הדפסות 2 אריסטוטלית

לשים לב:

בריבוע הניגודים - כל מה שאפשר לגזור מטיעון שהגענו אליו באמצעות אחד היחסים, הוא חלק ממה שניתן לגזור מהטענה המקורית (כשיש ערך אמת). זו הסיבה שיש 3 טענות שנסיק מטענה כוללנית אמתית, למשל.

בסילוגיזמים: לא לשכוח שממשטרים כך ש-P טענה ראשונה ו-S שניה (כל אחת עם M)

טענות קטגוריות:
אבן הבניין של הלוגיקה של אריסטו הוא הטענה הקטגורית (או המשפט הקטגורי).
הוא בנוי מ:
1. כמות ("יש", "כל", "חלק", "שני")
2. נושא (האובייקט במונחים אריסטוטליים - למשל, "חתול")
3. אוגד (מילת הקישור - "הוא", "אינו")
4. נשוא (יחסים בין-קטגוריים במונחים אריסטוטליים - כל דבר שמתאר את הנושא, למשל "לבן", "גדול", "טוב" וכו').
כך יוצא ש-"יש חתול שהוא לבן" היא טענה קטגורית שבנויה מ: "יש" - כמות, "חתול" - נושא, "שהוא" - אוגד, "לבן" - נשוא.

כמתים (מילות כמות) מתחלקים ל-"כמת כולל" ו-"כמת ישי" (כל ה-X לעומת חלק מה-X? לא יודע)
אוגדים מתחלקים לחיוביים ולשליליים
נושאים יש כמספר שמות העצם, ובלוגיקה האריסטוטלית נסמן אותם ב-S (מה ה-S מסמלת? לא יודע.)
נשואים יש גם למכביר, ונסמן אותם ב-P (אני לא חושב שזו המשמעות, אבל עוזר לי לזכור - P = Predicate).

בהתאם לאפשרויות, יש למעשה 4 סוגים של טענות אריסטוטליות:
1. כמת כולל ואוגד חיובי (כל S הוא P)
2. כמת כולל ואוגד שלילי (שום S אינו P)
3. כמת ישי ואוגד חיובי (יש S שהוא P)
4. כמת ישי ואוגד שלילי (יש S שאינו P)

לכל טענה כזו יש אות שמסמלת אותה, שהיא תנועה בשפה -
1. A
2. E
3. I
4. O
בהתאמה לרשימה הקודמת.
איך זוכרים? בוא נזכור שיש AEIO, ושהוא מתחיל בכולל חיובי. אחרי זה יש לנו כולל שלילי, ואז את הישיים באותו הסדר.
*האותיות נגזרו מלטינית: AFFIRMO זה "מאשר", ולכן A ו-I הן הטענות החיוביות; NEGO זה "שולל", ומכאן נגזרו E ו-O באותו האופן.

טענות שקולות:
1. טענה של "כל S הוא P" אומרת גם "אין P שאינו S".
2. טענה של "כל S אינו P" אומרת גם: "אין P שהוא S"

טיעון שבנוי כמו "כל S אינו לא-P" צריך להיות מתורגם ל-"צורה סטנדרטית" על מנת לקבל ביטוי צורני (במסגרת הלוגיקה האריסטוטלית לפחות). המעבר הזה מכונה לעתים "משטור".

*המשטור לא תמיד פשוט. למשל ביחס למילה "רק".
אם יש לי "רק בעלי תעודת זהות רשאים להצביע".
לכאורה המשטור יוביל ל-"כל S הוא P", כאשר S הוא בעלי תעודות ו-P הוא רשאים להצביע.
אלא ש, המשפט לא קובע שכל מי שיש לו תעודה רשאי להצביע, אלא שמכלול האנשים שרשאים להצביע כולל רק בעלי תעודות.
אז בעצם, ה-S שלנו הוא "רשאים להצביע" (הנושא) וה-P שלנו הוא "בעלי תעודות" (הנשוא).
איך נדע את זה? לדעתי שווה לזכור ש-P הוא הפרדיקט. יש לנו אנשים שרשאים להצביע, שהם הנושא שאינו יכול להתחלף, ו-"בעלי תעודות" היא "תכונה מזדמנת" של S.

הבנתי את זה יותר טוב בעקבות שאלה 5 בתרגיל -- S הוא מה שאומרים עליו; P הוא הדבר שנאמר. כשיש לי במשפט "רק", אני בעצם מדבר על הדבר שמקיים את הרק. "רק S הוא P" אומר לי משהו על P, ולא על S! (אומר מה משתייך לכלל שהוא P).
במשטור, להעדיף את צורת היחיד מצורת הרבים

![[Pasted image 20250204222300.png]]

לומדים את הקשרים השונים בין הטענות:
1. סתירה - מתקיים בין A ל-O ובין E ל-I (לא יכול להיות שיש S שהוא P אם כל S אינו P וכו')

ההגדרה של סתירה: לא יתכן שהטענות חולקות ערך אמת באותו הזמן. מתחייב שאחת אמת ואחת שקר.
זה או שכל S הוא P, או שיש S שאינו P - לא יכול להיות ששניהם שקר, או ששניהם אמת.

1. הופכיות - סוג של סתירה: מתקיימת בין A ל-E.

סותרות באופן מוגבל יותר: הן לא יכולות להיות אמתיות באותו הזמן. אם אחת אמתית, השניה חייבת להיות שקרית.
עם זאת, כמו ששמתי לב, במצב של הופכיות, שתי הטענות כן יכולות להיות שקריות באותו הזמן -
יתכן שלא כל S הוא P (שקרי), אבל יש S שהוא P - כך גם להגיד שאין S שהוא P זה שקרי.

1. תת-הופכיות: מתקיים בין I ל-O. על פניו הם לא סותרים - לקרוא
   בעצם ההפך מהופכיות רגילה... כן יתכן ששתי הטענות הן אמת (יש S שהוא P, יש S שאינו P)
   אבל! לא ייתכן ששתיהן שקריות - S יכול להיות או [P] או [לא P], ואינו יכול להיות אחרת (חוק השלישי הנמנע).

2. נביעה - מתקיים בין A ל-I ובין E ל-O (ברור שיש S שהוא P אם כל S הוא P וכו')

נביעה לוגית בדומה לטיעון דדוקטיבי - האמת משתמרת בין A ל-I שתואם לו.
חשוב לשים לב שהנביעה היא חד-כיוונית! [כל S הוא P] מחייב ש-[יש S שהוא P], אבל לא הפוך.
לעתים מכנים את היחס הזה "שעבוד" (למשל בקורס פיל' יוונית) - במובן שטענה [I] נכללת מראש בתוך [P] - טוב לזכור את זה כי "שעבוד" הוא ללא ספק חד-כיווני (אבל כמובן שגם נביעה במצבה הרגיל).

*חידוד:
ביחס לטענה כוללת - A/E:
1. מטענה אמתית, אפשר להסיק תמיד 3 דברים: המסקנה ההופכית שקרית, המסקנה הסותרת שקרית, והמסקנה הנובעת אמתית.
2. מטענה שקרית אפשר להסיק רק דבר 1: הטענה הסותרת אמתית
וביחס לטענה ישית - I/O - זה הפוך: אפשר להסיק 3 דברים מטענה שקרית, ורק דבר 1 מטענה אמתית.

~סילוגיזם אריסטוטלי
למדנו מה היא טענה אריסטוטלית: טענה קטגורית (בעלת נושא ונשוא, אוגד וכמת).
כעת נלמד מה הוא טיעון אריסטוטלי: סילוגיזם.
בגדול זה מה שלמדתי בפיל' יוונית:

1. סילוגיזם בנוי מ-3 משפטים, שהם טענות קטגוריות מסוג A E I O
2. שני המשפטים הראשונים הם ההנחות, והשלישי הוא המסקנה
3. המסקנה אמורה לנבוע לוגית מההנחות, במידה והטיעון תקף (על בדיקת תקפות - בהמשך).
4. בסילוגיזם ישנם 3 'מונחים' (משתנים), שיופיעו פעמיים כל אחד:
   -הנושא - S - יופיע באחת ההנחות ובמסקנה
   -הנשוא - P - יופיע באחת ההנחות ובמסקנה
   -המונח שמופיע רק בהנחות נקרא 'מונח מתווך' ומסומן ב-M.
   דוגמה לסילוגיזם:
   SAM
   MAP
   SAP
   (זהו סילוגיזם מסוג BARBARA, נגיע לזה).

*חשוב לשים לב שיש הבדל בין מונחי הנושא והנשוא של הסילוגיזם, לבין מונחי הנושא והנשוא של כל אחת מן הטענות כשלעצמה.
ניקח סילוגיזם:
1. יש נחש שאינו ארסי
2. כל נחש הוא זוחל
3. לכן יש זוחל שאינו ארסי
זה סילוגיזם מסוג I, A, O (לא זוכר את השם).
'נחש' הוא הנושא/ה-S של הטענה הראשונה, אבל הוא המונח המתווך/ה-M של הסילוגיזם כולו.
כמה טיפים:
1. הנושא של המסקנה הוא הנושא של הסילוגיזם כולו (S)
2. הנשוא של המסקנה הוא הנשוא של הסילוגיזם כולו (P)
3. המונח המתווך הוא זה שאינו מופיע במסקנה, אלא חוזר על עצמו בהנחות.
החוברת רומזת: בהמשך, לא יהיה ברור לנו מה היא המסקנה! כאן ברור שהיא האחרונה.

כחלק מהשיטה של אריסטו לבדיקת התקפות של סילוגיזם, ישנה חשיבות גדולה לסדר ההנחות. הסדר התקני והקאנוני הוא כזה בו ההנחה הראשונה תכלול את הנשוא+מתווך, ההנחה השניה את הנושא+מתווך, והמסקנה את שניהם ללא המתווך.
במילים אחרות, הסדר הנכון של הופעת הסילוגיזמים הוא כזה:
PxM
SxM
PxS

כשאנו נתקלים בטענה שאינה בנויה כך, עלינו למשטר אותה לסדר הסילוגיזמי הנכון, שמאפשר את בדיקת התקפות.

~תמונות לוגיות
אחרי שהכרנו את המרכיבים של הלוגיקה האריסטוטלית (טענה קטגורית ומרכיביה, סילוגיזם ומרכיביו), זמן ללמוד את המערכת הלוגית עצמה, העוסקת בבדיקת התקפות של טיעונים:
1. כמו שלמדנו, במסקנה של סילוגיזם משתתפים תמיד S ו-P של הסילוגיזם, והמקומות שלהם קבועים, כ-S ו-P של המסקנה כטענה עצמאית.
2. ההנחה הראשונה של הסילוגיזם תמיד תכלול את P ואת M
3. לכן, סוגי הסילוגיזמים השונים הם בהתאם למיקום של S ושל P ביחס ל-M בכל אחת מההנחות, ועל כן ישנן 4 תמונות בסיסיות:
1.
M-P
S-M
2.
P-M
S-M
3.
M-P
M-S
4.
P-M
M-S

ל מנת לבדוק תקפות, עלינו לציין לא רק את התמונה של טענה, אלא גם את האופן שלה.
האופן מציין את סוג הטענות הקטגוריות שמרכיבות את הסילוגיזם.
כך למשל, סילוגיזם כמו:
1. כל A הוא B
2. כל B הוא C
3. כל A הוא C
הוא סילוגיזם מאופן A-A-A.
והתמונה: M-P; S-M, תמונה ראשונה.

התצוגה המשותפת לאופן ולתמונה היא הפרדתם במקף.
לצורך העניין, עבור הסילוגיזם ששימש להדגמה, התצוגה היא AAA-1
השילוב של התמונה והאופן מכונה 'תבנית', או 'תבנית הסילוגיזם'.
מבחינת אופנים, ישנן כידוע 4 אפשרויות, ובסילוגיזם ישנן 3 טענות שיכולות להביע כל אחת מהן.
לכן, ישנם 444 אופנים = 64 אופנים.

~בדיקת תקפות:
בגדול, זה מאוד פשוט - אריסטו וחבריו ערכו רשימה של תבניות הסילוגיזמים התקפות.
אריסטו מצא שיש 4 תבניות תקפות, שאין צורך להוכיח את תוקפן. אלה הם "הסילוגיזמים המושלמים".
בנוסף, ישנם סילוגיזמים שתקפותם עומדת על תקפותם של הסילוגיזמים המושלמים - כל סיליגוזם כזה ניתן להוכחה באמצעות הסילוגיזמים המושלמים.
מה הם המושלמים? כל תמונה 1 - שאריסטו כינה גם "התמונה המדעית".
*לשים לב! בתמונה הראשונה יש 64 תבניות שונות! רק 4 מהן 'תבניות מושלמות'! אי אפשר לזכור שכל התמונה תקפה, צריך לזכור את ה-4 התקפות:
1. AAA-1
2. EIO-1
3. AII-1
4. EAE-1

כזכור מפיל' יוונית, בימה"ב ניתנו שמות לתבניות המושלמות, כאשר ההברות המרכיבות כל שם תואמות לאופנים המרכיבים אותו.
1. bArbArA
2. fEIrO
3. dArII
4. cElArnEt

כמו שלמדתי בפיל' יוונית, אריסטו ולאחריו הלוגיקנים של ימה"ב השתמשו בכל מיני מתודות כדי לבדוק את כל התבניות, ולצמצם את התבניות התקפות לאלה שנובעות בהכרח מהתבניות המושלמות בלבד.

בתמונה השניה יש לנו את:
EAE-2
AEE-2
EIO-2
AOO-2
EAO-2
AEE-2

בתמונה השלישית:
AAI-3
AII-3
EAO-3
EIO-3
IAI-3
OAO-3

וברביעית:
AAI-4
AEE-4
IAI-4
EAO-4
EIO-4
AEO-4

~מעגלי וון:
הוגים את זה VENN על שם JOHN VENN.
מתמטיקאי בריטי מהמאה ה-19.
בהשראת לאונרד אוילר, מתמטיקאי שוויצרי מהמאה ה-18, הציע את רעיון דיאגרמת ואן.
בכוחה להציג טיעונים סילוגיזמיים, וגם כמה טיעונים שהם לא סילוגיזמיים.
הגדרות יסוד של השיטה:
1. כל טענה מוצגת באמצעות מעגל אחד בלבד (וניתן להציגה כך)
2. כל שטח ש-'יש בו לפחות פרט אחד' מסומן ב-X, בעוד כל שטח 'ריק' נמחק
3. כך, באמצעות סימון של שטחים המכילים פרטים ומחיקת שטחים 'ריקים', ניתן לוודא תקפות של טיעונים מתאימים.

כך, ניתן להציג את ארבע הטענות הקטגוריות באמצעות מעגלים:
יש להבחין בין הטענות הקטגוריות עצמן, 4 ללא שמות מיוחדים, לבין האופנים*! האופן הוא 3 הטענות המרכיבות את הסילוגיזם.
1. "יש S שאינו P" - מסמנים X בחלק של S שאינו חופף ל-P, השאר נמחק.
2. יש S שהוא P - מסמנים X בחלק של S שחופף ל-P ואת השאר מוחקים
3. כל S אינו P - מוחקים את החפיפה
4. כל S הוא P - מוחקים את החלקים שאינם חופפים
(מעניין - טענות כוללניות דורשות שנמחק שטח ספציפי, בעוד שטענות ישיות דורשות שנציב X ונמחק את השאר).

*מעניין לשים לב - בשיטה של וון דווקא אין את הנחת הקיום!
טענה כוללת מבקשת שנמחק שטח, אבל לא מבקשת שנציב X במה שנשאר. (מראה לדעתי שהנחת הקיום לא עובדת במציאות עד כמה שהיא חומרית/חושית...).

וידוי תקפות באמצעות דיאגרמת ון:
יש לזה כמה שלבים.
א. קודם כל ניצור את הדיאגרמה הקלסית הכוללת 3 מעגלים. יש לוודא שנוצרים כך 4 "שטחים" עבור כל מעגל:
1. חפיפה עם שני המעגלים הנוספים
2. חפיפה עם מעגל אחד בלבד
3. חפיפה עם המעגל הנותר בלבד
4. היעדר כל חפיפה עם יתר המעגלים

ב. נסמן במעגלים את ההנחות - מאחר שבכל הנחה משתתפים רק שניים, 'נתעלם' מהמעגל הנותר, נסמן גם עליו, כאילו הוא לא משתתף.
ג. מאחר שהנחות כוללניות דורשות שנמחק שטחים, וטענות ישיות דורשות שנסמן X על שטחים, יש להתחיל תמיד מסימון הטענות הכוללניות. כשאנחנו מציבים X - יש להציב אותו על השטחים שנותרו לא מחוקים בלבד. (גם אם היה אמור להופיע על חלק שנמחק).
ד. טענה תקפה היא כזו שלאחר סימון שתי ההנחות, היא למעשה מסומנת כבר מראש. (אין צורך להוסיף סימון שלישי על מנת לייצג אותה).

חשוב לזכור שכאשר לא מוצב X (בזכות טענה ישית) ולא נמחק שטח (בזכות טענה כוללנית) - המשמעות היא לא שיש/אין בו פרטים, אלא שהטענות אינן מספיקות כדי לקבוע זאת!
לעתים, אנחנו נדרשים לסמן X על שטח שמחולק לכמה תת-שטחים - למשל, אם יש P שאינו M, יתכן שה-X מסומן בשטח בו P ו-S חופפים ואינם נוגעים ב-M, בשטח בו P אינו חופף הן עם S הן עם M, או שהוא מסומן בשניהם ללא אבחנה.
הפיתרון הוא לסמן שני Xים עם קו ביניהם - הקו מסמל שלא מדובר בשני פרטים שונים ("לפחות פרט אחד פה ולפחות פרט אחד פה"), *אלא בביטוי יחיד של "לפחות פרט אחד", שלא ניתן לקבוע את מיקומו המדויק.**

~מעבר לסילוגיזמים: מעגלי וון יכולים לשרטט גם טענות שאינן סילוגיסטיות - למשל טענות אם "או-או": "כל הילדים יפים, או שהם מכוערים".
אנחנו נבדוק רק טענות עם 3 מונחים לכל היותר, כדי להישאר בגבולות הדיאגרמה המקורית.

גם במקרים כאלה, בדיקת התקפות היא באותה שיטה - עלינו למצוא את המסקנה מסומנת במעגל מבלי להוסיף סימונים מעבר להנחות.
לשים לב - 3 מונחים יכולים לחזור על עצמם גם לאורך 10 טענות - העיקר הוא מס' המונחים/מעגלים בהתאמה.
שאר החוקים אותו דבר: מוחקים, מסמנים Xים, איפה שאין וודאות מסמנים דאבל X עם קו מקשר, ובודקים אם מתקיימת נביעה.
וון הציע גם מודל של 4 מעגלים (אני מניח שאי אפשר להמשיך עד אינסוף מבחינת ההיגיון המרחבי - לא ניתן לכלול מספיק חתכים שונים...) - אבל המודל הזה מאוד מסורבל ויזואלית.

*באופן כללי, לשים לב שבמקרה של דיאגרמת וון אין צורך "לסדר" את הסילוגיזם כך שיתחיל מP+M, ימשיך ל-P+S ויסתיים ב-S+P. או שמתחילים מהטענה הכוללנית, או שאם שתיהן ישיות - זה שרירותי. את המסקנה לא מסמנים כמובן.