תרגילים פרק 9 🏋️

תרגיל א

![[Pasted image 20250125144136.png]]

1. -- א.

graph TD; 
id1("{∃x(Px∧∃yQxy), ¬Pa∨¬Qba}
Pc∧EyQcy
Pc∧Qcd
Pc
Qcd") --> id2("¬Pa")
id1 --> id3("¬Qba")

עץ פתוח, קבוצה קונסיסטנטית

נכון, אבל החוברת עשתה בסדר קצת שונה את Pc∧EyQcy אפשר היה לפרק ככוניונקציה ואז לעבוד על הסיפה

ב.

graph TD; 
id1("{∃y(Py→∃zQyz), ∀x(Px→∀y¬Qxy), ∀x(Px→Qxx)}
Pa→∃zQaz
Pa→Qab
-
Pa→∀y¬Qay
Pb→∀y¬Qby
Pa→¬Qab
Pa→¬Qaa
Pb→¬Qba
Pb→¬Qbb
-
Pa→Qaa
Pb→Qbb}
-")
id1 --> id2("¬Pa")
id1 --> id3("∃zQaz")
id2 --> id4("¬Pa")
id2 --> id5("Qab")
id3 --> id6("¬Pa")
id3 --> id7("Qab")

אין לי כוח ולא נכון, החוברת עשתה אחרת לגמרי, כרגיל בלי להסביר את עצמה. החוברת התחילה מלהציב a בלבד בכמתים הראשונים ואז המשיכה ללהציב את b בכל פעם שהענף התפצל, ככה: אבל... באופן הזה אנחנו לא מדגימים את Pb עבור אף אחד מהכמתים הכוללים... החוברת פשוט הדגימה באופן הזה שחייב להיות ענף פתוח - זה שממשיך על ¬Pa, ומתחמקת מלפתוח את כל האפשרויות...

![[Pasted image 20250125152050.png]]

ג.

![[WhatsApp Image 2025-01-25 at 15.40.08_6ac01f28.jpg]]

עץ פתוח, קבוצה קונסיסטנטית

עשיתי מושלם לשים לב שאנחנו מציבים בכמת הכולל רק את הקבועים שקיימים כבר! ומשתמשים באחד שרירותי רק אם לא קיימים

1. -- א.
2. עבור כל x, אם x הוא יווני, אז x הוא בן תמותה
3. סוקרטס הוא יווני
4. לכן סוקרטס הוא בן תמותה Gx - יווני Mx - בן תמותה s - סוקרטס

∀x(Gx→Mx) Gs ∴Ms

graph TD; 
id1("{∀x(Gx→Mx),
Gs,
Ms}") --> id2("¬Gs
X סגור")
id1 --> id3("Ms")

עץ פתוח, קבוצה קונסיסטנטית

כדי לבדוק תקפות הייתי צריך לבדוק את שלילת המסקנה, נבדוק את התשובות, אני לא מבין למה החוברת לא מצאה לנכון לחזור על זה שניה עשיתי טוב חוץ מהטעות הזו

ב. עבור כל איקס, אם איקס הוא פיל, איקס הוא יונק עבור כל איקס, אם איקס הוא יונק אז איקס הוא בעל חיים לכן, לא קיים איקס כך שאיקס פיל ואיקס אינו בעל חיים

Ex - פיל Mx - יונק Ax = בעל חיים

∀x(Ex→Mx) ∀x(Mx→Ax) ∴¬∃x(Ex∧¬Ax)

graph TD; 
id1("{∀x(Ex→Mx) -- a,
∀x(Mx→Ax) --a,
¬∀x¬(Ex∧¬Ax)}

∃x¬¬(Ex∧¬Ax)
∃x(Ex∧¬Ax)
Ea∧¬Aa
Ea
¬Aa
Ea→Ma
Ma→Aa
-")
id1 --> id2("¬Ea
X סגור")
id1 --> id3("Ma")
id3 --> id4("¬Ma
X סגור")
id3 --> id5("Aa
X סגור")

עץ סגור, קבוצה לא קונסיסטנטית, מדובר בהנחות ובשלילת המסקנה, לכן הטיעון תקף

עשיתי טוב

ג. קיים איקס ככה שאיקס ספר, ועבור כל וואי, אם וואי לא מספר את וואי, אז איקס מספר את וואי, ואם וואי מספר את וואי, אז איקס לא מספר את וואי לכן לא קיים איקס ככה שאיקס ספר ואיקס מספר את איקס

Bx - ספר Cxy - איקס מספר את וואי

∃x(Bx∧∀y((¬Cyy→Cxy)∧(Cyy→¬Cxy))) ∴¬∃x(Bx∧Cxx)

graph TD; 
id1("{∃x(Bx∧∀y((¬Cyy→Cxy)∧(Cyy→¬Cxy))),
¬∀x¬(Bx∧Cxx)}

∃x¬¬(Bx∧Cxx)
∃x(Bx∧Cxx)
Ba∧Caa
Ba
Caa

Bb∧∀y((¬Cyy→Cby)∧(Cyy→¬Cby))) 
Bb
∀y((¬Cyy→Cby)∧(Cyy→¬Cby)) -- a, b
(¬Caa→Cba)∧(Caa→¬Cba)
(¬Cbb→Cbb)∧(Cbb→¬Cbb)
(¬Caa→Cba)
(Caa→¬Cba)
(¬Cbb→Cbb)
(Cbb→¬Cbb)
-
-")

![[WhatsApp Image 2025-01-25 at 16.19.25_c10fa16d.jpg]]

עץ סגור וקבוצה לא קונסיסטנטית עבור ההנחות ושלילת המסקנה - לכן הטיעון תקף

למרבה ההפתעה, עשיתי מדויק והתשובה נכונה

לשים לב שלא צריך לעבוד כ"כ קשה... אם המסקנה שלולה מראש ואני צריך לשלול אותה כדי להוכיח תקפות - אפשר פשוט לכתוב אותה בלי שלילה... במקום כל השקילות הלוגית

תרגיל ב

![[Pasted image 20250125183012.png]]

1. -- א. ∀x(Px→Qx), ∃x(¬Px∧Qx)

graph TD; 
id1("∀x(Px→Qx) -- a, 
∃x(¬Px∧Qx) V
¬Pa∧Qa V
¬Pa
Qa
Pa→Qa V
")
id1 --> id2("¬Pa")
id1 --> id3("Qa")

מודל: Domain: {a} I(P): {} I(Q) {a}

נכון מאוד

ב. ∀xPx, ∃x(Px∧Qx), ∃xQx

graph TD; 
id1("{∀xPx -- a,b 
∃x(Px∧Qx) V
∃xQx V}

Pa∧Qa V
Pa
Qa
Qb
Pa
Pb
-
")

מודל: Domain: {a, b} I(P):{a, b} I(Q):{a, b}

נכון מאוד

ג. ∀x(Px→Qx), ¬∃xPx, ∃xQx

graph TD; 
id1("{∀x(Px→Qx) -- a
¬∃xPx V
∃xQx V}

∀x¬Px -- a
Qa
¬Pa
Pa→Qa
-
")
id1 --> id2("¬Pa")
id1 --> id3("Qa")

מודל: Domain: {a} I(Q): {a} I(P): {--}

נכון מאוד

1. --

graph TD; 
id1("{∃x(Px→∃yQxy)}
Pa
¬Qab
Pc→∃yQcy
")
id1 --> id2("¬Pc")
id1 --> id3("∃yQcy
Qcd")

עץ פתוח/לא תקף, מודל: Domain: {a, b, c, d} I(P): {a} I(Q): {c, d}

מדויק

ב.

graph TD; 
id1("{∃x(Px∧∀yQxy) V
Pa
¬∀yQay V}
∃y¬Qay V
Pb∧∀yQby
Pb
∀yQby - a, b, c
¬Qac
Qba
Qbb
Qbc
-
")

עץ פתוח/לא תקף מודל: Domain: {a, b, c} I(Q): {ba, bb, bc} I(P):{a, b}

נכון למעט טעות הקלדה שלי או של הספר אין לי כוח

ג.

graph TD; 
id1("{∀x(Px→Qx) -- a
∀x(Qx→Rx)-- a
¬∃x(¬Px∧Rx) v}
∀x¬(¬Px∧Rx)
Pa→Qa
Qa→Ra
¬(¬Pa∧Ra)
")
id1 --> id2("¬Pa")
id1 --> id3("Qa")
id2 --> id4("¬Qa")
id2 --> id5("Ra")
id3 --> id6("¬Qa
X סגור")
id3 --> id7("Ra")
id4 --> id8("¬¬Pa
Pa
X סגור")
id4 --> id9("¬Ra")
id5 --> id10("¬¬Pa
Pa
X סגור")
id5 --> id11("¬Ra
X סגור")
id7 --> id12("¬¬Pa
Pa")
id7 --> id13("¬Ra
X סגור")

יש ענפים פתוחים/קונסיסטנטי/לא תקף מודל: Domain: {a} I(Q): {a} I(R): {a} I(P): {a}

מדוייק להפליא

תרגיל ג

![[Pasted image 20250126174311.png]]

∃x∀yRxy→∀y∃xRxy

∀x(Px→∃yRxy)∧∃x∀y(Px∧¬Ryx)

1. -- א.

   graph TD; 
   id1("∃x∀yRxy→∀y∃xRxy -- V
   ∀yRay→∀y∃xRxy -- a
   Raa→∀y∃xRxy")
   id1 --> id2("¬Raa")
   id1 --> id3("∀y∃xRxy -- a, b, c
   ∃xRxa -- V
   Rba
   ∃xRxb -- V
   Rcb
   ∃xRxc
   Rdc
   ענף שישאר פתוח
   -")
   

   עץ פתוח, לא סתירה עצמית

graph TD; 
id1("¬(∃x∀yRxy→∀y∃xRxy)
∃x∀yRxy -- V
¬∀y∃xRxy -- V
∃y¬∃xRxy -- V
∀yRay -- a, b
¬∃xRxb
∀x¬Rxb
Raa
Rab
¬Rab
¬Rbb
X ענף סגור
-
")

עץ האמת של הפסוק השלול סגור, לכן מדובר בטאוטולוגיה

נכון מאוד

ב.

graph TD; 
id1("∀x(Px→∃yRxy)∧∃x∀y(Px∧¬Ryx)
∀x(Px→∃yRxy) -- a, b
∃x∀y(Px∧¬Ryx) -- V
∀y(Pa∧¬Rya) -- a, b
Pa→∃yRay
Pa∧¬Raa
Pa
¬Raa
")
id1 --> id2("¬Pa
X ענף סגור")
id1 --> id3("∃yRay -- V
Rab
Pb→∃yRby
Pb∧¬Rba
Pb
¬Rba")
id3 --> id4("¬Pb
X ענף סגור")
id3 --> id5("∃yRby
Rbc
ענף רקורסיבי")

עץ האמת פתוח, לא סתירה עצמית

graph TD; 
id1("¬(∀x(Px→∃yRxy)∧∃x∀y(Px∧¬Ryx))") --> id2("¬∀x(Px→∃yRxy)
∃x¬(Px→∃yRxy) -- V
¬(Pa→∃yRay) -- V
Pa
¬∃yRay -- V
∀y¬Ray -- a
¬Raa")
id1 --> id3("¬∃x∀y(Px∧¬Ryx)
∀x¬∀y(Px∧¬Ryx) -- a, b
¬∀y(Pa∧¬Rya)
∃y¬(Pa∧¬Rya)
¬(Pa∧¬Rba)
¬Pa
¬¬Rba
Rba
¬∀y(Pb∧¬Ryb)
∃y¬(Pb∧¬Ryb)
¬(Pb∧¬Rcb)
¬Pb
Rcb
ענף רקורסיבי
-
")

לדעתי אפשר להגיד שלעץ יש ענף פתוח ולכן הוא קונטינגנציה השאלה אם זה משנה אם אצטרך להציב עוד קבוע בענף שלא סיימתי בוא נבדוק בכל מקרה הענף השני בכל מקרה רקורסיבי...

לא נכון! החוברת הצליחה איכשהו לסגור את כל הענפים ולהראות שזו סתירה עצמית ![[Pasted image 20250126214238.png]] זה נראה נכון אבל אין כאן למעשה שום מתודה. אי אפשר לדעת אם אתה תקוע ברקורסיבי או לא...

1. -- Lxy - איקס אוהב את וואי א. עבור כל איקס, קיים וואי כך שאיקס אוהב את וואי עבור כל איקס, איקס אוהב את איקס עבור כל איקס, קיים וואי כך שוואי אוהב את איקס

∀x∃y(Lxy) ∀x(Lxx) ∴∀x∃y(Lyx)

graph TD; 
id1("{∀x∃y(Lxy) -- a
∀x(Lxx) -- a
¬∀x∃y(Lyx)} -- V
∃x¬∃y(Lyx) -- V
¬∃y(Lya)
∀y¬(Lya) -- a
∃y(Lay)
Laa
¬Laa
X ענף סגור
-
")

עץ האמת של ההנחותושלילת המסקנה סגור, כלומר שהקבוצה אינה קונסיסטנטית והפסוק תקף

נכון

ב. לא קיים איקס כך שעבור כל וואי, איקס אוהב את וואי עבור כל איקס, איקס אוהב את איקס עבור כל איקס קיים וואי כך שאיקס אוהב את וואי

¬∃x∀y(Lxy) ∀x(Lxx) ∀x∃y(Lxy)

graph TD;
id1("{¬∃x∀y(Lxy) -- V
∀x(Lxx) -- a, b
¬∀x∃y(Lxy) -- V}
∀x¬∀y(Lxy) -- a
∃x¬∃y(Lxy) -- V
¬∃y(Lay) -- V
∀y¬(Lay)
Laa
¬∀y(Lay) -- V
∃y¬(Lay) -- V
¬Lab
Lbb
¬∀y(Lby)
∃y¬Lby
¬Lbc
Lcc
עץ רקורסיבי???
--
--
")

יצא לי עץ רקורסיבי, לא יודע למה, לדעתי משהו השתבש. אבל בקיצור אם העץ פתוח אז הטיעון לא תקף.

גם פה יצא לי עץ רקורסיבי וזה לא נכון - הטיעון תקף כמובן! לא רוצה להתבחבש על זה, אבל נראה לי שצריך תמיד לנסות לברוח מרקרוסיביות לשכוח מסדר פעולות בכל מקרה שזה נראה שאפשר לבנות את ההוכחה נכון כדי לא להיקלע למעגל. יש "טריקים" כמו נגיד לעשות הצבה מסוימת רק לאחר הפיצול וכו'

תרגיל ד

1. גזרו את המסקנה מההנחות א. ∀x(Ax→Bx) ∀x(Bx→Cx) ∴∃x¬(Ax∧¬Cx)

2. ∀x(Ax→Bx)

3. ∀x(Bx→Cx)
4. Ax→Bx 1 U.I.
5. Bx→Cx 2 U.I.
6. Ax→Cx 3,4 H.S.
7. ¬Ax∨Cx 5 Impl.
8. ¬Ax∨¬¬Cx 6 D.N.
9. ¬(¬¬Ax∧¬Cx) 6 Da Morgan.
10. ¬(Ax∧¬Cx) 7 D.N.
11. ∃x¬(Ax∧¬Cx) 9 E.G.

נכון

ב. 1. ∀x(Ax→∃yBxy) 2. Aa 3. Aa→∃yBxy 1 U.I. 4. ∃yBxy 2,3 M.P. 5. ∃x∃yBxy 4 E.G.

∴∃x∃yBxy

נכון

ג. 1. ∀x(Ax→∃yBxy) 2. ∀x(Cx→Ax) 3. ∃yBey→De 4. Ce 5. Ae→∃yBey 1 U.I. 6. Ce→Ae 2 U.I. 7. Ae 4,6 M.P. 8. ∃yBey 5,7 M.P. 9. De 3,8 M.P. 10. ∃xDx 9 E.G. ∴∃xDx

נכון

1. גזרו את הטאוטולוגיות

א. ∃x((Ax∨(Bx∧Cx))→(Ax∨Cx))

1. Ax∨(Bx∧Cx) C.P.
2. (Ax∨Bx)∧(Ax∨Cx) 1 Dist.
3. (Ax∨Cx)∧(Ax∨Bx) 2 Com.
4. (Ax∨Cx) 3 Simp.
5. ((Ax∨(Bx∧Cx))→(Ax∨Cx) 1-5 C.P.
6. ∃x((Ax∨(Bx∧Cx))→(Ax∨Cx)) 5 E.G.

נכון!

ב. ∀x((Ax∨Bx)∧¬Bx)→∃yAy

1. ∀x((Ax∨Bx)∧¬Bx) C.P.
2. (Ay∨By)∧¬By 1 U.I.
3. ¬By∧(Ay∨By) 2 Com.
4. ¬By 3 Simp.
5. (Ay∨By) 2 Simp.
6. By∨Ay 5 Com.
7. Ay 4,6 D.S.
8. ∃yAy 7 E.G.
9. ∀x((Ax∨Bx)∧¬Bx)→∃yAy 1-8 C.P.

נראה נכון

ג. (∀x((Ax→Bx)∧(Dx∨¬Cx))∧(¬Ba∨¬Da))→∃y(¬Ay∨¬Cy)

1. ∀x((Ax→Bx)∧(Dx∨¬Cx))∧(¬Ba∨¬Da)) C.P.
2. (Aa→Ba)∧(Da∨¬Ca))∧(¬Ba∨¬Da) 1. U.I.
3. (¬Ba∨¬Da) ∧ (Aa→Ba)∧(Da∨¬Ca) 2 Com.
4. (¬Ba∨¬Da) 3 Simp.
5. (Aa→Ba)∧(¬Da→¬Ca)∧(Ba→¬Da) 2 Impl.
6. (Aa→Ba)∧(¬Da→¬Ca) 5 Simp.
7. (¬Ba→¬Aa)∧(¬Da→¬Ca) 6 Trans.
8. ¬Aa∨¬Ca 4, 7 C.D.
9. ∃y(¬Ay∨¬Cy) 8 E.G.
10. ∀x((Ax→Bx)∧(Dx∨¬Cx))∧(¬Ba∨¬Da))→∃y(¬Ay∨¬Cy) 1-6 C.P.

נראה נכון

תרגיל ה

![[Pasted image 20250127104202.png]]

1. • הטעות בשורה 2, אי אפשר להכליל באמצעות יוג'י מופע חופשי של איקס ב- Fx וטעות נוספת בשורה 4 אי אפשר להכליל את איקס לאחר המופע החופשי שלה בשורה 3

צדקתי בראשון השני לא נכון - איקס מופיע חופשי בטענה ולא בהנחה כיום אני מבין את זה, כי חידדתי את ההבנה שלי בסייגים של כללי הכמתים

1. • הטעות היא בשורה 3 אם אנחנו מדגימים עבור y זה צריך להיות Py→Rxy ואם עבור x אז Px→Rxx בכל אופן לא Px→Rxy

בנוסף יש טעות בשורה 8 המופע של המשתנה איקס הוא חופשי בשורה 7 שנמצאת מחוץ להוכחה המותנית

השני לא נכון. שוב, לא הבנתי מספיק טוב את הסייגים. זה ברור שיש לנו כאן הנחה עם המשתנה החופשי, ולכן אי אפשר לעשות דווקא את שורה 6. 8 בסדר.

1. - הטעות בשורה 11 המשתנה וואי מופיע כחופשי בשורות 8-10 שנמצאות מחוץ לקופסה של ההוכחה המותנית

נכון

תרגיל ו

(יש לנו לבדוק החל מ-ד')

![[Pasted image 20250128170308.png]]

1. ∃x¬Ax C.P.
   1. ¬Ay 1 E.I.
      1. ∀xAx C.P.
      2. Ay 3 U.I.
   2. ∀xAx→Ay 3-4 C.P.
   3. ¬∀xAx 1 Q.N.
   4. ¬∀xAx 2 3-6 E.I.
2. ∃x¬Ax→¬∀xAx 1-7 C.P.
3. ¬¬∀xAx→¬∃x¬Ax 8 Trans.
4. ∀xAx→¬∃x¬Ax 9 D.N.

נכון. מעניין מאוד - החוברת גזרה את שורה 6 עם M.T. זה אפשרי כי יש לנו ¬Ay ויש לנו ∀xAx→Ay אבל גם האופן שאני גזרתי נכון לדעתי, עם QN

![[Pasted image 20250128172734.png]]

א. - הטעות בשורה 4: כלל הכללה הכוללת לא מאפשר להכליל משתנה שהופיע כחופשי בהנחה קודמת ההנחה בשורה 3 נעלמת רק בשורה 6

נכון

ב. הטעות בשורה 7 - כלל הכללה הכוללת לא מאפשר להותיר מופע לא קשור של המשתנה עליו הכלל מופעל, בי איקס צריך להיות קשור ולהיות בי וואי

נכון אבל יש טעויות גם בשורות 3 ו-5 ואפילו ב-6! בשורה 3 התבצעה הדגמה ישית עם המשתנה איקס, בזמן שכבר היה משתנה חופשי איקס בשורה קודמת בשורות 5 ו-6 "איקס חופשי ביציאה" לדעתי הכוונה ב-5 וב-6 היא שלאיקס היה מופע חופשי קודם בשורה 4 ובשורה 2, אז אי אפשר להפעיל את כלל ההדגמה הישית. בקיצור, טעות נגררת, לא הבנחתי בכך שיש איקס לא קשור בהנחות.

ג. הטעות בשורה 6 לא ניתן להפעיל את כלל ההדגמה הישית על משתנה שמופיע כחופשי בשורה קודמת

נכון אבל יש טעויות גם בשורות 5 ו-8 גם הן איקס חופשי ביציאה... אני חושב שהבנתי! אי אפשר לסיים עם מופע חופשי של המשתנה המומר כשעושים הדגמה ישית! אפשר שיהיה בהצבה עצמה (לא בשורה קודמת כמו שאני יודע כבר) אבל כשיוצאים מהסוגריים אי אפשר שיהיה. אז ברור למה שתי היציאות מהקופסה בהוכחה הזו הן טעויות.

![[Pasted image 20250128174526.png]]

1. ∀x(∃yRyx→∀zRxz)
2. ∃yRyx→∀zRxz 1 U.I.
3. ∃yRyx C.P.
   1. ∀zRxz 2,3 M.P.
   2. Rxy 4 U.I.
4. ∃yRyx→Rxy 3-5 C.P.
5. ¬Rxy→¬∃yRyx 6 Trans.
6. ¬Rxy C.P.
   1. ¬∃yRyx 7,8 M.P.
   2. ∀y¬Ryx 9 Q.N.
   3. ¬Ryx 10 U.I.
7. ¬Rxy→¬Ryx 8-11 C.P.
8. ¬¬Ryx→¬¬Rxy 12 Trans.
9. Ryx→Rxy 13 D.N.
10. ∀z(Ryz→Rzy) 14 U.G.
11. ∀y∀z(Ryz→Rzy) 15 U.G.

החוברת עשתה הרבה יותר יפה ממני. לא הבנתי את החוק של הדגמה ישית עד הסוף כשכתבתי, פה אין שימוש בכלל אז מאמין שנכון גם שלי.

ב. 1. ∀x(Px→∀y(Qy→Rxy)) 2. ∃x(Px∧∃y¬Rxy) 3. Px∧∃y¬Rxy E.I. 4. Px 3 Simp. 5. Px 2 3-4 E.I. 6. Px→∀y(Qy→Rxy) 1 U.I. 7. ∀y(Qy→Rxy) 5, 6 M.P. 8. ∃y¬Rxy∧Px 2 Com. 9. ∃y¬Rxy 8 Simp. 10. ¬Rxy 9 E.I. 11. ¬Rxy 9 10 E.I. 12. Qy→Rxy 7 U.I. 13. ¬Rxy→¬Qy 14. ¬Qy 11, 13 M.P. 15. ∃x¬Qx 14 E.G.

לא יכול להיות נכון, בגלל שיצאתי באופן לא חוקי מהדגמה ישית. נשאר לפי מופע חופשי של איקס ביציאה. אותו דבר עם וואי בשורה 11.

∴∃x¬Qx

ג. 1. ∀x(Px→(∃yRxy→∃zRzx)) 2. ∀x(∃zRzx→Rxx) 3. ¬∃xRxx 4. ∀x¬Rxx 3 Q.N. 5. ¬Rxx 4 U.I. 6. ∃zRzx→Rxx 2 U.I. 7. ¬Rxx→¬∃zRzx 6 Trans. 8. ¬∃zRzx 5,7 M.P. 9. Px→(∃yRxy→∃zRzx) 1 U.I. 10. Px C.P. 11. ∃yRxy→∃zRzx 9,10 M.P. 12. ¬∃zRzx→¬∃yRxy 11 Trans. 13. ¬∃yRxy 8,12 M.P. 14. ∀y¬Rxy 13 Q.N. 15. Px→∀y¬Rxy 10-14 C.P. 16. ∀x(Px→∀y¬Rxy) 15 U.G.

מאוד דומה לשל החוברת, נראה נכון. איפה שאין מקרים של הדגמה ישית, שלא הבנתי עד הסוף, אני בסדר.

∴∀x(Px→∀y¬Rxy)

סיכום ההסתייגויות: E.I. הדגמה ישית המשתנה שאנחנו בוחרים הוא ללא מופע חופשי בשורה קודמת כלל. בקופסאות לא נחשב. ואם הוא קבוע אז הוא חדש לגמרי.

יש גם כלל לגבי הפסוק שאנחנו מחלצים מההתניה לבסוף: הוא לא יכול לכלול מופע חופשי של המשתנה שהדגמנו באמצעות הכלל. ואו הוא קבוע, הוא קבוע חדש לגמרי. זה בעצם אותו התנאי כמו מה שאנחנו יכולים להדגים - אבל לשים לב שאפשר מופע חופשי בהצבה של ההוכחה המותנית עצמה, רק לא בסיום עצמו. אם רוצים - אפשר להשתמש בתוצאה של הכלל במשתנה חדש. אסור שיהיה מופע חופשי של המשתנה שהרכיב את הפסוק שהכלל מופעל עליו. מותר ליצור משתנה חדש בפלט של ההדגמה ולסיים במופע חופשי שלו.

U.I. הדגמה כללית המשתנה שנבחר יהיה חופשי בכל מקום שהוא קשור בצורה המקורית, ולא יקשר במקרה ע"י כמת שעדיין לא פורק

U.G. הכללה כוללת המשתנה שנבחר לא מופיע כחופשי באף הנחה - רגילה או מותנית כל עוד אנחנו בטווח של המותנית - אם יצאנו מהקופסה, הקופסה לא קיימת הוא צריך להיות גלגול של משתנה שהופיע קשור ע"י כמת כולל - בלי הגבלה על מס' הכללים שניתן להפעיל E.G. הכללה ישית - אין תנאים, כל עוד יש פרדיקט עם ערך

![[Pasted image 20250128191436.png]]

א. ∀y(Py→∃xPx)

• 1. Py C.P.
  2. ∃xPx 1 E.G.
• Py→∃xPx 1-2 C.P.
• ∀y(Py→∃xPx) 3 U.G.

נראה לי... כי ההנחות הראשונות בקופסה, והשורה השלישית היא כבר לא הנחה

נכון מאוד!

ב ∃x(Px∧Qx)→(∃xPx∧∃xQx) - 1. ∃x(Px∧Qx) C.P. 2. Px∧Qx 1 E.I. 3. Px∧Qx 1 2 E.I. 4. Qx∧Px 3 Comm. 5. Px 3 Simp. 6. Qx 4 Simp. 7. ∃xPx 5 E.G. 8. ∃xQx 6 E.G. 9. ∃xPx∧∃xQx 7,8 Conj. 10. ∃x(Px∧Qx)→(∃xPx∧∃xQx) 1-10 C.P.

כאן דווקא ההדגמה הישית לא הרסה לי הכל... החוברת עשתה מאוד מאוד דומה הטריק ללהדגים ישית זה פשוט להכניס משתנה חדש אם אפשר, כי אז זה לא נחשב שיש משתנה חופשי של המשתנה שסגרנו איתו את הקופסה.

ג. (∃xPx→∀yQy)↔∀x∀y(Px→Qy) - 1. ∃xPx→∀yQy C.P. 2. ∃xPx C.P. 3. ∀yQy 4. Qy 5. ∃xPx→Qy 6. ¬Qy→¬∃xPx 7. ¬Qy C.P. 8. ¬∃xPx 9. ∀x¬Px 10. ¬Px 11. ¬Qy→¬Px 7-10 C.P. 12. ¬¬Px→¬¬Qy 13. Px→Qy 14. ∀y(Px→Qy) 15. ∀x∀y(Px→Qy) 16. (∃xPx→∀yQy)→∀x∀y(Px→Qy) 1-15 C.P 17. ∀x∀y(Px→Qy) C.P. 18. ∀y(Px→Qy) 19. Px→Qy 20. Px C.P. 21. Qy 19,20 M.P. 22. ∀yQy 21 U.G. 23. Px→∀yQy 20-22 C.P. 24. ¬∀yQy→¬Px 25. ¬∀yQy C.P. 26. ¬Px 24,25 M.P. 27. ∀x¬Px U.G. 28. ¬∃xPx 27 Q.N. 29. ¬∀yQy→¬∃xPx 25-28 C.P. 30. ¬¬∃xPx→¬¬∀yQy 29 Trans. 31. ∃xPx→∀yQy 30 D.N. 32. ∀x∀y(Px→Qy)→(∃xPx→∀yQy) 17-32 C.P. 33. (∃xPx→∀yQy)↔∀x∀y(Px→Qy) 16, 32 Equiv.

לשים לב שהייתי צריך לסיים בקוניונקציה של ההתניות כדי להפעיל EQUIV דילגתי שלב, ז הבקטנה.

החוברת עשתה דומה לשלי, אבל חכם יותר - היא התחילה מלהציב כמת ישי עבור פי-אקס ורק אז חילצה את פי-אקס, וחסכה לעצמה ככה את כל המשחק עם השלילות