות הפסוקיות, על מנת לראות האם יש אופציה מסוימת שתחזיר ערך-אמת מסוים, בעוד שאופציה אחרת תחזיר ערך-אמת אחר.
> למשל:** עבור "הכרחי ש...", יש לנו את a=1+1=2, שהוא T והכרחי. אבל יש לנו גם את "ביבי הוא ראש הממשלה", שהוא T אבל אינו עובדה הכרחית. זה בעצם 'בדיקת תקפות', אם הצבות שונות יחזירו טבלאות אמת שונות, הרי שלא מדובר בקשר אמת.

==הצרנה של פסוקים מהשפה הטבעית==

תרגום של טענות מהשפה הטבעית לשפה הלוגית מתבסס על: 1. התאמה בין פסוקים אטומיים (בשפה הטבעית) לאותיות פסוקיות (בשפה הפורמלית): זיהוי של 'נשאי אמת'. 2. התאמה בין קשרי אמת (בשפה הטבעית) לפונקציות אמת (משפת תחשיב הפסוקים)

✍ חידוד: פסוק אטומי הוא כל רכיב-משפט בשפה הטבעית שלא ניתן לפרק אותו למרכיבים שכל אחד מהם הוא או פסוק אטומי, או קשר אמת

✍ מה שהופך רכיב-משפט לפסוק אטומי, ומה שמגדיר 'נשא-אמת', זו האפשרות לשייך לו ערך-אמת של T/F, כמו לאות פסוקית.

דוגמה: "רומי לא נכשלה בבחינה" - מתפרק ל-"רומי נכשלה בבחינה" (פסוק אטומי שהוא נשא אמת) (נקרא לו p) ול-"לא" (קשר אמת) כלומר, זה לא היה פסוק אטומי. לאחר מכן, ניתן לייצר טבלת אמת עבור הפסוק האטומי, ועבור הפסוק המולקולרי (דרך יפה להגיד 'הפסוק המורכב'):

רומי נכשלה בבחינה (p) רומי לא נכשלה בבחינה
אמת שקר
שקר אמת
(את האמת של הפסוק המולקולרי מניחים לפי הסמנטיקה - המשמעות שלו בשפה הטבעית, שמתרגמת למשמעות בשפת הלוגיקה הפורמלית.)

בהתאם לטבלת האמת, ניתן לראות שההצרנה של הביטוי "רומי לא נכשלה במבחן" הוא p¬. לפעמים, יהיה לנו קשר אמת שהוא לא הביטוי המילולי של פונקציית אמת, אבל הוא מתאים לטבלה שלה - ולכן ההצרנה מתעלמת מההיבט הסמנטי והיא זו שמתאימה לפי טבלת האמת. (לא לשכוח! לבדוק אם מדובר בקשר אמת דו מקומי או חד מקומי...)

דוגמה להבדל בין הסמנטיקה להיצמדות לטבלה: קשר האמת "אבל" אם יש לנו "היום שבת אבל עבדתי", זה לא שונה מ-"היום שבת ולא עבדתי" - טבלת האמת מתאימה לפונקציית AND, לכן ההצרנה מתעלמת מההבדל בין "ו-" ל-"אבל", והפסוק מוצרן כ-p∧q

✍מותר להשלים מילים שהושמטו בעקבות כפילות - "יורד גשם או שלג בהמבורג" מתפרק ל- "יורד גשם בהמבורג", "יורד שלג בהמבורג", וקשר אמת מסוג "או".

✍ לשים לב ש-OR לא שולל מצב שבו שני הערכים הם T! אין התחייבות שזה "או-או", המשמעות היא "לפחות אחד מהם". יש טענות OR שכן כוללות "או-או", ולא "AND/OR", נלמד בהמשך.

  • כל אחד מחלקי הקוניונקציה נקרא קוניונקט, וכל אחד מחלקי הדיסיונקציה נקרא דיסיונקט (conjunct ו-disjunct).

טבלאות אמת של אימפליקציה ושל שקילות מטריאלית: בגדול, חשוב לזכור שההבדל בין אימפליקציה ושקילות הוא ההבדל בין "אם..." למיניהו ו-"רק אם" למיניהו: - טבלת האמת של "אם a אז b" לא שוללת מצב שבו a שקרי אבל b אמת - פשוט לא מכוח ההתניה... היא לא קובעת אקסלוסיביות של האפשרות ש-b. - טבלת האמת של "רק אם a אז b" שונה - הפסוק הזה כולו הוא F בשני מצבים: גם כשa הוא T אבל b הוא F (אותו תנאי כמו באימפליקציה), וגם כש-a הוא F אבל b הוא T - כי נאמר ש-b הוא T רק אם a הוא T.

בהמשך נלמד להצרין טענות עם יותר מקשר אמת אחד.

תרגיל ד:

  1. p→q
  2. p↔q
  3. p∧q
  4. לא ניתן להצרין, קשר פסוקי שאינו קשר אמת
  5. p∨q
  6. p∨q -- נראה שזה OR לפי טבלת האמת //

בדיקה: 2. החוברת טוענת שזה q→p עם אותן אותיות פונקציונליות כמו באחת. נראה לי ממש לא נכון, ננסה לבנות טבלה...

תפתרו את כל התרגילים תבינו את חומר הלימודים (רק אם)
אמת אמת אמת
אמת שקר שקר
שקר אמת שקר
שקר שקר אמת
בקיצור, נופ, החוברת טועה. זו טבלה של שקילות מטיריאלית...
  1. לא ממש נכון, הם הצרינו עם NOT, שחשבתי שאני נמנע ממנו כרגע. אז בוא ננסה שוב. אסע לגרמניה הקיץ: P אסע להולנד הקיץ: Q קשרי אמת: לא, אם... (אז...)
אסע לגרמניה הקיץ אסע להולנד הקיץ פסוק
אמת שקר אמת
אמת אמת אמת
שקר שקר שקר
שקר אמת אמת
לא אסע לגרמניה הקיץ אסע להולנד הקיץ פסוק
אמת שקר שקר
אמת אמת אמת
שקר שקר אמת
שקר אמת אמת

כמו שאפשר לראות, כשמצרינים עם NOT 'בתוך הטבלה' מקבלים q→p¬ (פונקציה לוגית של אימפליקציה מטיריאלית). כשמצרינים עם NOT 'מחוץ לטבלה' מקבלים p∨q (פונקציה לוגית של OR) ✍ הלקח מזה הוא שכאשר מצרינים פסוק, יש לשים את ה-NOT 'בתוך הטבלה' ✍ **לא לשכוח לרשום מילון לכל הצרנה!

==הצרנה של משפטים מרובי הקשרים==

  • כדי להצרין פסוק עם יותר מקשר אחד, תחילה עלינו למצוא את הקשר הראשי: זה שנמצא מחוץ לכל הסוגריים. אם יש לנו גם דו-מקומי וגם חד-מקומי מחוץ לכל הסוגריים, מצרינים לפי הדו-מקומי.
  • הקשר הראשי הוא זה שמגדיר את אופי הפסוק

**שלבים להצרנה של משפטים מרובי קשרי אמת: 1. לפרק את הפסוק לפסוקים אטומיים ולקשרי אמת 2. בניית 'טבלת אמת' לכל קשר אמת, על מנת להתאים לו פונקציית אמת (חד/דו מקומי בהתאמה) 3. הצרנת הפסוקים המולקולריים (לאותיות פסוקיות + פונקציות אמת) 4. מחברים את הפסוקים שהוצרנו בהתאם למבנה של הפסוק המורכב/המולקולרי

כך למשל, "יוסי חרוץ אבל אינו חכם" יוצרן ל- p∧¬q

שלבים להצרנה של משפטים מרובי פסוקים אטומיים:

  1. לאתר את כל הפסוקים האטומיים במשפט ואת קשרי האמת
  2. לנתח את היחסים ביניהם: בכל פעם שקשר מתייחס רק לחלק מהפסוק המורכב, יש לתחום את החלק הנכון בסוגריים.
  3. הקשר שנמצא מחוץ לכל הסוגריים הוא הקשר הראשי. (יתכן שיהיו שניים, כאמור, חד מקומי ודו-מקומי. במקרה כזה, הדו-מקומי הוא הראשי.)

אם מדובר באימפליקציה מטיריאלית (IF →), יש לוודא תמיד מה היא הרישה (התנאי, antecedent), ומה היא הסיפה (המותנה, consequent).

תרגיל ה: 1. p = ון גוך הולנדי q = רנואר צרפתי קשר אמת - "ו-" הצרנה: p∧q 2. p= ון גוך הולנדי q = רנואר צרפתי קשרי אמת: "לא נכון ש...", "אבל..." (לא נכון שון גוך הולנדי), אבל (רנואר צרפתי) > שמים את ה-NOT 'בפנים'! גם בסוגריים וגם בטבלה. זה לא אומר שהוא יהיה בסוגריים בהצרנה הסופית. הצרנה: p∧q¬ 3. q = ון גוך הולנדי p = רנואר צרפתי קשרי אמת: "ו-", "לא נכון ש..." מסגור: לא נכון ש-((ון גוך הולנדי) ו- (רנואר צרפתי)). הצרנה: (p∧q)¬ 4. p = ון גוך הולנדי q= רנואר צרפתי קשרי אמת: "אינו" (פעמיים), "אם..." מסגור: (ואן גוך אינו הולנדי) אם (רנואר אינו צרפתי) - קשר ראשי "אם". הצרנה: p→¬q¬ (לפי סדר פעולות זה תקני, לא למדנו אז נראה לי צריך סוגריים) 5. p = ון גוך הולנדי q = רנואר צרפתי קשר אמת: איננו, אם ורק אם, ו- מסגור: (רנואר איננו צרפתי) אם ורק אם ((רנואר צרפתי) ו- (ון גוך הולנדי)). > קשר ראשי "אם ורק אם". הצרנה: ¬q↔(q∧p)

6. p = ון גוך הולנדי
    q = רנואר צרפתי 
    r = פיקסו ספרדי 
    t = שילה אוסטרי 
    קשרי אמת: איננו/אינו, אם..אז..., או, אך. 
    מסגור: אם ((ון גוך איננו הולנדי) או (שרנואר איננו צרפתי)), אז ((פיקסו הוא ספרדי) אך (שילה הוא אוסטרי)). > קשר ראשי אם..אז... 
    הצרנה: (r∧t)→(p∨¬q¬)
7. p = ון גוך הולנדי
    q = רנואר צרפתי 
    r = פיקסו ספרדי 
    t = שילה אוסטרי 
    קשרי אמת: אין זה כך, אינו, ו-, אבל, זה נכון
    מסגור: (אין זה כך ש(שילה אינו אוסטרי) ו-(ון גוך אינו הולנדי)), אבל (זה נכון ש(רנואר צרפתי) ו- (פיקסו ספרדי)). > קשר ראשי "אבל". 
    הצרנה: 
    ¬(¬t∧¬p)∧(q∧r)

8. q = רנואר צרפתי 
    r = פיקסו ספרדי 
    t = שילה אוסטרי 
    קשרי אמת: אם..אז, אם 
    מסגור: אם (רנואר צרפתי), אז (פיקדו ספרדי אם שילה אינו אוסטרי) > קשר אמת "אם...אז..." הראשון. 
    הצרנה: 
    q→(¬t→r)
    (זכרתי לסדר רישה וסיפה! לא לשכוח גם בהמשך!)
  1. p = ון גוך הולנדי q = רנואר צרפתי r = פיקסו ספרדי t = שילה אוסטרי קשרי אמת: אין זה כך מסגור: אין זה כך ש(רנואר צרפתי, פיקסו ספרדי, שילה אוסטרי וון גוך הולנדי) הצרנה: ¬((q∧r)∧(t∧p))
  2. p = ון גוך הולנדי q = רנואר צרפתי r = פיקסו ספרדי t = שילה אוסטרי קשרי אמת: אם ורק אם, אינו, ו-, אינו מסגור: (רנואר צרפתי ופיקסו ספרדי) אם ורק אם (ון גוך אינו הולנדי ושילה אינו אוסטרי) > קשר ראשי "אם ורק אם" הצרנה: (q∧r)↔(¬p∧¬t)

בדיקה: 🥇 מושלםם

==דגשים להצרנות מורכבות==

  • הרחבת ההגדרה של פסוק אטומי: למדנו שאת הפסוק האטומי לא ניתן לפרק כך שנקבל רק פסוקים וקשרי אמת. התוספת היא שלעתים ניתן לחלק אותו כך, אבל לפסוקים המתקבלים לא יהיו ערכי-אמת עצמאיים.

    ◾ לדוגמה, "דני ורוני מתחתנים". אם ההקשר הוא שהם מתחתנים עם אנשים שונים, הרי שזה לא פסוק אטומי, אלא "דני מתחתן" + "ו-" + "רוני מתחתנת", כאשר לכל אחד מהפסוקים יש T/F עצמאי. ◾ עם זאת, ברוב המקרים ההקשר יהיה שהם מתחתנים זה עם זה. במקרה כזה, לכאורה אפשר לפרק את הפסוק ל-"דני מתחתן עם רוני" + "ו-" + "רוני מתחתנת עם דני", אלא שעבור כל אחד מהפסוקים האלה ערך האמת תלוי בערך האמת של השני!. מאחר שלפסוקים אין ערך אמת עצמאי, הרי שהפסוק המכיל אותם הוא אטומי.

    ✍ זה המצב בכל קשר של הדדיות, אבל כמובן שזה לא יהיה ככה במה שהוא קוניונקציה מטבעו, למשל "דני ורוני גבוהים".

- לא לשכוח את ההבדל בין "רק אם", "אם ורק אם", "אם... (אז...)" - כל אחד מהשלושה הוא שונה. באופן כללי, אם לא נכתב בפירוש "אם ורק אם" (התניה כפולה), הרי שיש לנו התניה בודדה.

◾ בלוגיקה אריסטוטלית, למדנו שהתניה מתורגמת לטענה כוללת וחיובית בסדר הפוך ("רק s הוא p" מתורגם ל-"כל p הוא s". ◾ דבר דומה קורה בתחשיב הפסוקים: טבלת האמת של "רק אם" לא קיימת כפונקציה כשלעצמה, אבל היא מתקבלת כשהופכים את הרישה והסיפה בטבלה של אימפליקציה מטריאלית/IF. הכוונה היא שניתן להתאים "רק אם" לפונקציה של IF, פשוט צריך ליצור פונקציה של ꞵ→α, ככה שהיא שגויה כשהאות הפסוקית השניה היא אמת בעוד הראשונה היא שקר (לעומת המצב ההפוך.) ◾ ניתן להבין את זה גם ככה: השורה בה הפונקציה היא F, היא השורה השלישית ולא השניה. ◾ אז בעצם, אם יש לנו טבלה שמתאימה ל-"רק אם", יש להצרין אותה כ-"אם... אז...). "α רק אם ꞵ" מוצרן כ-"אם α אז ꞵ". ✍ באופן כללי - "רק אם" = b עשוי לקרות רק כש-a קורה "אם" = אם a קורה, b קורה בהכרח "אם ורק אם" = b קורה בהכרח כש-a קורה, ולא קורה בשום מצב אחר (בעצם, יש לנו "רק אם", ויש לנו "אם" - ואז "אם ורק אם" הוא השילוב שלהם! בלעדיות והכרחיות.)

✍ לעתים קרובות מזהים טבלאות לפי "F בשורה 2", "T בשורות 1 ו-2", וכו'. הסיבה שזה עובד היא שיש סדר סטנדרטי לשורות. החוק הוא שמתחילים תמיד ב-T, ומשנים קודם את האות הפסוקית השניה: 1. T-T 2. T-F 3. F-T 4. F-F

  • ישנם קשרי אמת כמו "אלא אם כן...", שיצרו טבלת אמת דומה לזו של הדיסיונקציה, אלא שישללו מצב של T-T (שתי הפונקציות הן אמת).
    • הדיסיונקציה שהכרנו עד כה נקראת 'דיסיונקציה כוללת', והיא בעצם מקבלת ערך T גם במצב ששני האיברים שקשורים ב-OR הם T. (היא F רק כששניהם F).
    • הדיסיונקציה שנוצרת כשיש לנו משהו כמו "אלא אם כן..." נקראת 'דיסיונקציה אקסלוסיבית', מאחר שהיא מקבלת ערך F במצב שבו שני האיברים הם T. היא T רק כשזה "או a או b (ולא שניהם)".

על מנת להצרין, יש שתי אפשרויות: 1. לבנות את הנוסחה כך שהפסוקים שלה יסתרו זה את זה במקרה של T-T: ("אם P אז לא Q" + "או-" + "אם Q אז לא P"). 2. לערוך את המשפט שקיבלנו, כדי שיכלול בסופו "אבל לא שיקרו שני הדברים". אפשר לבנות את הנוסחה ולבטא את זה בסופה: ("p או q" + "ו-" + "לא p ו-q").

◾ הדיסיונקציה האקסלוסיבית מייצרת טבלת אמת "הופכית" (T איפה ש-F ולהפך) לזו של השקילות המטריאלית. לכן, שלילה של שקילות מטיריאלית היא שקולה לוגית לדיסיונקציה אקסלוסיבית. לכן ניתן להצרין גם כך: 3. ¬(p↔q)

  • לפעמים יש תנאים שאין להם מילות התניה. למשל "ניפגש בשני, או בראשון אם יהיה זמן." כמובן שלא מדובר ב-"ניפגש בשני" + ("ניפגש בראשון" אם "יהיה זמן")". יש להשלים את המשפט כאילו הוא "ניפגש ביום ראשון אם בראשון יהיה זמן, וביום שני אם בראשון לא יהיה זמן". נראה לי שתמיד כדאי להרחיב את המשפט ככה שהמשמעות הסבירה שלו תימצא מילולית.

תרגיל ו)

  1. קשר אמת: 'חייב... אחרת...', 'לא (אינו)' מילון: אכל ארבע ארוחות ביום: s לא מסוגל לצעוד כהלכה: p נתחיל מהטבלה של הניסוח המקורי:
אכל ארבע ארוחות ביום לא מסוגל לצעוד כהלכה חייב...אחרת...
אמת אמת אמת
אמת שקר אמת
שקר אמת אמת
שקר שקר שקר
מתאימה לטבלה של OR - '(בילבו אוכל ארבע ארוחות ביום), או ש-(הוא לא (מסוגל לצעוד כהלכה))'.
בכל מצב ש-p שקר, q חייב להיות אמת.
הצרנה:
q∨p

ניתן גם לבטא את 'לא' כקשר לוגי, נשנה את p ל-"מסוגל לצעוד כהלכה', כך ש-'לא מסוגל לצעוד כהלכה' הוא כעת 'p¬'.

אכל ארבע ארוחות ביום לא (מסוגל לצעוד כהלכה) חייב...אחרת...
אמת אמת אמת
אמת שקר אמת
שקר אמת אמת
שקר שקר שקר
q∨¬p

מצב כזה מאפשר להצרין הן כהתניה מסוג 'רק אם': נבנה את הטבלה של p בהתסמך על הטבלה הקודמת, כאשר (p = ¬(¬p

אכל ארבע ארוחות ביום מסוגל לצעוד כהלכה חייב...אחרת...
אמת אמת אמת
אמת שקר אמת
שקר אמת שקר
שקר שקר אמת
הטבלה מתאימה ל-'רק אם', כלומר לטבלה של 'אם' כאשר הרישה והסיפה מהופכות.
'(מסוגל לצעוד כהלכה) רק אם (אכל ארבע ארוחות ביום)' מוצרן כ- 'אם (מסוגל לצעוד כהלכה)' אז (אכל ארבע ארוחות ביום)'.

אם q∨¬p אז p→q

מסוגל לצעוד כהלכה אכל ארבע ארוחות ביום אם
אמת אמת אמת
אמת שקר שקר
שקר אמת אמת
שקר שקר אמת

✍ למדתי מהאחד הזה המון! הנה חידודים: 1. להתחיל מלמסגר כמו שצריך הכל. כדאי כן להציב NOTים, ולא להציב אותם כמובלעים באות הפסוקית. 2. אנחנו כן מציבים את ה-NOTים כמובלעים בטבלה. הטבלה שאנחנו בונים היא עבור הפסוק המולקולרי, היינו אמורים לבנות טבלאות לכל קשר אמת משני אם היה צורך (אם לא היה טריביאלי לזהות אותו כ-NOT). 3. במילים אחרות, על הטבלה של קשר האמת הראשי לכלול כאיברים את השכבה הראשונה של הסוגריים, כאשר השכבות הנוספות (NOT שמתייחס לפסוק מולקולרי, וכו') נכללות באיברי הטבלה. 4. אין ברירה אלא להסתכל בטבלאות האמת המוכרות ולהשהוות אותן, לעתים יש כמה דרכים לבטא משהו ומגלים תגליות שוות.

  1. ח (יגיעו לפלח עם שחר) אלא אם (לא (יתגבר על עייפותו) או (יחליט להתעכב בריוונדל)). פסוקים: יגיעו לפלח: q יתגבר על עייפותו: p יחליט להתעכב בריוונדל: r קשרי אמת: 'אלא אם', 'לא', 'או'. ניצור טבלה ל-'אלא אם':
יגיעו לפלח עם שחר (לא (יתגבר על עייפותו)) או (יחליט להתעכב בריוונדל) אלא אם
אמת אמת שקר
אמת שקר אמת
שקר אמת אמת
שקר שקר שקר
זו למעשה טבלה הופכית לשקילות מטריאלית, בה הפונקציה היא T כשערכי האמת של הפסוקים זהים.
על מנת להגיע לטבלה המתאימה לשקילות מטיריאלית,
¬(q↔(¬p∨r))

✍ כדי להפוך את ערך האמת של הפונקציה, שוללים אותה...

  1. "רק אם הגמדים יחלקו את האוצר באופן הוגן, בילבו יקבל את חלקו הצודק ויוכל לשמוח בחלקו אבל אם סאורון וסרומן יכרתו ביניהם ברית, בילבו לא יוכל לשמוח בחלקו"

נבין את המשפט באופן הבא: "רק אם הגמדים יחלקו את האוצר באופן הוגן, אז בילבו יקבל את חלקו הצודק ויוכל לשמוח בחלקו, אבל אם סאורון וסרומן יכרתו ביניהם ברית, אז בילבו לא יקבל את חלקו הצודק ולא יוכל לשמוח בחלקו"

q = הגמדים יחלקו את האוצר באופן הוגן p = בילבו יקבל את חלקו הצודק ויוכל לשמוח בחלקו r = סאורון וסרומן יכרתו ביניהם ברית

קשרי אמת: "רק אם... אז...", "אבל", "אם", "לא" מסגור: (רק אם (הגמדים יחלקו את האוצר באופן הוגן), אז (בילבו יקבל את חלקו הצודק ויוכל לשמוח בחלקו)), אבל (אם (סאורון וסרומן יכרתו ביניהם ברית), אז בילבו לא (יקבל את חלקו הצודק ויוכל לשמוח בחלקו)). קשר אמת ראשי: "אבל", שמשמעו ששתי הטענות נכונות, לכן הוא AND. פסוק ראשון - α רק אם ꞵ מוצרן כ אם α אז ꞵ: (p→q) פסוק שני - (r→¬p) הצרנה: (p→q)∧(r→¬p)

  1. "לגולס, גימלי ואראגורן יצאו לדרך יחד למרות שגימלי הוא גמד ולגולס הוא אלף, או שפרודו וסם לא יצליחו להשמיד את הטבעת"

לגולס, גימלי וארגוראן יצאו לדרך יחד = q גימלי הוא גמד ולגולס הוא אלף = p פרודו וסם יצליחו להשמיד את הטבעת = r קשרי אמת: למרות, או, לא- מסגור: ((לגולס, גימלי וארגוראן יצאו לדך יחד) למרות ש(גימלי הוא גמד ולגולס הוא אלף)), או ש(פרודו וסם לא (יצליחו להשמיד את הטבעת)). קשר אמת ראשי - או ש-. הצרנה של פסוק 1: q∧p הצרנה של פסוק 2: ¬r בין הפסוקים מתקיים קשר של OR. הצרנה של המשפט השלם: (q∧p)∨¬r

  1. "האלפים יעזרו לתושבי גונדור, אם ורק אם ארואן לא תלך בעקבות ארגורן או שהן בורימיר הן אלרון לא יתנגדו לכך" נכתוב מחדש כ: "האלפים יעזרו לתושבי גונדור, אם ורק אם ארואן לא תלך בעקבות ארגורן, או שבורימין לא תתנגד לכך וגם ארואן לא תתנגד לכך" האלפים יעזרו לתושבי גונדור = q ארואן תלך בעקבות ארגורן = p בורימיר תתנגד לכך = r אלרון תתנגד לכך = s קשרי אמת: "אם ורק אם...", "לא-", "לא-" מסגור: '(האלפים יעזרו לתושבי גונדור), אם ורק אם ((ארואן לא (תלך בעקבות ארגורן)) או ש(בורימין לא (תתנגד לכך)) וגם (ארואן לא (תתנגד לכך))' קשר אמת ראשי - 'אם ורק אם' הצרנה של פסוק 1: q הצרנה של פסוק 2: (¬p∨(¬r∧¬s) הצרנה של המשפט השלם: q↔(¬p∨(¬r∧¬s))

  2. "הארי והרמיוני יגיעו לשיעור הראשון, אלא אם כן רון לא ימצא בהוגוורטס והמכונית המעופפת תימצא ביער האסור" הארי והרמיוני יגיעו לשיעור הראשון = q רון ימצא בהוגוורטס = p המכונית המעופפת תימצא ביער האסור = r קשרי אמת: "אלא אם כן...", "לא-" מסגור: (הארי והרמיני יגיעו לשיעור הראשון) אלא אם כן ((רון לא (ימצא בהוגוורטס)) ו- (המכונית המעופפת תימצא ביער האסור)). קשר ראשי - אלא אם כן... הצרנה של פסוק 1: q הצרנה של פסוק 2: ¬p∧r נציב בטבלת אמת:

f ¬p∧r
 q
שקר אמת אמת
אמת שקר אמת
אמת אמת שקר
שקר שקר שקר
ניתן לראות שזה הפוך משקילות מטיריאלית.
הצרנה של המשפט השלם:
¬(q↔(¬p∧r))

אף אחד בעולם לא אוהב את השיטה הזו, אז בוא נבדוק מה אפשר לעשות יותר טוב.

f ¬p∧r
 ¬q
אמת אמת אמת
שקר שקר אמת
שקר אמת שקר
אמת שקר שקר
זה שווה ערך ל-"הארי והרמיוני לא יגיעו לשיעור הראשון, אם ורק אם רון לא ימצא בהוגוורטס והמכונית המעופפת תימצא ביער האסור."

¬q↔(¬p∧r)

✍ למדתי כאן משהו חשוב: אם אין לי פונקציה לוגית מתאימה ב-'שלוף', ואני רואה קשר בין טבלת האמת הנוכחית לטבלה אחרת - צריך לשחק עם אופן ההצגה של הפסוקים באופן ששקול לטבלה. למשל, בתרגיל הזה, הבנתי שאפשר 'להפוך' את הטבלה באופן אלגנטי ע"י הצגה של q כ¬q. מאחר שהיו לי כבר את הערכים של טבלת האמת, יכולתי להציב את הערך ההופכי ל-q בכל אחד מהמצבים שלה ולקבל טבלת אמת חדשה, שדווקא כן תואמת לאימפליקציה מטריאלית.

  1. "סליתרין תזכה באליפות הקווידיץ', אם ורק אם גרפינדור לא ינצחו את האפלפאף או שהארי לא ישחק כמחפש, והמשחק בין רייבנקלו לגריפינדור יבוטל בגלל גשם טורדני או שיסתיים בהפסד של גריפנדור" נבין את המשפט כך: "סליתרין תזכה באליפות הקווידיץ', אם ורק אם גרפינדור לא ינצחו את האפלפאף או שהארי לא ישחק כמחפש, ובנוסף המשחק בין רייבנקלו לגריפינדור יבוטל בגלל גשם טורדני או שיסתיים בהפסד של גריפנדור" סליתרין תזכה באליפות הקווידיץ = q גרפינדור ינצחו את האפלפאף = p הארי ישחק כמחפש = r המשחק בין רייבנקלו לגריפינדור יבוטל בגלל גשם טורדני = s יסתיים בהפסד של גריפנדור = t קשרי אמת: "אם ורק אם", "לא-", "או-", "לא-", "ובנוסף", או-". מסגור: (סליתרין תזכה באליפות הקווידיץ'), אם ורק אם (((גרפינדור לא (ינצחו את האפלפאף)) או (שהארי לא (ישחק כמחפש)), ובנוסף ((המשחק בין רייבנקלו לגריפינדור יבוטל בגלל גשם טורדני) או שיסתיים בהפסד של גריפנדור))". קשר אמת ראשי: 'אם ורק אם' הצרנה של פסוק 1: q הצרנה של פסוק 2: (¬p∨¬r)∧(s∨t). הצרנה של המשפט השלם: q↔((¬p∨¬r)∧(s∨t))

  2. "הרמיוני תיבחר לראש בית גרפינדור או שרון יבחר, אם הארי יתמוך באחד מהם, אבל אם הארי לא יתמוך באחד מהם, לא ייבחר אף אחד מהם או שיבחרו שניהם יחד" נבין את המשפט כך: "רון יבחר לראש בית גריפנדור אם הארי יתמוך ברון, והרמיוני תיבחר לראש בית גריפנדור אם הארי יתמוך בהרמיוני, אבל אם הארי לא יתמוך ברון והארי לא יתמוך בהרמיוני, אז או שרון לא יבחר לראש בית גריפנדור וגם הרמיוני לא תיבחר לראש בית גריפנדור, או שרון יבחר לראש בית גריפנדור וגם הרמיוני תיבחר לראש בית גריפנדור".

הצרנה: רון יבחר לראש בית גריפנדור = q הרמיוני תיבחר לראש בית גריפנדור = p הארי יתמוך ברון = r הארי יתמוך בהרמיוני = s קשרי אמת: "אם", "אם", "אבל", "אם", "לא-", "לא-", "או-", "לא-", "וגם-", "לא-", "או-", "וגם-". מסגור: (((רון יבחר לראש בית גריפנדור) אם (הארי יתמוך ברון), ו- ((הרמיוני תיבחר לראש בית גריפנדור) אם (הארי יתמוך בהרמיוני))), אבל (אם (הארי לא (יתמוך ברון)) ו- (הארי לא (יתמוך בהרמיוני)), אז ((רון לא (יבחר לראש בית גריפנדור)) וגם (הרמיוני לא (תיבחר לראש בית גריפנדור)), או ((שרון יבחר לראש בית גריפנדור) וגם הרמיוני תיבחר לראש בית גריפנדור)). קשר אמת ראשי: אבל הצרנה של פסוק 1: (r→q)∧(s→p) הצרנה של פסוק 2: ¬r∧¬s→((q∧p)∨(¬q∧¬p)) הצרנה של המשפט השלם:

((r→q)∧(s→p))∧(¬r∧¬s→((q∧p)∨(¬q∧¬p)))

בדיקה: 1. החוברת פתרה כ- q→¬p¬. כשQ זה 4 ארוחות ו-P זה לצעוד כהלכה. בוא נראה:

לא (אכל ארבע ארוחות ביום) לא (מסוגל לצעוד כהלכה) IF
אמת אמת אמת
אמת שקר שקר
שקר אמת אמת
שקר שקר אמת
נראה נכון.
\ אחרי שיחה ארוכה עם ג'יפיטי: מדובר בנוסחה ששקולה לוגית לשלי. אין סיבה אמתית לא להצרין כפי שאני עשיתי, אבל כשנרמז על קשר של התניה ברמה הסמנטית, כדאי לחפש דרך להציג כאימפליקציה ולא כ-OR, למרות שמבחינה לוגית זה לא משנה.
  1. לא מצליח להבין אפילו באמצעות ה-AI. החוברת הצרינה אחרת לגמרי. מעכשיו, נראה לי ששווה לנסח משפטים מחדש כדי לעמוד על המשמעות הלוגית שלהם ולקבל טבלאות סבירות יותר...
  2. הצ'אט אומר שנכון
  3. הצ'אט אומר שנכון
  4. הצ'אט אומר שנכון - דומה לחוברת אבל היא טועה לדעתי...
  5. הצ'אט אומר שנכון סה"כ - החוברת הבינה את זה כ-OR, כלומר שיכול להיות שלא יגיעו גם מסיבה אחרת.
  6. הצ'אט אומר שנכון - מדוייק עם החוברת
  7. הצ'אט מעריך את העבודה המעמיקה שהשקעתי בניתוח. הכל נראה נכון!

✍ לשים לב שמסמנים P ואז Q.

==הצרנת טיעונים==

  • דומה מאוד להצרנה של טענות, אבל חשוב לבנות 'מילון' משותף לכל הטענות בטיעון - כל פסוק אטומי שמשתתף בטיעון מסומן באות פסוקית ייחודית.
  • כשמקבלים טיעון בשפה הטבעית, יש לסדר אותו לצורה של שתי הקדמות ומסקנה, לחלק לאותיות פסוקיות ייחודיות ואז להציג ברשימה מוצרנת.
  • את המסקנה מסמנים לא כ-'3.', אלא בסימן המיוחד למסקנה: ∴

תרגיל ז: הצרינו

"אפגש עם אורית, או שאפגש עם נועה אם ירד גשם; לא ירד גשם, לכן אפגש עם אורית"

  1. נסדר את הטיעון מחדש:
  2. אם לא ירד גשם אפגש עם אורית, ואם ירד גשם אפגש עם נועה
  3. לא ירד גשם
  4. לכן, אפגש עם אורית

סימון פסוקים אטומיים: ירד גשם = p אפגש עם אורית = q אפגש עם נועה = r נצרין:

1- (¬p→q)∧(p→r) 2- ¬p ∴- q

  1. "אם טסתי אתמול לאילת אז היום אסע לירושלים; אם אסע היום לירושלים אז מחר אהיה בשדרות; לכן אם טסתי אתמול לאילת מחר אהיה בשדרות".
  2. נסדר את הטיעון מחדש:
    1. אם טסתי אתמול לאילת, אז היום אסע לירושלים
    2. אם אסע היום לירושלים, אז מחר אהיה בשדרות
    3. לכן, אם טסתי אתמול לאילת, מחר אהיה בשדרות

סימון פסוקים אטומיים: טסתי אתמול לאילת = p היום אסע לירושלים = q מחר אהיה בשדרות = r

הצרנה: 1. p→q 2. q→r ∴ p→r

  1. "אם יפעת ובני יתחתנו, אז גם חלי ורועי יתחתנו או שדנה ויובל לא יתחתנו; יפעת ובני יתחתנו וגם דנה ויובל יתחתנו; לכן חלי ורועי יתחתנו"
  2. נסדר את הטיעון:
    1. אם יפעת ובני יחתנו, אז או שגם חלי ורועי יתתחנו, או שדנה ויובל לא יתחתנו
    2. יפתע ובני יתחתנו וגם דנה ויובל יתחתנו
    3. לכן, חלי ורועי יתחתנו

סימון פסוקים אטומיים: יפעת ובני יתחתנו = p חלי ורועי יתחתנו = q דנה ויובל יתחתנו = r

הצרנה: 1. p→(q∨¬r) 2. p∧r ∴ q

בדיקה: הכל נכון 💯

==נספח 1: סימון אלטרנטיבי==

![[Pasted image 20241106201559.png]]

==נספח 2: 'כל האמת על קשרי אמת':==

  • מתחיל מחידוד חשוב: אנחנו מזהים את המבנה הלוגי של הטענה וככה מתאימים לה את קשר האמת. יש לנו 'חיבור', 'ברירה', 'תנאי' וכו' - כמבנים לוגיים כלליים, עוד לפני שהם פונקציות מתאימות. זה צריך להיות בראש שלך כשאתה מצרין.
  • הקשרים לא תמיד חושפים את זה! יכול להיות פסוק כמו "נלך לתאטרון, או לפארק אם לא יהיו כרטיסים" - הקשר המפורש הוא 'או', אבל מדובר כמובן בהתניה כפולה: "נלך לתאטרון אם יהיו כרטיסים, נלך לפארק אם לא יהיו כרטיסים".
  • לגבי חיבור של ריבוי שמות עצם: לפעמים יש מצב משפט כמו "אריק, יוסי ובן הם הכי חתיכים בעולם". לכאורה מתבקש לפרק אותו לפסוקים אטומיים כך: "אריק הוא הכי חתיך בעולם", "יוסי הוא הכי חתיך בעולם" וכן הלאה. אבל! - הפסוקים הרי סותרים זה את זה! לא יתכן שכל אחד מהם הכי חתיך בעולם, ככה שההצמדה של שלושתם, והייחוס של היות "הכי חתיכים בעולם" לשלושתם יחד הוא חיוני כדי שהפסוק יהיה הגיוני.
    • במילים אחרות, ישנה עוד דרישה מפסוק אטומי:
    • שלא יוכל להתפרק לפסוקים נוספים, אלא רק לפסוק אחד ולקשרי אמת
    • אלא אם - הוא מתפרק לשני פסוקים נוספים שערכי האמת שלהם תלויים זה בזה (ואינם עצמאיים, במקרה כזה הפסוק שמכיל את שניהם הוא האטומי)
    • ואלא אם - הוא מתפרק לשני פסוקים שסותרים זה את זה (וההצמדה שלהם אינה מהווה סתירה)
הצרנה של פסוקי התניה:
  • הרבה פילוסופים מתנגדים לעיקרון לפיו התניה מוצרנת כ- סיפה→רישה.
  • כדי להבין את הנושא יש להבדיל בין שני סוגים של פסוקי תנאי:
  • פסוק תנאי 'נוגד מציאות' (Counterfactual)

    נקראים גם 'פסוקי אילו' - הם עוסקים ב-רישה שאמיתותה איננה ברורה. כלומר, בתנאי שלא בהכרח מתקיים, ובהשלכות שיהיו לו לו התקיים. הדוגמה המפורסמת של נלסון גודמן היא "אילו חומם נתח החמאה ל-60 מעלות, הוא היה נמס". הבעיה שנלסון גודמן מצביע עליה היא שהפסוק הוא אומנם התניה, אבל הוא לא מתאים לפונקציה שנקראת אימפליקציה מטריאלית. הסיבה היא שאימפליקציה מטריאלית היא תמיד T כאשר הרישה היא F, ולכן, כל פסוק תנאי נוגד-מציאות הוא 'אמיתי' כאשר מציגים אותו כ-IF. המשמעות היא קודם כל, שפונקציית IF לא מלמדת אותנו דבר על פסוק נוגד מציאות. אבל חשוב מכך: מאחר ש-כל נוגד-מציאות הוא T, גם הפסוק ההופכי לפסוק נוגד-מציאות יהיה T, למשל: "אילו חומם נתח החמאה ל-60 מעלות, הוא לא היה נמס" לא יכול להיות שנוגד-מציאות הוא T באותו זמן שנוגד המציאות ההפוך לו הוא T! זה כבר לא אובדן משמעות, אלא ממש בעיה בהצרנה של התניה נוגדת מציאות כ-IF. 👈 מה הפיתרון לזה? החוברת מעידה שזה מורכב מאוד. בקורס מבוא זה, אנחנו לא נעסוק בהצרנה של נוגדי-מציאות, בדיוק משום הבעיה הזו.

  • 'פסוק תנאי מציין' (Indicative):

    (החוברת לא הסבירה מה זה... מניח שכל התניה שמתייחסת לאפשרות ממשית: כזו שמתקיימת או כזו שנמצאת באופן קונקרטי על הפרק. שההקשר שלה לא מניח את אי היתכנות שלה.)

✍נגד הצרנה של התניות כ-IF: המבנה של פונקציית IF הוא כזה שאם הרישה שקרית או שהסיפה אמתית, הטענה היא T. (רק כשהרישה אמתית והסיפה שקרית הפונקציה היא F). אפשר להגיד שאם נתונה ꞵ כ-T, בהכרח נכונה הטענה α→ꞵ ואפשר להגיד שאם נתונה α¬ כ-T, בהכרח נכונה הטענה α→ꞵ זה נהיה מורכב כשנתון פסוק בלי קשר מהותי בין הרישה לסיפה. למשל: "אם פילים יכולים לעוף, ירושלים היא בירת ישראל" מאחר שהרישה שקרית והסיפה אמתית, מדובר ב-T. אבל הטענה היא נונסנס... היא נכונה כפונקציה, אבל לא מבטאת את הקשר בין הרישה לסיפה, שמתקיים בשפה הטבעית: כשאני אומר "אם לא ילך לי, אפרוש" אני לא מתכוון לצייר טבלה של ערכי אמת, אלא להגיד שיש קשר בין ההצלחה שלי לפרישה שלי. פונקציית IF לא יודעת לצייר שום קשר של תלות, סיבה-תוצאה, השפעה הדדית וכו'. (ההיבט הזה בשפה הטבעית הוא מה שהכרנו כ-'פרגמטיקה', הקשר בין הסימנים בשפה למשתמשים שלה - משמעויות מובלעות וכו'). ההיבט החמור של זה הוא ביכולת ליצור טיעון תקף (בתחשיב הפסוקים) באמצעות פונקציית IF, שערך האמת שלו הוא T, אך הוא לא נכון! למשל: "אם אני בברזיל אני בריו; אם אני באירופה אני בהולנד; לכן אני באירופה אם אני בהולנד או בריו אם אני באירופה". -- הבעיה היא לא ביכולת להצרין את הטיעון כתקף (אפשר להצרין נונסנס מוחלט), אלא בעובדה שפסוק המסקנה יהיה T במקרה כזה! (מאחר שהרישה F). // לא בדיוק, 'תקף' זה לא 'נב"ך'. בדיקת תקפות נלמד בהמשך. כרגע יש להגיד שזה אמנם נב"ך, אבל זה מוזר שהוא T. החוברת מוסיפה שזה למעשה פסוק תקף...

👈 אז אם לסכם: IF היא פונקציה שמחטיאה את המטרה כשמדובר בהצרנה של פסוקי תנאי. למדנו כבר שהלוגיקה הפורמלית לא עוסקת ביחסים של סיבה-תוצאה, והעניין הנדון הוא ביטוי של זה. יש פילוסופים שהציעו לא לראות בקשרי אמת של "אם... אז..." בשפה הטבעית כאופרטורים כלל. כלומר, הפסוק האטומי יהיה "אם אני בריו", ולא "אם" (קשר) + "אני בריו" (פסוק אטומי).

✍ בעד הצרנה של התניות כ-IF הסיבה שבכל זאת יש מי שמאמינים בהצרנה של התניה כ-IF, נשענת על העובדה ש: ¬α∨ꞵ שקול לוגית ל- α→ꞵ ("אם A אז B" = "או לא-A או B" - זה לא לגמרי אינטואיטיבי אבל הטבלאות זהות!) (זה כמו "אם אצליח בבחינה אשמח מאוד" - שקול ל- "או שלא אצליח בבחינה, או שאשמח מאוד) בקיצור, בשפה הטבעית, פסוקי ברירה ודיסיונקציה (כוללת) הם שקולים לוגית, בתנאי ששוללים את הרישה בהחלט שמתי לב לזה בעבודה שלי... גם לכך ש-'ממירים' לאימפליקציה באמצעות שלילת הרישה, וגם לכך שהתניות מוצרנות לעתים כברירה. והחוברת מאשרת מה שחשבתי: מאחר שבמקרים כאלה '→' ו-'∨' הם שקולים לוגית, יש להשתמש ב-'→' (לעשות את ההמרה). ✍ איך העניין הזה נפתר? גם כאן, יש דיון פילוסופי ארוך מאוד לגבי השימוש ב-IF לביטוי פורמלי של התניות אינדיקטיביות (מציינות). בלוגיקה מודאלית יש אטפרטורים כמו 'אפשרי' ו-'הכרחי' שמתייחסים לבעיה הזו (לא לוגיקה אינדוקטיבית! מודאליות כמו ב-'תנאי התקפות המודאלי', זוהי לוגיקה שהיא לא פורמלית?). איך נפתור את הבעיה? נראה שכדי להבין איך להצרין נכון את כל פסוקי התנאי, יש ללמוד לוגיקה בסיסית, ושכדי ללמוד לוגיקה בסיסית יש להצרין פסוקי תנאי. ✍ הפיתרון יהיה להמשיך להצרין התניות כ-IF... לאחר שנלמד לוגיקה בסיסית, כדי להעמיק בנושא יש לקרוא: 1. על תחשיב הפסוקים של הלוגיקה המודאלית 2. את An Introduction to Non-Classical Logic של Graham Priest

==נספח 3: פונקציות ופונקציות אמת==

  • המטרה של הנספח הזה היא פשוט להבהיר יותר טוב מה היא פונקציה (וזה מצליח...)

    **פונקציה היא התאמה בין איברים מקבוצה אחת ('התחום', כלומר הנתון) לבין איברים מקבוצה שניה ('הטווח', כלומר טווח הערכים שהפונקציה עשויה להחזיר).

  • אפשר לחשוב על זה ככה: התחום הוא האיבר שאנחנו 'מציבים' בפונקציה. הטווח הוא הפלט שאנחנו מקבלים, שהוא למעשה 'צמצום' של הטווח שלה ביחס לתחום הרלוונטי שהגדרנו.

  • מינוחים רלוונטיים:

    • 'התאמה חד-חד ערכית' = התאמה בין ערך בודד לערך בודד
    • 'התאמה מלאה' = 'התאמה חד-חד ערכית ועל' (המינוח המקצועי והמפחיד) = מצב שבו לכל ערך בודד מתאים ערך בודד בדיוק. למשל: בין תחום 'כל המדינות' לטווח 'כל דגלי המדינות'. (דוגמה יותר קשוחה משלי: פונקציה שמקבלת סדרת מספרים ומחזירה את חזקת2 של כל אחד מהם. לכל מספר שתקבל תהיה התאמה אחת בלבד ובהכרח).

  • לענייננו: הקבלה חשובה היא בין הפונקציות הלוגיות שאנו משתמשים בהן להתאמה בין 'זוגות סדורים' (מקבוצת התחום) לבין איברים בודדים (בקבוצת הטווח) במתמטיקה.

    • ❗ במתמטיקה, ההבדל בין 'סדרה' ל-'קבוצה' הוא שבסדרה, הסדר משנה! למשל: (1,2,3) היא אותה קבוצה כמו (3,2,1) וכו'. אבל-, (1,2,3) ו-(3,2,1) יהיו סדרות שונות!. אפשר גם להגיד: סדרה היא איזשהו חוקיות של ספירה (חוקיות לגבי איך מתקדמים מאיבר לאיבר שאחריו), בעוד שקבוצה היא אוסף של איברים (עם מכנה משותף?)
  • ההתאמה שאנו מבצעים בטבלאות האמת היא למעשה התאמה בין 'זוגות סדורים' (כלומר, סדרות שהן זוג איברים, כשהסדר שלהם משנה כאמור) לבין איבר בודד.
    • הזוגות הסדורים הם T-T, T-F, F-T, F-F (כל הקומבינציות של ערכי האמת של שני הפסוקים) - קבוצת התחום
    • האיברים הבודדים הם ערך-האמת של הפונקציה כולה: T או F.
    • לכל זוג סדור יתאים F או T בקבוצת הטווח
    • זה כמובן נכון לפונקציות אמת דו-מקומיות!, עבור חד-מקומיות, תהיה לנו התאמה 'חד-חד ערכית ועל'.