מטלת מנחה 17 לקורס 'מבוא ללוגיקה' (10703) טיוטה

מגיש: אנטוניו דורון (ת.ז 318155272)
למנחה: ענבל קולינר
סמסטר 2025א

שאלה 1: _בדקו בשיטת עצי האמת את הקונסיסטנטיות של קבוצת הפסוקים:

graph TD; 
id1("{∀xPx -- a,
∃x(Px∨¬Qx) -- V
∀x(Qx∨∃yRxy) -- a, 
∀x∀y¬Rxy} -- a,
Pa∨¬Qa -- V
Pa
Qa∨∃yRay -- V
∀y¬Ray -- a, 
¬Raa
---
")
id1 --> id2("Pa")
id1 --> id3("¬Qa")
id2 --> id4("Qa")
id2 --> id5("∃yRay -- V
Raa
ענף סגור X 
")
id3 --> id6("Qa
ענף סגור X 
")
id3 --> id7("∃yRay -- V
Raa
ענף סגור X ")

לעץ האמת של קבוצת הפסוקים ענף פתוח, כלומר שהעץ פתוח והקבוצה קונסיסטנטית

שאלה 2: הוכיחו בשיטת הדדוקציה הטבעית את מסקנת הטיעון התקף שלהלן: 1. ∀x(Ax→Bx) 2. ∀x((Cx∧Bx)→Dx) 3. ∀x∃y(Cy∧Ryx) 4. ∀x∀y((Ryx∧Dy)→Dx) _∴ ∀x(∀y(Ryx→Ay)→Dx) _

1. ∀x(Ax→Bx)
2. ∀x((Cx∧Bx)→Dx)
3. ∀x∃y(Cy∧Ryx)
4. ∀x∀y((Ryx∧Dy)→Dx)
5. ∃y(Cy∧Ryx) 3 U.I.
   1. Cz∧Rzx 5 E.I.
   2. Cz 6 Simp.
   3. Rzx∧Cz 6 Comm.
   4. Rzx 8 Simp.
   5. Az→Bz 1 U.I.
   6. (Cz∧Bz)→Dz 3 U.I.
      1. Rzx→Az C.P.
      2. Az 9,12 M.P.
      3. Bz 10,13 M.P.
      4. Cz∧Bz 7,14 Conj.
      5. Dz 11,15 M.P.
      6. ∀y((Ryx∧Dy)→Dx) 4 U.I.
      7. (Rzx∧Dz)→Dx 17 U.I.
      8. Rzx∧Dz 9,16 Conj.
      9. Dx 18,19 M.P.
   7. (Rzx→Az)→Dx 12-20 C.P.
6. (Rzx→Az)→Dx 6-21 E.I.
7. ∀y(Ryx→Ay)→Dx) 22 U.G.

8. ∀x(∀y(Ryx→Ay)→Dx) 23 U.G.

9. ∀x(Ax→Bx)

10. ∀x((Cx∧Bx)→Dx)
11. ∀x∃y(Cy∧Ryx)
12. ∀x∀y((Ryx∧Dy)→Dx)
13. ∃y(Cy∧Ryx) 3 U.I.
    1. Cz∧Rzx 5 E.I.
    2. Cz 6 Simp.
    3. Rzx∧Cz 6 Comm.
    4. Rzx 8 Simp.
    5. Az→Bz 1 U.I.
    6. (Cz∧Bz)→Dz 3 U.I.
       1. Rzx→Az C.P.
       2. Az 9,12 M.P.
       3. Bz 10,13 M.P.
       4. Cz∧Bz 7,14 Conj.
       5. Dz 11,15 M.P.
       6. ∀y((Ryx∧Dy)→Dx) 4 U.I.
       7. (Rzx∧Dz)→Dx 17 U.I.
       8. Rzx∧Dz 9,16 Conj.
       9. Dx 18,19 M.P.
    7. (Rzx→Az)→Dx 12-20 C.P.
14. (Rzx→Az)→Dx 6-21 E.I.
15. ∀y(Ryx→Ay)→Dx) 22 U.G.
16. ∀x(∀y(Ryx→Ay)→Dx) 23 U.G.

שאלה 3: הצרינו את הטענה: יש ספר אחד על שולחני. (מילון: Bx – x הוא ספר; Dx – x על שולחני)

"קיים x כך ש-x הוא ספר (Bx) ו-x נמצא על שולחני (Dx), ועבור כל y, אם y הוא ספר (By) ו-y נמצא על שולחני (Dy), אז y זהה ל-x" ∃x((Bx∧Dx)∧∀y((By∧Dy)→y=x))

שאלה 3: _הצרינו את הטיעון הבא ובדקו את תקפותו בשיטת עצי האמת: "המרצה לפילוסופיה במכללת אפקה הוא פרופסור ולכן כל המרצים לפילוסופיה במכללת אפקה הם פרופסורים."

Lxy - x מרצה לפילוסופיה Px - x הוא פרופסור a - מכללת אפקה

1. קיים x כך ש-x הוא מרצה לפילוסופיה במכללת אפקה (a) (Lxa)
2. אם קיים x כך ש-x הוא מרצה לפילוסופיה במכללת אפקה (Lxa), וגם קיים y כך ש-y הוא מרצה לפילוסופיה במכללת אפקה (Lya), אז y זהה ל-x

3. לכן, עבור כל x, אם x הוא מרצה לפילוסופיה במכללת אפקה (Lxa), אז x הוא פרופסור (Px)

4. ∃x(Lxa)

5. (∃x(Lxa)∧∃y(Lya))→y=x ∴ ∃x(Lxa→Px)

graph TD; 
id1("{∃x(Lxa) --- a
(∃x(Lxa)∧∃y(Lya))→y=x
¬∃x(Lxa→Px)} -- V
∀x¬(Lxa→Px) -- a
Laa
¬(Laa→Pa) -- V
Laa
¬Pa
--
")
id1 --> id2("¬(∃x(Lxa)∧∃y(Lya)) -- V")
id1 --> id3("¬y=x")
id2 --> id4("¬∃x(Lxa)
ענף סגור X
--
")
id2 --> id5("¬∃y(Lya) -- V
∀y¬(Lya) -- a
¬Laa
ענף סגור X")

עץ האמת של קבוצת הפסוקים הכוללת את הנחות הטיעון ואת שלילת המסקנה סגור. כלומר שקבוצת הפסוקים אינה קונסיסטנטית, והטיעון תקף

---