מבוא

מונח התקפות הוא החשוב ביותר בלוגיקה. טענה תקפה היא טענה שנובעת מההנחות.
נב"ך זו נוסחה בנויה כהלכה.
מושגים שתכף נכיר: תקפות דדוקטיבית, חוזק אינדוקטיבי.

הלוגיקה הצורנית אדישה לתוכן - ישנה גם לוגיקה שלוקחת אותו בחשבון, אך לא את זו לומדים.
הלוגיקה התחילה עם אריסטו ודי קפאה על שמריה עד המאה ה-19, כשגוטלוב פרגה פרסם את 'כתב מושגים' והתחיל את הלוגיקה המודרנית (לוגיקה אריסטוטלית תחשב היום לפרה-פרגיאנית במובן של פרה-מודרנית).
לוגיקה נגזר כמובן מלוגוס, שזה סדר חוקי עבור הרקליטוס, המילה עצמה ביוונית פשוטה, ובין היתר צורה (עבור הסוקרטים בעיקר).
הלוגיקה היא לא תורת ההיגיון! ללוגיקה אין דבר להגיד על המציאות של טענות - "אני אצמיח כנפיים" היא טענה לא הגיונית, אבל הלוגיקה רק יכולה להגיד שהיא לא סותרת את עצמה...
היא גם עשויה להוביל למסקנות שאינן מתיישבות עם ההיגיון - כמו למשל שעל דרך הסתירה ניתן להוכיח כל דבר.
לכן - מוטב להגיד שהלוגיקה היא חקר תקפותן של טענות, והקשרים שבין טענות.

מושאה של הלוגיקה הוא ההיבט הצורני של טיעונים, ובמיוחד טיעונים תקפים דדוקטיבית.
טיעון (ביחיד, זכר) = אוסף של טענות (בנקבה) שטענה נוספת נובעת מהן.
הדוגמה הקלסית: כל בן אדם הוא בן-תמותה, סוקרטס הוא בן-אדם > סוקרטס הוא בן תמותה.

מה היא טענה?
טענה, החלק המרכיב לבסוף טיעון, הוא כל משפט שאנחנו יכולים (או נדרשים) לקבוע לגביו אם הוא אמיתי או שקרי. במילים אחרות - טענה היא נשא אמת.
יש כמה גישות פילוסופיות לגבי 'נשא אמת':
1. יש הסבורים שנשא אמת הוא כל משפט חיווי (עם היא/הוא): "ברלין היא בירת גרמניה". (כן? לא?)
2. יש הסבורים שנשא אמת הוא משפט חיווי בתוך הקשר, שהרי ברלין היא בירת גרמניה כיום, אבל לא הייתה בעבר. עבורם נשא האמת הוא הקשר+משפט חיווי.
3. גישה אחרת סבורה שנשא-האמת הוא אובייקט פסיכולוגי, שהטענה המילולית רק מבטאת (בנפש שלנו יש אובייקט של 'אמת/שקר' ביחס למשהו
4. גישה נוספת סבורה שנשא האמת הוא אובייקט מופשט, שמהווה את התוכן של הטיעון הצורני ("ברלין היא בירת גרמניה" הוא משפט שהתוכן שלו הוא השאלה והפוטנציאל של "כן? לא?").
(עוד על זה בשני ספרים באותו שם - Philosophy of Logic, של putnam ושל haack).

עבורנו, הטענה עצמה או המשפט עצמו הם נשאי האמת, פשוט כי ככה הלוגיקה שנלמד בנויה.

לא נעסוק גם במה היא האמת - העיסוק בלוגיקה הוא בערך האמת. אנחנו לא בודקים אם טענה היא 'מאומתת', רק אם היא 'אמתית'. אם למשל, X יכול להיות או 30 או 50. ו-Y שווה ל-40. אפשר להגיד שאם X לא שווה 30, הוא גדול מ-Y. זה לא אומר שזה ככה - זה רק מצב שאפשר לכנס ל-'אמת/שקר'.
ישנן טענות תקפות שאי אפשר לאמת: "יש חייזרים" היא טענה שמתכנסת ל-'אמת/שקר' מבלי שנוכל להכריע את מציאותה כעת.
חידוד חשוב הוא שלטענה יש ערך אמת אחד בלבד! יש שתי אפשרויות באשר לערך האמת, אבל כמובן שיסוד החלוקה הוא בכך שהם מוציאים וממצים.
עוד חידוד מאוד חשוב הוא שלמשפט יש ערך אמת במובן של הכרעה בין 'אמת/שקר' רק ברגע שאנו מאמתים אותו, אך על מנת שיוכל להיות לו ערך אמת מוחלט (לוגי, ממצה ומוציא) - עליו להיות בנוי כך שמראש, בהכרח יש לו ערך אמת אחד בלבד. למשפט 'יש חייזרים' יש ערך אמת של 'אמת/שקר' בהכרח ובהווה, הוא פשוט אינו ידוע לנו ועל כן עשוי להיות כל אחת משתי האפשרויות.
(האפשרות 'שקר' היא ערך אמת, כמובן! אם ניתן לפסוק שקר, בעקיפין פסקנו אמת).

רק משפט שהוא קביעה, או שמוכרח להתכנס לערך אמת כלשהו הוא טענה.
שאלה כמו "האם יש חייזרים?" לא מזמינה שיפוט של אמת/שקר כחלק מהמשמעות שלה, היא לא טענה.
גם קביעות חסרות משמעות הן לא טענות: להגיד "בשמש השעה היא 7" זו לא טענה, כי אין משמעות למושג השעות שלנו על השמש, ולא ניתן לקבוע אמת/שקר באופן אמיתי.
ההחלטה אם לטענה יש משמעות היא תלוית הקשר! יכול להיות שהשמש היא מועדון בניו יורק...
(האם העניין הזה של משמעות רלוונטי ללוגיקה צורנית? כלומר שמתעלמת מהתוכן? נראה לי יותר נכון להגיד שאי אפשר להצרין טענה כזו, כי בטיעון הפורמלי הקשרים הם בעלי משמעות).

תרגיל א)
1. היום יום שישי - יכול להיות אמת או שקר בהתאם להקשר. יש ערך אמת.
2. היום יום שישי? - אין ערך אמת. למדנו, לשאלה אין ממהותה ערך אמת או שקר.
3. השולחן עגול - יש ערך אמת
4. שולחן עגול - אין ערך אמת (זו לא קביעה זה תיאור של אובייקט אפשרי).
5. השנה החלה אתמול בחצות - יש ערך אמת
6. אתמול בחצות כל אובייקט פיזיקלי גדל פי שניים - יש ערך אמת. אמנם נונסנס אבל בעל משמעות, ניתן לדמיין 'אמת' של זה.
7. בשנת 2,500 האנושות תיכחד - יש ערך אמת, אמנם לא ידוע לנו, אבל חייב להתכנס לאמת או לשקר.
8. האנושות בשנת 2,500 - דאנק, אבל אין ערך אמת
9. את! תסגרי את הדלת! - אין ערך אמת, זה ציווי
10. את תסגרי את הדלת - חייב להתכנס לאמת/שקר. יש ערך אמת.

//הכל נכון, אבל הייתה הערה ל-7 ששברה אותי מצחוק: אם הכל גדל פי-2, הרי שגם אמצעי המדידה גדלו פי 2, ולמעשה לא ניתן להבחין בשינוי כלל. אז הייתה מתקבל גם להגיד שזה חסר פשר ולכן חסר ערך אמת. כמה כיף להיות בחברת פילוסופים...

תקפות ונביעה לוגית:
1. טיעון הוא כאמור אוסף של טענות, כאשר אחת מהן נובעת לוגית לכאורה מהאחרות.
2. לטענה שאמורה לנבוע מהאחרות אנחנו קוראים 'מסקנה', בעוד שלאחרות אנחנו קוראים 'הנחות'.
3. המבנה המקובל הוא להציג את ההקדמות ומיד לאחריהן את המסקנה הנובעת מהן:
הנחה 1
הנחה 2
מסקנה מ-1+2

כך שאם יש כמה מהלכים בטיעון, זה יהיה:
הנחה 1
הנחה 2
מסקנה מ-1+2
הנחה 3
הנחה 4
מסקנה מ-3+4
וכן הלאה.

לרוב, אנחנו מקבלים משפט שכולל בתוכו הנחות ומסקנה, ולא רשימה לוגית שמפורקת עבורנו.

1. לא כל אוסף של טענות הוא טיעון! יכולה להיות פסקה שסתם מציינת עובדות, שמקיימות קשרים של השלמה ורלוונטיות הדדית, אבל לא נביעה לוגית.
2. לטיעון תקף יש מסקנה שנובעת לוגית מההנחות. אם המסקנה לא באמת נובעת מההנחות - הרי שהטיעון לא תקף.
3. את הנביעה אנחנו מגלים באמצעות מילים כמו "לכן-", "לפיכך-", מכאן מתחייב ש-" וכו'.
4. אבל אסור להתבלבל, שכן לפעמים אותן מילים מצביעות על קשר סיבתי, ולא על קשר של נביעה: טענה כמו "נפלתי ולכן נפצעתי" היא לא טענה של נביעה לוגית, אלא טענה על קשר סיבתי בין שתי עובדות.
   (תהיה הרחבה על זה, אבל מעניין לחשוב, מהו בעצם ההבדל? ל-"נפלתי ולכן נפצעתי" יש טבלת אמת, ולא ערך אמת - יתכן שנפלתי ושלא, ושנפצעתי או שלא, שלא לדבר על האם זה אכן היה בעקבות הנפילה או שלא. הלוגיקה יכולה לבטא את זה כקשר בין שתי טענות: אם נפלתי אז נפצעתי, אולי.)
   (אפשר להגיד "נפלתי ונפצעתי", אבל ערך האמת הוא באשר לעובדתיות הטענה, לא באשר לסיבתיות - יום מאשר).

תנאים לתקפות הטיעון:
1. התנאי המודלי:
מודאליות עניינה באפשרות או אי האפשרות, ובהכרחיות של טענות (מודאליות מלשון MODE אני מניח - כשערך האמת הוא בעצם ה-'מצב').
התנאי המודלי קובע שבטיעון תקף, אם כל ההנחות אמיתיות, המסקנה אמיתית בהכרח.
לא יתכן שכל ההנחות אמתיות אבל המסקנה לא.
*המושג המודאלי הוא חיצוני ללוגיקה הצורנית, וכללי יותר. במסגרת הלוגיקה הצורנית, חשוב התנאי הצורני.

מה שחשוב להבין הוא שבטיעון לא תקף, מנעד האפשרויות מבחינת טבלת האמת הוא כל האפשרויות - כל טענה יכולה להיות אמת או שקר.
לעומת זאת, בטיעון תקף - מצב אחד נפסל - המצב שבו כל ההנחות הן אמת אך המסקנה היא שקר.

*חידוד חשוב מאוד: נבחן את הטיעון הבא:
1. אריאל התחתן
2. אריאל לא התגרש
3. לכן אריאל אינו נשוי
במצב שבו כל הטענות הן אמת - לכאורה יש מצב שבו כל הטענות נכונות, גם ההנחות וגם המסקנה.
אבל! זה לא שלטיעון לא תקף אין את ערכי האמת של המצב ה-'תקף' בטבלה: העניין הוא שהם לא מתחייבים! יכול להיות מצב שבו ההנחות נכונות, אך המסקנה אינה נכונה (למשל: אריאל עדיין נשוי באושר...). לכן זה ביטוי 'כמו-תקף' של טיעון שאינו תקף.

באותו אופן:
1. בנימין התחתן
2. בנימין התגרש
3. לכן בנימין גרוש
הוא טיעון שיכול להיות 1. אמת; 2. אמת; 3. שקר (מה אם בנימין התחתן בשנית?) זו היא הצורה שביטוי תקף אינו יכול לקבל - המסקנה אינה נובעת מההנחות.

במצב שבו כל הטענות שקריות, טיעון תקף הוא זה שמתחייבת ממנו מסקנה שקרית? על פניו לא - להגיד שאם X אז Y לא אומר שלא יכול להיות Y בלי X, אלא אם ההתניה מנוסחת כך.
בחוברת נראה שכן - רק אם השקריות של המסקנה מתחייבת מהשקריות של הטענות, מדובר בטיעון תקף.

*בעצם, אין משמעות למצב העניינים הנתון ביחס לבחינה של טיעון תקף - יש לבדוק האם יכול להיות המצב שפוסל טיעון, שבו ההקדמות נכונות והמסקנה לא.
במצב עניינים של "כל הטענות שקר",
את הטיעון:
1. אריאל התגרש
2. אריאל לא התאלמן
3. לכן אריאל רווק
לא בוחנים כ
1. אריאל לא התגרש
2. אריאל התאלמן
3. אריאל רווק
אלא פשוט בודקים האם יכול להיות מצב של 1. אמת; 2. אמת; 3 שקר:
1. אריאל התגרש
2. אריאל לא התאלמן
האם מתחייב ש-3. אריאל רווק? לא - יתכן שהתחתן בשנית.
לכן, אי-תקפות זו היא שמשליכה על התקפות של מצב העניינים הנתון: אם אריאל לא התגרש וכן התאלמן, לא יתכן כלל שהוא רווק!

• בהמשך לתהיה שלי, הנה עניין מעניין: יכול להיות טיעון תקף, שההקדמות שלו הן שקר והמסקנה אמת - אז כאמור, ההתניה היא ש-Y יכול להיות באופן עצמאי, גם כאשר "אם X אז Y" לא מתקיים.
• ושוב, לכן יש לבדוק את התקפות לפי המצב של "כל הטענות תקפות".
בטיעון: 1. אריאל רווק; 2. אריאל לא התחתן; 3. לכן אריאל לא נשוי - יכול להיות שהוא לא רווק, כן התחתן, אבל בכל זאת לא נשוי (למשל, התאלמן). עם זאת, לא יכול להיות שהוא כן רווק, מעולם לא התחתן, אבל כן נשוי...).

*עוד אמת מובנית של התנאי המודאלי: אם המסקנה שקרית, לפחות אחת מההנחות שקרית. כלומר, יכול להיות ש-"אם X אז Y", וש-Y יכול להיות גם כש-X איננו. אבל! אם Y שקרי, לא יתכן ש-X אמיתי.
לחדד: במצב של "X ולכן Y", יכול להיות ש-Y הוא אמת ו-X הוא שקר. אבל לא יכול להיות מצב שבו Y הוא שקר בעוד ש-X הוא אמת... אם כל ההנחות הן אמת - המסקנה היא בהכרח אמת.

כל הרעיון בתרגיל טבלת האמת אכן היה להראות שאין משמעות לערכים הנתונים! על מנת לבדוק את תקפות הטיעון - רק צריך להעמיד אותו במבחן של "האם יכול להיות שכל ההנחות הן אמת אך המסקנה היא שקר".
יש לשים לב שבטענה כמו "צ'יקו הוא ילד, כל בן אדם הוא טוב מטבעו, לכן צ'יקו טוב מטבעו", אנחנו מניחים מראש את הידיעה שילד הוא אדם. כמו שבדוגמאות הסטטוס המשפחתי, אנחנו מניחים מראש את הידיעה שלאחר החתונה לא ניתן להיות רווקים שוב, אלא רק גרושים, אלמנים או נשואים. לכן - אלה אינם טיעונים צורניים, אלא טיעונים שמתייחסים הן לתוכן שלהם. וזה גם עונה לשאלה: כיצד יכולה להיות לוגיקה שמתייחסת לתוכן. את הלוגיקה ניתן "להבנות" בהתאם לעולמות תוכן שונים, אם הכללים שלהם ניתנים לביטוי באמצעים צורניים.

תרגיל ב -
א. לא נכון
ב. נכון
ג. לא נכון
ד. לא נכון
ה. מעניין. אם שתי ההנחות סותרות - לא יתכן מצב שבו שתיהן אמת, ועל כן לא יתכן ששתיהן אמת והמסקנה היא שקר. אבל, בו זמנית, לא ניתן שהמסקנה תנבע מהן לוגית, היא חייבת בהכרח להיות שקרית. למעשה, למסקנה אין ערך אמת במצב הזה - היא שקרית בהכרח בכל מצב.
//החוברת אומרת שה. זה נכון. בקיצור, זו לוגיקה, לא לחשוב מחוץ לקופסה - זה עונה על הקריטריון כמו שאמרתי, אז זה נכון.

התנאי המודלי לבדו אינו מספיק במסגרת הלוגיקה הצורנית.
על מנת שטיעון יהיה תקף מבחינת הלוגיקה הצורנית, עליו לקיים גם את התנאי המודלי וגם את התנאי הצורני:

~התנאי הצורני:
התנאי הצורני מתקיים כאשר לא יתכן מצב בו כל ההנחות תקפות והמסקנה שקרית, ובכל טיעון בעל אותה צורה לא יכול להיות מצב עניינים כזה.
הטיעון "כל A הוא B, כל B הוא C, לכן כל A הוא C" נכון בלי קשר למשמעות הביטויים.
זאת בניגוד לטיעון "צ'יקו הוא ילד, כל אדם הוא טוב מטבעו, צ'יקו טוב מטבעו":
אמנם, בשני המקרים התנאי הוא שהמסקנה תתחייב מההנחות.
עם זאת, בדוגמה המודאלית, התקפות תלויה במשמעות המושגים "ילד" ו-"בן אדם", ואינה מתחייבת בלי ההנחה שמתקיימת מחוץ לטיעון, לפיה ילד הוא בן אדם.
לכן, הטיעון תקף מודאלית, אך לא תקף צורנית - אין כאן מבנה הכרחי של נביעה לוגית בהתעלם מהתוכן.

כך אפשר לחשוף טיעון לא תקף (צורנית) שכל הטענות בו אמתיות: נציב משתנים במקום התוכן, ונבדוק אם הוא תקף בהתעלם מהתוכן.
הטיעון "כל אדם הוא יונק, כל אדם נושם, לכן כל היונקים נושמים"
מוצרן כ-"כל A הוא B, כל A הוא C, לכן כל B הוא C".
ניתן לראות שזה לא נכון צורנית, אך אפשר להוכיח על דרך ההצבה של תוכן אחר שאינו נכון:
"כל ילד הוא אדם, כל ילד הוא צעיר, כל אדם הוא צעיר".

תרגיל ג:
כל המצבים אפשריים למעט זה שבו ההנחות אמתיות והמסקנה לא, מאחר שזה טיעון תקף:
נציב:
1. אפשר ש-1 נכון, 2 נכון, ולכן המסקנה נכונה.
"כל גבר אינו אישה
יש גבר שהוא גמד
לכן יש גמד שאינו אישה"
2. אפשר ש-1 נכון, 2 לא נכון, והמסקנה נכונה
"כל אדם אינו מבנה
יש אדם שהוא חפץ
לכן, יש חפץ שאינו מבנה"
3. אפשר ש-1 נכון, 2 לא נכון, והמסקנה לא נכונה
"כל אדם אינו חפץ
יש אדם שהוא מבנה
לכן, יש מבנה שאינו חפץ"
4. אפשר ש-1 לא נכון, 2 נכון, והמסקנה נכונה
"כל חפץ אינו מבנה
יש חפצים יפים
לכן ישנם דברים יפים שאינם מבנים".
5. אפשר ש-1 לא נכון, 2 נכון, והמסקנה לא נכונה
"כל מבנה אינו גבוה
יש מבנים שהם גורדי שחקים
לכן יש גורדי שחקים שאינם גבוהים"
6. אפשר ש-1 ו-2 לא נכונים, והמסקנה נכונה
"כל מבנה אינו גבוה
יש מבנים שהם מזון
לכן, יש מזון שאינו גבוה".
7. אפשר ש-1 ו-2 לא נכונים, והמסקנה לא נכונה
"כל מבנה אינו חומרי
יש מבנים שהם מזון
לכן, יש מזון שאינו חומרי"

וסתם בדיקה של האפשרות שאין:
8. "כל מבנה אינו בעל חיים
יש מבנים שהם טירות
לכן, יש טירה שאינה בעל חיים
(לא ממש מצליח לעשות שיהיה לא נכון, קסם).

ב.
כל A אינו B
יש A שהוא C
לכן יש B שהוא C
(A לעולם לא שווה B, לפעמים שווה C. האם יש B שהוא C? יכול להיות, איפה ש-A אינו C. אבל זה לא נובע לוגית, לא מתחייב).
מן הסתם, יש 8 אפשרויות - בוא רק נוכיח את המצב הלא-תקף:
"כל מבנה אינו בעל חיים (אמת)
יש מבנים שהם טירות (אמת)
לכן יש בעל חיים שהוא טירה (שקר).

לעומת הטיעון הקודם:
"כל מבנה אינו בעל חיים (אמת)
יש מבנים שהם טירות (אמת)
לכן, יש טירה שאינה בעל חיים" (אמת).

~ הוכחה על שיטת ההצבה יכולה להוכיח בקלות אי תקפות - להראות מצב של "אמת אמת > שקר" שהולם את המבנה הצורני של הטיעון.
אבל איך נוכיח כך תקפות? כלומר שאין תוכן אפשרי לטיעון שיפר את התקפות?
-אי אפשר באמצעות הצבה. יש שיטות אריסטוטליות שתקפות לחלק מתחום הדיון, ושיטות מודרניות לחלקים אחרים. נלמד בהמשך.
בקיצור, ההצבה לא יכולה להוכיח שהטיעון תקף, רק שהוא לא תקף.

עוד טיעון לניסיון:
1. יש כדורגלן שהוא בוגר אוניברסיטה
2. יש בוגר אוניברסיטה שהוא פוליטיקאי
3. לכן יש כדורגלן שהוא פוליטיקאי
על פניו הכל נכון.
ראשית, נצרין:
1. יש A שהוא B
2. יש B שהוא C
3. לכן יש A שהוא C
-ברמה הצורנית האינטואיטיבית: אם יש A שהוא B, ויש B שהוא C - זה לא מחייב שיהיה A שהוא C. יכול להיות שחלקים שונים של B הם A ו-C בהתאמה. ניתן רק להגיד שיתכן שיש A שהוא C.
נדגים את אי התקפות באמצעות הצבה:
1. יש לוחם שהוא אקדמאי
2. יש אקדמאי שהוא פציפיסט מוחלט
3. יש לוחם שהוא פציפיסט מוחלט
כמו שניתן לראות, התנאי הצורני לא מתקיים.
(בעצם, כאשר ללוגיקה יש תוכן, זוהי לוגיקה מודלית? נראה שהתנאי המודלי שופט אם הטיעון תקף ביחס לתוכן הנתון, והתנאי הצורני שופט אם הוא תקף מודלית ביחס לכל תוכן אפשרי).

עוד אחד:
1. כל חלק מחשב אינו בעל חיים
2. יש בעל חיים שהוא עכבר
3. לכן יש חלק מחשב שאינו עכבר
נצרין:
1. כל A הוא לא B
2. יש B שהוא C
3. לכן, יש A שאינו C
ברמה הפשוטה: A לעולם אינו שווה ל-B. חלקים מ-B שווים ל-C. האם יש A שאינו C? כן, בהכרח, כי אם כל A היה C, לפחות חלקים ממנו היו שווים ל-B. (אני טועה פה).
בוא ננסה את ההצבה:
1. כל אדם הוא לא קוף
2. יש קוף שהוא חיה
3. לכן, יש אדם שהוא לא חיה
//כמו שניתן לראות, ההצבה הוכיחה אותי על טעותי!!! יתכן מצב שבו A מנותק לגמרי מ-B, אבל מוכל לגמרי בתוך C, בחלקים שאינם נכללים ב-B בלבד. כלומר, הטיעון לא נובע לוגית, אינו תקף צורנית.
(עיגול גדול C, בחלק ממנו תחום A, חלק אחר חופף עם B).

עוד אחד:
1. הדולפין אינו דג
2. דג אינו חיה יבשתית
3. לכן הדולפין אינו חיה יבשתית
הצרנה:
1. A אינו B
2. B אינו C
3. לכן A אינו C
//כאן די פשוט לראות שהטיעון אינו תקף: יכול להיות שA הוא לא B, ו-B הוא לא C, אבל A הוא C לחלוטין.
על דרך ההצבה:
1. המחשב אינו בעל חיים
2. בעלי חיים אינם חפצים
3. המחשב אינו חפץ...

תרגיל ד)
א.
1. כל נמר הוא יונק
2. יש יונקים ההולכים על 4
3. לכן כל נמר הולך על ארבע
צורני:
1. כל A הוא B
2. יש B שהוא C
3. לכן כל A הוא C
//בפשטות: לא תקף. כל A הוא B, וחלק מ-B הוא C - אבל זה לא אומר שכל A הוא C, כפי שלא כל B הוא C.
(A עשוי להתקיים בתוך B, רק איפה ש-B דווקא אינו C).
הוכחת אי-תקפות:
1. כל ילד הוא אדם
2. יש אדם שהוא לוחם
3. לכן, כל ילד הוא לוחם

ב.
1. כל דג נושם חמצן
2. כל דג הוא יצור חי
3. לכן כל נושם-חמצן הוא יצור חי
הצרנה:
כל A הוא B
כל A הוא C
לכן כל B הוא C
//בפשטות: לא נכון. מתקיימת חפיפה בין B ל-C שהיא כלל השטח של A, אבל אין מניעה שיהיו להם חלקים החורגים מ-A שאינם חופפים.
הוכחה באמצעות הצבה:
1. כל אריה הוא טורף
2. כל אריה הוא יונק
3. כל טורף הוא יונק

ג.
1. יש נחשים שהם יצורים מסוכנים
2. יש יצורים מסוכנים שאינם בעלי רגליים
לכן: כל הנחשים אינם בעלי רגליים
הצרנה:
1. יש A שהוא B
2. יש B שאינו C
3. לכן: כל A אינו C
בפשטות: לא תקף... יש חלקים של B שאינם C, אבל A עשוי לחפוף ל-C בכל מיני חלקים, גם באלה שהם כן C. בנוסף, הוא יכול לחפוף ל-C מבלי לגעת ב-B.
הצבה:
1. יש גמל שהוא יונק
2. יש יונק שאינו מבוית
3. לכן: כל הגמלים אינם מבויתים

ואחרון:
1. כל בני האדם הם בני תמותה
2. כל היוונים הם בני תמותה
3. יש בני אדם שאינם יוונים
צורנית:
1. כל A הוא B
2. כל C הוא B
3. יש A שהוא לא C
לא תקף. A ו-C נכללים לחלוטין ב-B. יכול להיות שהם חופפים באופן חלקי או מלא, ויכול להיות שהם לא - זה לא מתחייב מההנחות.
על דרך ההצבה:
1. כל אדם הוא בעל חיים
2. כל יונק הוא בעל חיים
3. יש אדם שאינו יונק

לוגיקה צורנית: תחום הדיון

למדנו לבחון תקפות, באמצעות התנאי המודאלי והתנאי הצורני.
כעת נלמד להבחין בין תקפות לחוזק.
תקפות היא תכונה דדוקטיבית, בעוד חוזק היא תכונה אינדוקטיבית.
אינדוקציה = דברים שונים בפסיכואנליזה, מתמטיקה, ביולוגיה, אלקטרוניקה וכו'. הן בלוגיקה יש לה מובן ייחודי.
טעות נפוצה היא לראות בדדוקציה הסקה מכלל לפרט, ובאינדוקציה את ההפך - זה לא בדיוק נכון.

ההבדלים בין אינדוקציה לדדוקציה מתקיימים בין טיעון תקף (דדוקטיבית) לטיעון חזק (אינדוקטיבית)
(ואני מניח שלא מתקיימים בין טיעון לא תקף לטיעון חלש... צריך ביטוי חיובי של התכונה בקיצור).

"כל הסטודנטים לובשים מכנסי ג'ינס, דליה היא סטודנטית, לכן דליה לובשת מכנסי ג'ינס".
החוברת מציינת בצדק שמדובר בטיעון תקף דדוקטיבית - כלומר בטיעון תקף, המסקנה נובעת בהכרח מההנחות.
אם נחליף את המילה "כל" ב-"רוב", הרי שהטיעון יהיה חזק אינדוקטיבית - רוב הסיכויים שדליה לובשת מכנסי ג'ינס, אבל יתכן שהיא מהמיעוט שלא.
אני חושב שהחוברת מתכוונת לעניין עמוק מזה: יכול להיות שכל הסטודנטים לובשים מכנסי ג'ינס, אבל דליה היא סטודנטית, וכל הסטודנטיות בכלל לובשות חצאיות.
כנראה שבמציאות, יותר סביר שלטיעון יהיה חוזק אינדוקטיבי...

++הבדל ראשון בין אינדוקטיביות לדדוקטיביות:
*בטיעון תקף (בלבד) מבחינה דדוקטיבית - המסקנה נובעת בהכרח מההנחות.
לא יתכן שהיא שגויה והן כולן נכונות.

בטיעון חזק אינדוקטיבית, זה לא הכרחי שהמסקנה תנבע מההקדמות, אך ניתן לשער בסבירות גבוהה שכך הדבר.
(אם רוב הסטודנטים לובשים ג'ינס ודליה היא סטודנטית, רוב הסיכויים שהיא לובשת ג'ינס).
ב-Philosophy of Logics, סוזן האקס טוענת שצריך להגדיר את הטיעון מראש כדדוקטיבי או אינדוקטיבי. החוברת טוענת שנוותר על הטענה הזו, כי לעתים יש טיעון שאינו תקף דדוקטיבית אך יש לו חוזק אינדוקטיבי.
(אני מניח שהיא מתכוונת שאין טעם בחוזק אינדוקטיבי כשאתה בא לטעון דדוקטיבית - אבל באמת, בוא נניח לזה...).

*חידוד חשוב - "לכן" הוא לא חלק מהטיעון הדדוקטיבי הפורמלי, כמו ש-"לכן סביר ש-" הוא לא חלק מהטיעון האינדוקטיבי הפורמלי. זו תוספת למען הבהרה.

++הבדל שני בין אינדוקטיביות לדדוקטיביות: מונוטוניות -
משמעות המונח מונוטוניות הוא שהוספה של הנחות לא תפגע בנביעה המקורית של המסקנה מההנחות הראשוניות.
המונוטוניות מתקיימת בטיעון דדוקטיבי תקף:
כל סטודנט לובש ג'ינס
דליה סטודנטית
(+ דליה לא ממש אוהבת ג'ינס)
(+ היה יום חם במיוחד)
(+ דליה שונאת את האוני')
(וכו' וכו')
עדיין נובע > דליה לובשת ג'ינס

אך אינה מתקיימת בטיעון אינדוקטיבי חזק:
רוב הסטודנטים לובשים ג'ינס
דליה סטודנטית
(+ דליה לא ממש אוהבת ג'ינס)
(+ היה יום חם במיוחד)
(+ דליה שונאת את האוני')

לפתע, חוזק הטענה האינדוקטיבית נפגע. נראה יותר סביר שדליה תהיה מהמיעוט שנמנע מג'ינס.

(בעצם, אנחנו לא מגדירים מראש טיעון כאינדוקטיבי או דדוקטיבי, אלא בוחנים תקפות מבחינה דדוקטיבית וחוזק מבחינה אינדוקטיבית - לכן יותר נכון להגיד שהנביעה הדדוקטיבית היא מונוטונית, בעוד שהחוזק האינדוקטיבי איננו).

שאלות מחשבה:
1. אפשר להפוך טיעון חזק לטיעון תקף באמצעות הוספת הנחות:
+ רוב הסטודנטים לובשים ג'ינס
+ דליה היא סטודנטית
+ דליה תמיד מתלבשת כמו רוב הסטודנטים
+ לכן דליה לובשת ג'ינס.
2. אי אפשר להפוך טיעון דדוקטיבי תקף לטיעון חזק אינדוקטיבית באמצעות הוספת הנחות, כי התקפות הדדוקטיבית שלו היא בגדר חוזק אינדוקטיבי מקסימלי, והנחות נוספות אף לא יכולות לגרוע מהנביעה הדדוקטיבית של הטיעון, מאחר שטיעון דדוקטיבי תקף הוא מונוטוני.

גם ב-Philosophy of Logics של סוזן האקס, היא טוענת כמוני, שתקפות היא מקרה קיצון של חוזק. החוברת מציגה עמדה אחרת, שאני דווקא נוטה לתמוך בה: אם נקבל את הטענה, הרי שישנם טיעונים חזקים, שהחוזק שלהם מונוטוני. עובדה זו תשלול את המונוטוניות כקריטריון להבחנה בין תוקף דדוקטיבי וחוזק אינדוקטיבי - החוזק האינדוקטיבי של התוקף הדדוקטיבי יהיה למונוטוני.
האם אי אפשר להגיד שכל תקפות היא מונוטונית, בעוד שרק חוזק מירבי (תקפות) הוא מונוטוני, ושאר המקרים של החוזק אינם כך?
לא יודע, אבל החוברת מבקשת לשמר את הקריטריון ולכן במסגרת הקורס *טיעון תקף אינו טיעון חזק - אלה שני דברים שונים. (אני יכול לקבל את זה אבל אז באמת צריך להבדיל מראש בין טיעון דדוקטיבי לטיעון אינדוקטיבי, או לפחות לטעון שאלה שני היבטים נפרדים של הטיעון, כאשר אנחנו בוחרים איזה אחד לבחון).

חידוד חשוב לגבי מונוטוניות: אפשר להוסיף מסקנה *שקרית לטיעון התקף ולקבל מצב חדש, שבו רק חלק מההנחות תקפות, ולכן המסקנה אינה מתחייבת. הכוונה היא שלא ניתן לפגוע בתקפות באמצעות הוספה של טענות נכונות, כאשר המקוריות נכונות.
למשל:
1. כל אדם הוא יונק
2. כל יונק הוא חיה
3. כל אדם הוא חיה
אפשר לפגוע כך:
1. כל אדם הוא יונק
2. כל יונק הוא חיה
3. יש אדם שהוא מחשב
4. כל אדם הוא חיה
מאחר ש-3 ו-(1+2) סותרים זה את זה. הם לא יכולים להיות אמת בו-זמנית, לכן ההנחות לא יכולות להיות כולן אמתיות, לכן אין נביעה דדוקטיבית יותר.

*חידוד מעניין: טיעון דדוקטיבי הוא תקף תמיד. טיעון אינדוקטיבי הוא תלוי הקשר.
בואו נחזור לדינה:
רוב הסטודנטים בג'ינס
דינה סטודנטית
דינה לובשת ג'ינס
על פניו זה טיעון חזק. אבל מה אם נחליף את דינה ב-'בת ציון'?
כעת נתהה האם בת ציון היא דתיה מאמינה. נחשוב על המציאות שלנו. יכול להיות שבמציאות אחרת, היה ברור שלו קוראים לדינה "בת ציון", היא מאמינה הדוקה ולא לובשת מכנסיים.
בעולם שבו נשים לא לובשות מכנסיים, היה ברור לנו שרלוונטית כאן הבדלה בין "סטודנטים" ו-"סטודנטיות", וכן הלאה.

דיוויד יום הגה לראשונה את 'בעיית האינדוקציה' - שאומרת שלעולם לא ניתן להוכיח את החוזק של טיעון אינדוקטיבי, לא באמצעים תבוניים ולא באמצעים אמפיריים.
(כשיום אומר שראיתי 100 פעם את המים רותחים באלף מעלות, אבל לא בטוח שירתחו כך שוב - לזה הוא מתכוון).

הקורס שלנו עוסק רק בלוגיקה פורמלית דדוקטיבית, ובבחינת תוקפם הדדוקטיבי של טיעונים.
החוברת מעירה שמצבה של הלוגיקה האינדוקטיבית הוא לא מזהיר:
ב-1843, מיל פירסם את "A System of Logic", שבו ניסה לראשונה ליצור תאוריה שיטתית של לוגיקה אינדוקטיבית.
ב-1940~, כחלק מהחוג הוינאי (פוזיטיביזם לוגי), רודולף קרנאפ פרסם את 'Logical foundations of probability" ואת 'The continumm of inductive methods' וניסה לבסס עוד את התאוריה של הלוגיקה האינדוקטיבית.
ב-1946~ פרסם נלסון גודמן (שאני מכיר מהקורס באסתטיקה! פרגמטיזם אמריקאי וכו') את A query on Confirmation ואת Fact, Fiction, Forecast, בהם הציג את "חידת האינדוקציה החדשה" - מקובל להסכים שהוא הראה כי הצורה הכללית של טיעונים חזקים וחלשים מבחינה אינדוקטיבית היא זהה, לכן לוגיקה אינדוקטיביצ צורנית טהורה היא בלתי אפשרית.

ההבדל בין טיעון לוגי לטיעון סיבתי:
קשור למשמעות של מילות הקישור, שהיא מבלבלת.
כשנכתב "לכן", איך אנחנו יודעים אם מדובר בקשר לוגי או בקשר סיבתי?
"המחשב שלי התקלקל ולכן לא הצלחתי להפעילו" -
אם זה קשר לוגי, לא הצלחתי להפעיל את המחשב בהכרח, כי אמת שהוא התקלקל. אבל זו לא חייבת להיות הסיבה כמו שזה תנאי.
אם זה קשר סיבתי, לא הצלחתי להפעיל את המחשב משום שהתקלקל, אבל זה לא חייב להיות הכרחי.

נחזור לדוגמה של דליה: כל הסטודנטים לובשים ג'ינס, היא סטודנטית, לכן היא לובשת ג'ינס.
מדובר כמובן בקשר לוגי - "במצב רגיל" הסיבה לכך שדליה לובשת ג'ינס היא אינה ההקדמות.
(במצב מיוחד, שבו יש דרישה מכל מי שסטודנט ללבוש ג'ינס - הרי שזה משפט שמתאר הן קשר סיבתי הן קשר לוגי).

בכל אופן, הסיבה שסיבתיות אינה לוגית בסופו של דבר היא שזו דורשת בדיקה של עובדות בעולם. האם A אכן גרם ל-B? מה אם מדובר בקורלציה שאינה סיבתיות? מה אם אנחנו טועים בכך? בלוגיקה, מספיק לנו להציב קשר הכרחי בין A ל-B, שמתבטא באופן צורני בהתעלם מהתוכן.

הדרך הכי טובה להסביר מדוע סיבתיות היא לא טיעון לוגי, היא להצרין את הטענה:
1. המחשב שלי התקלקל
2. לכן לא יכולתי להדליק אותו
זה בעצם "A, לכן B".
כלומר, אפשר להציב כל שתי טענות במבנה הצורני של הטיעון, כך שמובן שאיננו תקף.
כטיעון, יש להגיד:
1. אם אני לא יכול להדליק את המחשב, זה כי הוא התקלקל
2. אני לא יכול להדליק את המחשב
3. לכן הוא התקלקל
או אפילו 1. אני לא יכול להדליק את המחשב; 2. מחשב שלא נדלק הוא מקולקל; 3. לכן המחשב שלי מקולקל.
בכל הצגה כזו של הטיעון, אנחנו מוסיפים לו משמעות שלא קיימת בניסוח המקורי: את הידיעה הוודאית שמחשב שאינו נדלק הוא מקולקל.
הטענה המקורית הרי רק טוענת שהמחשב מקולקל, שאני לא יכול להדליק אותו, ושיש קשר סיבתי בין שני הדברים (היא לא כוללת את הקביעה שמחשב מקולקל בהכרח לעולם אינו נדלק, אפשר להציע שאני לא יודע איך להדליק את המחשב, שהמחשב התקלקל אך ניתן להדליק אותו באופן מוגבל, וכו').

(*בקיצור, כל טיעון סיבתי הוא במבנה של "A לכן B", מבלי שיש לנו טענה נוספת לבסס עליה את המסקנה. כלומר, כל טענה סיבתית היא מראש טיעון שאינו תקף. במקום להיות נשא-אמת פשוט.).

תרגיל ה)
א. ידע שור קונהו וחמור אבוס בעליו -
(אבוס הוא המקום בו מאכילים את החמור - בקיצור, כל אחד יודע מי הדדי שלו).
יש לנו כאן שתי טענות:
1. שור יודע מי בעליו
2. חמור יודע מי/היכן מאכילים אותו
חסרה לנו מסקנה... לחילופין אפשר לטעון שזו סיבתיות מרומזת: "בגלל ששור יודע מי קונהו, חמור מכיר את אבוס בעליו". זהו לא טיעון.

ב. מדובר בסיבתיות, לא בטיעון:
1. לא קידשתם אותי כמו שצריך
2. לכן לא תיכנסו לארץ ישראל

ג.
1. כל העורבים שחורים
2. ישנם דברים שאינם שחורים
3. לכן, מה שלא שחור אינו עורב
הצרנה:
1. כל A הוא B
2. ישנם מקרים שאינם B
3. לכן, מה שלא B הוא לא A.
(האם אפשר לבנות את הטיעון בשני משפטים? כל A הוא B, לכן מה שאינו B אינו A?).

ד. כמובן שזה סיבתי בלבד - עזבתם אותי, לכן לא אנסה להושיע אתכם
ה.
1. לכל הדגים יש זימים
2. לדולפין אין זימים
3. לכן הדולפין אינו דג
זהו טיעון תקף כמובן. אם 1&2 נכונים, 3 נכון בהכרח:
1. כל A הוא B
2. C הוא לא B
3. לכן, C הוא לא A.

ו.
1. רוב הפוליטיקאים ישרים
2. ידידנו הוא פוליטיקאי
3. לכן ידידנו הוא אדם ישר
או:
1. רוב A הם B
2. C הוא A
3. לכן C הוא B
זהו לא טיעון תקף דדוקטיבית, אבל זה כן טיעון חזק אינדוקטיבית.
//החוברת פשוט טוענת שזה טיעון. כלומר, לפני שאנחנו בודקים אם הוא תקף דדוקטיבית או חזק אינדוקטיבית - יש לראות שמדובר בטיעון באופן כללי (בהתאם לכך שאין טיעון "דדוקטיבי" או "אינדוקטיבי").

ז.
סיבתי, לא טיעון.

ח.
1. אדמית מהירה מבטי
2. בטי מהירה מגבריאלה
3. אדמית מהירה מגבריאלה
או:
1. A הוא B
2. B הוא C
3. לכן A הוא C.
המשפט לא מובא כטענה, אלא כרצף של שלוש עובדות (ללא מילה המתארת נביעה לוגית).
עם זאת, ניתן למצוא קשר לוגי בין הטענות, בצורה של טיעון דדוקטיבי תקף.
האם זה נחשב טיעון? שרירותי, נשאל את החוברת.
//החוברת בהחלט טוענת שזה לא טיעון, מאחר שאין התיימרות להציג נביעה לוגית.
//מה למדנו? שעל מנת שמשפט יציג טיעון, עליו לכלול "מסמן מסקנה" ו-"מסמן הנחה", כלומר מילים שרומזות שהכוונה היא להביע טיעון.
//ושניתן להציג רצף של עובדות שאמנם ניתן לזהות ביניהן נביעה לוגית, אך לא מתוך הנביעה הלוגית אלא פשוט מתוך ציון של עובדות עצמאיות (ואז, זה לא טיעון).

ט. סיבתי, לא טיעון
י.
1. כל הדובים שראיתי הם שמנים
2. פדינגטון הוא דוב
3. לכן, סביר שפדיגטון שמן
הייתי אומר שזה טיעון שאינו תקף דדוקטיבית, וכוחו האינדוקטיבי תלוי בכמות הדובים שמוסכם כי הדובר ראה.

~ טיעונים פשוטים ומורכבים:
אז הגדרנו טיעון כאוסף של טענות, שאחת מהן אמורה לנבוע לוגית מהשאר.
כלומר, לטיעון יש לפחות טענה אחת, ומסקנה אחת בלבד.
*יש מקרה גבולי אחד שאפשר לטעון בו למסקנה שאינה דורשת טענות - נגיע לזה - לא קונצנזוס שזה כך.
(הרעיון שלי: "אין לי טענות").

• כמובן, זה מיד מעורר תמיהה לקבוע שלטיעון יש מסקנה אחת. זהו המצב ב-'טיעון פשוט'.
• 'טיעון מורכב' עשוי לכלול מספר טענות, שבתורן משמשות כהנחות בטיעונים נוספים.
• יש גם אמצעים לוגיים מיוחדים לטיעונים מורכבים, אבל לזה נגיע בהמשך.
• הסוגים של הטיעונים המורכבים הם: 1) שרשרת, 2) מניפה;

-טיעוני שרשרת:-
טיעון המורכב ממספר טיעונים פשוטים יותר, כאשר המסקנה של כל אחד משמשת כהנחה לקראת המסקנה הבאה.
עובדים עם דוגמה די מורכבת (מוצרנת מתוך טקסט רגיל):
1. אנשים ציניים בצורה קיצונית סובלים מרגשי נחיתות
2. ציניות קיצונית היא צורה של עוינות בלתי מוצדקת
3. עוינות בלתי מוצדקת היא תוצאה של רגשי נחיתות
4. ציניות קיצונית היא ניסיון לפגוע בביטחון העצמי של פלוני
5. רצון לפגוע בביטחון העצמי של פלוני, הוא סוג של עוינות בלתי מוצדקת.
בוא ננסה להצרין את זה:
1. A הוא B
2. A הוא C
3. B הוא C

1. A הוא D
2. D הוא C

אבל הטקסט מציג לנו את 1) כמסקנה, אז נסדר מחדש, ונסיים ב-1:

1. A הוא C
2. B הוא C
3. A הוא D
4. D הוא C
5. לכן, A הוא B

כך, ניתן לראות שהסדר הנכון לטיעון השרשרת הוא דווקא:
4+5
לכן, 2 = A הוא C
2+3
לכן, 6 = A הוא B.

//לא יודע אם הייתי מצליח במשימה כזו במבחן, כי נראה שאפשר להביע את הטיעון מכל מיני כיוונים - מי אמר שצריך לנמק את המסקנה אבל לא את שאר ההנחות?
//החוברת מסבירה: הטקסט מבהיר טוב ש-1 היא המסקנה. זה נכון. היא לכאורה מנומקת ב-2+3 בלבד. גם פה אני צודק. אבל, מה היחס של 4+5 לטענה? נטו לחזק את טענה 2, שמרכיבה בתורה את 2+3. לכן, אם אני צריך להוציא מזה שרשרת, זה ברור שיש מסקנה, יש את הטענות שמבססות אותה, ויש טענות נוספות שנועדו לבסס אותן.

-טיעוני מניפה:-
מדובר במספר טיעונים פשוטים, המובילים כל אחד אל המסקנה האחת.
דוגמה מהטקסט:
מסקנה: חוואות אינה סוג של תעשיה

טיעון 1:
1. חוואות תלויה במרכיבים ביולוגיים
2. תעשיה משתמשת במרכיבים סיתנטיים ומכניים

טיעון 2:
1. תעשיה היא דבר זמני
2. חווה תקינה היא נצחית

(שניהם:) > לכן, חוואות אינה סוג של תעשיה.

בקורס נעסוק בטיעונים פשוטים בלבד, משום שאין לטיעון המורכב רכיבים מיוחדים - הוא בנוי מטיעונים פשוטים בלבד, שלכל אחד מהם "חץ מסקנה" משלו.
בקיצור, "תסתבכו בבית", הכלים שנלמד כאן מתאימים לשני הסוגים.

תהיות שלי:
1. מה לגבי טיעוני שרשרת רוחביים? זה מה שחשבתי שטיעוני מניפה מהווים. כלומר, מצב שבו ביססנו הנחה 1 באמצעות טיעון a, הנחה 2 באמצעות טיעון b, ומשתיהן ביחד גזרנו את מסקנה 3.
2. מה ההיגיון בטיעוני מניפה? נדמה שהם יכולים לעבוד ברמה האינדוקטיבית: להוסיף חוזק לטיעון חזק. אבל טיעון דדוקטיבי הוא תקף, או שלא תקף, מה זה משנה אם הוא תקף פעמיים?

טרוניה על טיעונים/שימושים של טיעונים תקפים:
החוברת אומרת: הרבה סטודנטים לא מבינים מה הטעם בלוגיקה, אם אפשר שכל ההנחות יהיו שגויות, אך המסקנה עודנה אמתית.
היא מסבירה:
1. כשאנחנו עוסקים בדיונים במציאות, לרוב הם ינסו להפיק מסקנה תקפה מהנחות שכבר התקבלו, לפחות על ידי הטוען, כאמת.
2. טיעון תקף שהנחותיו אמתיות (ולכן גם המסקנה שלו) נקרא 'טיעון מבוסס' - הם אלה שמעניינים אותנו במציאות לרוב.
3. היוצא דופן הוא רדוקציה אד-אבסורדום, נגיע לזה.
4. המשמעות של זה ביחס ללוגיקה התאורטית, היא שהמטרה של טיעון הוא להיות 'משמר אמת'. טיעון דדוקטיבי תקף משיג את שימור האמת, בכך שהוא עובר מהנחות אמתיות למסקנה אמתית, ולא עושה "קפיצות" בדרך. הנביעה הלוגית היא זו שמשמרת את האמת ב-100% ביחס לאמת הנתונה.

שימושים ללוגיקה במציאות:
1. שכנוע רציונלי, כמו אצל אפלטון. נעים מהסכמות שמקובלות על בן השיח, למסקנות שהוא מוכרח לקבל, אם קיבל את ההנחות. אפשרות נוספת היא להדגים לאדם בעל דעה מסוימת, איך פיתוח לוגי של דעתו מוביל בהכרח למסקנות שהוא לא מוכן לקבל.
2. הוכחה גאומטרית ומתמטית: כן נו
3. רדוקטיו אד אבסורדום/הוכחה עקיפה/רדוקציה לאבסורד: כדי להראות שטענה אינה יכולה להיות נכונה, נקבל אותה כנכונה באופן היפותטי ונדגים כיצד היא מביאה לסתירה לוגית. (לסתירה לוגית או למסקנה שגויה? נראה...).
4. פרדוקסים: טיעון תקף המשתמש בטענות אמתיות לכאורה על מנת להגיע למסקנה שקרית לכאורה. דורש מאיתנו לשלול אחת מהטענות, או לקבל את המסקנה.
*החוברת מעירה שאפשר גם לטעון שהטיעון לא באמת תקף, אבל בד"כ הם באמת תקפים.

דוגמה לרדוקטיו -
גלילאו רצה להוכיח את טעותו של אריסטו, שטען שגוף נופל במהירות גדולה יותר ככל שהוא כבד יותר.
הוא טען ככה:
בוא נניח שזה נכון. נקשור שני גופים, קל וכבד, ונזרוק אותם יחד:
1. מצד אחד, משקלם המשותף יביא לנפילה מהירה יותר
2. מצד שני, לכל אחד מהם בנפרד יש מהירות נפילה אחרת, כך שהגוף הקטן יאט את הגוף הגדול, ומהירות הנפילה המשותפת תהיה למעשה הממוצע של המהירויות הנפרדות

כך, נראה שישנן שתי מסקנות סותרות, וקבלת הטענה של אריסטו היא בגדר כשל לוגי.
(החוברת טוענת שגלילאו טעה בטענה שזה לא משנה איך נקשור את האובייקטים - כלומר שטח פנים וכו'. יכול להיות שאני דביל, אבל נראה שיש כאן בעיה חמורה יותר? זה קצת כמו להגיד שאם אני אוסיף לרכב שלי מנוע קטן, הוא יסע לאט יותר כי הכוח שלי יהיה שווה לממוצע הכוח של שני המנועים ביחד. כמובן שמהירות הנפילה היא ביחס לסך המשקל, וסך המשקל הוא זה שקובע את מהירות הנפילה (אם ככה זה עובד, מאיפה לי).

דוגמה לפרדוקס - פרדוקס התנועה של זנון.
החוברת מציגה אותו כך:
1. מעבר מ-A ל-B, דורש מעבר בנקודת האמצע.
2. מעבר מ-A לנקודת האמצע, דורש מעבר בנקודת האמצע.
3. תהליך זה הוא אינסופי
4. לכן התנועה בלתי אפשרית בזמן סופי

היא מסבירה שבמקרה הזה, לא ניתן לקבל את המסקנה. לכן חייבים למצוא את הטענה הבעיתית. החוברת מציעה שהמתמטיקה פתרה את הפרדוקס!!! בטענה ש-3 היא הטענה השגויה. יש החולקים על כך, אבל מעניין מאוד לקרוא. מדוע אינסופי?
(אני זוכר מאחד הקורסים: זה שהתהליך מתחלק עד אינסוף, לא אומר שהשלם הוא אינסופי. הדבר קורה 'כאחת', ולאחר מכן ניתן לפיצול עד אינסוף).

*בקיצ-קיצור, טיעון תקף לא יכול להוביל מהנחות אמתיות למסקנה שקרית.
אם נראה שזה ככה, או שאחת הטענות לא אמתית, או שהמסקנה נכונה בעצם, או שהטיעון לא תקף!

חפירה מטומטמת: שימוש לעומת אזכור
1. רלוונטי מאוד לסמנטיקה ולתאוריית האמת של אלפרד טרסקי - 'תאוריה סמנטית של אמת'.
2. להשתמש במושג זה לציין את המסמן כדי להתייחס למסומן - כשאני אומר "ילדים זה חמוד" אני מתכוון לדברים במציאות שהמילים מסמנות.
3. לאזכר את המושג זה להתייחס אליו עצמו: "כשאני אומר "ילדים זה חמוד"" הוא משפט שבו אני מתייחס לעצם האמירה "ילדים זה חמוד" - כלומר, למסמן על פני המסומן.
4. בהמשך הקורס ניקח טענות ונצרין אותן, לצורך העניין, את הטענה "כל העורבים שחורים" נציג כ-P.
5. מה אם אני רוצה להגיד "לא נכון ש-P"? החוברת טוענת שזהו איזכור, ולא שימוש. כלומר, אני לא עוסק כרגע במשמעות של P, אלא רק בערך האמת שהצמדתי למסמן שלה.
6. החוברת טוענת שלכתוב "P" יהיה שגוי, כי המשמעות היא שאני מתייחס למסמן עצמו, כלומר לאות P ולא למשמעות הלוגית שלה או לטענה שהיא מסמלת.
7. לכן, וויליארד קוויין (QUINE) המציא את 'מרכאות קוויין', שהן פשוט מרכאות מרובעות.
8. כשאני רואה את המרכאות האלה, הכוונה היא שאנחנו מאזכרים את הטענה ולא את המסמנים עצמם. אפשר שזה יהיה [P] על מנת לסמן את P, או [לא נכון ש-P] על מנת לסמל את השלילה שלה.
9. אני מניח שאי אפשר לכתוב פשוט "לא נכון ש-P", כי אז המשמעות עדיין תהיה שאני מדבר על עצם ההיגד, ולא על המשמעות הלוגית שלו.
10. למה לא נכון להגיד שאני משתמש בטענה? אפלטון לימד אותי שדברים שווים הם ברי-החלפה...

*בלי קשר לזיון המוח התפל הזה, QUINE היה פילוסוף ולוגיקן חשוב ברמות מהרווארד, שתרם המון לפילוסופיה האנליטית. החיבור "שתי דוגמאות לאמפיריציזם" חולל מהפכה פילוסופית. להכיר!