הדפסות 5 עצי אמת

חידודים - כשצריך להראות מצב אפשרי שבו קבוצת פסוקים אמתית - אם יש כמה ענפים פותחים, נבחר אחד בשרירותיות

כשמציירים עץ ידנית: - לשלוח את החצים הראשונים לאמצע הדף - הענפים הרי מתפצלים לשני הכיוונים - לשלוח את החצים ככה שיצביעו על שורות - השורות נותנות לנו סדר במאונך - לרדת שורה עם כל פיצול - כדי שיהיה קריא - - דגשים לפירוק: א. להסתכל לפני שזזים - אם אפשר לסגור ענף ולחסוך פיצול, תמיד עדיף ב. לשים לב לאימפליקציות שלולות! ובאופן כללי, לבדוק טוב טוב אם יש כלל שלא מפצל שניתן להחיל - ולהתחיל ממנו ג. לשים לב לסוגריים! לפצל לפי הקשר הראשי... ד. לא לשכוח לשלול את המסקנה בבדיקת תקפות! ה. לא לשכוח שעץ סגור (בבדיקת תקפות כשהמסקנה שלולה) = תקף! לא הפוך.

כללי הפירוק של קוניונקציה (ראשי או משני):

• הכלל קובע שהקיוניונקטים בפסוק יכתבו תחת אותה הצומת, בשתי שורות נפרדות. α∧ꞵ | α ꞵ
• כקשר משני לשלילה, הכלל קובע שנפצל את השורש לשני צמתים, כאשר כל צומת הוא השלילה של אחד הקוניונקטים: ¬(α∧ꞵ) left: ¬α right: ¬ꞵ

זה מחזק לי כמובן את ההבנה שהפיצול הוא שני מצבים אקסלוסיביים. כדי ש-"לא (a ו-b)" יהיה נכון, צריך ש ¬α או ¬ꞵ יהיו נכונים.

כללי הפירוק של דיסיונקציה (ראשי או משני:)

• כקשר ראשי: טוב, זה די קל, פותחים פיצול, וכל דיסיונקט הוא צומת/קצה חדש.ה
• כקשר משני לשלילה: תחת אותו הענף (בלי לפצל), כותבים את השלילה של כל אחד מדיסיונקטים.
  • ¬(ꞵ∨α) | ¬ꞵ ¬α
• לשים לב ❗ יכול להיות פסוק כמו (ꞵ∨¬α)¬. במצב כזה, אנחנו מקבלים ענף שיושבים עליו ꞵ¬ ו- ᬬ. (למעשה, מקבלים α...)

בגדול האמירה פה היא "לא (לפחות a או b)", שזה כמו להגיד "לא a ולא b", לכן השלילה של כל אחד מהם נמצאת על אותו ענף, כלומר, שייכת לאותו מצב שבו הפסוק הוא T.

כללי הפירוק של אימפליקציה מטריאלית (ראשי או משני):

• כקשר ראשי מפרקים לסיפה ולשלילה של הרישה - כמו שכתבתי למעלה, המשמעות היא שיש שני מצבים של T, או שהרישה שקרית והפסוק T בכל אופן, או שהסיפה אמתית (והרישה שקרית, לדעתי פיצול אומר בכל אופן שהמצבים הם אקסלוסיביים).
• כקשר משני לשלילה לא מפצלים, וכותבים באותה הצומת את הרישה ואת השלילה של הסיפה.

כקשר משני זה אמור בעצם להיות T רק כשהרישה אמת והסיפה שקר. לדעתי, לא מפצלים, וכותבים באותה הצומת את הרישה ואת השלילה של הסיפה. (צדקתי)

• כלל פרקטי חשוב: נבצע את כל הפעולות שלא מפצלות את הענף, ורק לאחריהן את אלה שדורשות פיצול שלו!
• חשוב לזכור שעל ענף סגור לא מבצעים אף פעולה. אני מניח שזה חזור שוב ושוב כי לפעמים הענף נסגר כשעדיין ניתן לפרק משהו שיושב עליו...

כללי הפירוק של שקילות מטריאלית (ראשי או משני):

• כקשר ראשי: נפצל את הענף לשני צמתים, בכל אחד שתי שורות: ענף 1 יכלול את הרישה ואת הסיפה, ענף 2 יכלול את השלילה של הרישה ואת השלילה של הסיפה.

  • α↔ꞵ ^ α ¬α
    ꞵ ¬ꞵ

• כקשר משני לשלילה: אותו דבר רק שבצד אחד של הפיצול יש לנו את α ואת ꞵ¬, ובצד השני את α¬ ואת ꞵ.

  ניחוש: המשמעות היא שהפסוק T רק כשהערכים שונים. לדעתי זה אותו דבר רק שבצד אחד של הפיצול יש לנו את α ואת ꞵ¬, ובצד השני את α¬ ואת ꞵ. צדקתי

כללי הפירוק של שלילה כפולה:

• ראינו כבר שהרבה מכללי הפירוק כוללים הוספה של ¬, כאשר לפסוקים רבים יש כבר ¬ בהתחלה, כך שמתקבלת שלילה כפולה: ¬¬
• מתבקש לתרגם את ᬬ ל-α מבלי להמתין, אבל מדובר בכלל פירוק ויש לבטא אותו בכתב.
• הכלל קובע שנפרק את הסימן לאותו הסימן ללא השלילות, בשורה חדשה, מבלי לפצל את הענף
• חשוב מאוד ❗ - לשים לב שאנחנו עושים את זה רק כשהשלילות הן הקשר הראשי והמשני בפסוק. p∧q¬¬ הוא לא פסוק שניתן להחיל עליו את הכלל, כי הקשר הראשי הוא קוניונקציה ולא שלילה.
  • בהמשך לזה, אם השלילות הן כן הקשרים הראשי והמשני, אפשר להפעיל את הכלל גם כשישנם קשרים נוספים: כך, P¬¬¬ הופך לP¬¬ ¬¬¬¬P הופך ל- ¬¬P וכו'

• גם החוברת מדגישה: **לכתוב את כל השלבים! בלי קיצורי דרך. **

• בשורש ניתן לכתוב יותר מפסוק אחד!, אין הבדל מבחינת הבניה של עץ האמת. זה יהיה עץ אמת של קבוצת פסוקים.

• לשאלה שמטרידה אותי מההתחלה: מה קורה, במצב כזה, אם אנחנו צריכים לפצל את אותה הצומת פעמיים? בדרכים שונות?
• התשובה היא שאנחנו מפרקים את הפסוק בכל ענף פתוח (שנמצא כבר מתחת לפסוק) בנפרד ![[Pasted image 20241129220621.png]]

☝ **זה מצב שיכול לקרות גם כשיש פסוק אחד! ככה שאין באמת הבדל, וצריך לדעת לעשות את זה.

הסבר על עצי אמת:

• נזכיר שהשיטה סינטקטית בלבד
• על מנת ששני קוניונקטים יהיו אמיתיים, עליהם להיות אמיתיים "על אותו צומת", כלומר באותו המצב.
• כאשר יש פיצול, הכוונה היא שישנם שני מצבי עניינים. שלילה של קוניונקציה מפצלת את הענף לשלילותיהם של הקוניונקטים, כי ישנם שני מצבים נפרדים בהם הקוניונקציה שקרית (הפסוק שאנחנו כותבים בצומת הוא "תנאי הסף" של הצומת: דבר אחד שחייב להתקיים בה).

מה בודקת השיטה?

• הצמתים השונים בעץ האמת מייצגים מצבים אפשריים בו הפסוק אמיתי
• כל ענף פתוח מייצג מצב אפשרי בו הפסוק אמיתי.
• ענף סגור הוא כזה המכיל סתירה, ולכן אינו אפשרי.
• אנחנו למעשה יוצרים טבלת אמת שכוללת רק את מצבי העניינים בהם המציין הוא T
• ענף סגור לא מייצג מצב בו הפסוק שקרי, הוא פשוט מייצג מצב שאינו אפשרי (אין מצב כזה בטבלת האמת)
• עץ סגור הוא עץ שאין מצב אפשרי בו הוא אמיתי
• עץ סגור שבשורש שלו קבוצת פסוקים - מראה שהפסוקים אינם מקיימים קונסיסטנטיות, כלומר אינם יכולים להיות אמיתיים יחד.
• במילים אחרות, עצי אמת משמשים לבדיקת הקונסיסטנטיות של קבוצת פסוקים
• נזכיר: קבוצת פסוקים היא קונסיסטנטית, אם יש מצב אפשרי בו כל הפסוקים בקבוצה אמיתיים
• לסיכום: עצי אמת משמשים לבדיקת הקונסיסטנטיות של קבוצת פסוקים, ע"י שימוש בכללים המגלים באילו מצבים אפשריים פסוק כלשהו הוא אמיתי, המבוססים על תנאי האמת של הקשרים הלוגיים המרכיבים אותו.
• גם פסוק אחד יכול להיות לא קונסיסטנטי (אם מדובר בסתירה לוגית) - לצורך העניין, עץ שבשורשו פסוק אחד בודק את הקונסיסטנטיות של קבוצת פסוקים בת איבר אחד.

אפיון פסוקים בעצי אמת

• עצי אמת בודקים קונסיסטנטיות של קבוצת פסוקים, כזכור
• גם הענפים מלמדים אותנו על קונסיסטנטיות: ענף פתוח משמעו שקבוצת כל הפסוקים המופיעים עליו היא קונסיסטנטית (כקבוצה בפני עצמה), ענף סגור משמעו שקבוצת הפסוקים על הענף אינה קונסיסטנטית (אין מצב בו כולם T)
• "סתירה עצמית" הוא הביטוי הסמנטי ל-"עץ סגור", שהוא ביטוי סינטקטי
• עץ פתוח אינו סתירה עצמית, לכן או שהוא קונטינגנציה (נכון לפעמים) או שהוא טאוטולוגיה (נכון תמיד)
• טאוטולוגיה היא לא פסוק שכל ענפיו פתוחים - יש גם טאוטולוגיות וגם קונטינגנציות עם ערבוב של ענפים סגורים ופתוחים.
• כלומר: עץ האמת הסטנדרטי לא מספיק כדי לקבוע אם פסוק הוא טאוטולוגיה או קונטינגנציה! הוא רק מלמד אם הוא סתירה עצמית, או אחת משתי האפשרויות הנוספות.
• השיטה להבחנה בין קונטינגנציה לטאוטולוגיה בעזרת עצים היא כלהלן:
  • אם α הוא טאוטולוגיה, העץ של α¬ חייב להיות סגור (כי אין מצב שבו הפסוק F, כלומר אין מצב שהשלילה שלו T)
  • לכן, כדי לאפיין את פסוק α, נתחיל מלבנות לו עץ רגיל:
    • אם העץ סגור, הפסוק הוא סתירה עצמית
    • אם העץ פתוח, נבנה עץ ל-α¬:
    • אם העץ פתוח, הפסוק הוא קונטינגנציה
    • אם העץ סגור, הפסוק הוא טאוטולוגיה

בדיקת תקפות בעצי אמת

• נרחיב את הקשר בין ערכי אמת למבנה העץ (קונסיסטנטיות) כדי ללמוד עוד על פסוקים באמצעות עצי אמת:
• קבוצה היא קונסיסטנטית אם יש מצב שבה כל האיברים בה הם T
• טיעון הוא תקף אם אין מצב שבו ההנחות אמתיות והמסקנה שקרית
• לכן, טיעון תקף הוא כזה שכל האיברים בו + שלילת המסקנה הם קבוצה לא קונסיסטנטית (אין מצב בו כולם T - עץ סגור)