מטלת מנחה 17 לקורס 'מבוא ללוגיקה' (10703) (להגשה מחדש טיוטה)

מגיש: אנטוניו דורון (ת.ז 318155272)
למנחה: ענבל קולינר
סמסטר 2025א

שאלה 1: _בדקו בשיטת עצי האמת את הקונסיסטנטיות של קבוצת הפסוקים:

graph TD; 
id1("{∀xPx -- a,
∃x(Px∨¬Qx) -- V
∀x(Qx∨∃yRxy) -- a, 
∀x∀y¬Rxy} -- a,
Pa∨¬Qa -- V
Pa
Qa∨∃yRay -- V
∀y¬Ray -- a, 
¬Raa
---
")
id1 --> id2("Pa")
id1 --> id3("¬Qa")
id2 --> id4("Qa")
id2 --> id5("∃yRay -- V
Raa
ענף סגור X 
")
id3 --> id6("Qa
ענף סגור X 
")
id3 --> id7("∃yRay -- V
Raa
ענף סגור X ")

לעץ האמת של קבוצת הפסוקים ענף פתוח, כלומר שהעץ פתוח והקבוצה קונסיסטנטית

שאלה 2: הוכיחו בשיטת הדדוקציה הטבעית את מסקנת הטיעון התקף שלהלן: 1. ∀x(Ax→Bx) 2. ∀x((Cx∧Bx)→Dx) 3. ∀x∃y(Cy∧Ryx) 4. ∀x∀y((Ryx∧Dy)→Dx) _∴ ∀x(∀y(Ryx→Ay)→Dx) _

1. ∀x(Ax→Bx)
2. ∀x((Cx∧Bx)→Dx)
3. ∀x∃y(Cy∧Ryx)
4. ∀x∀y((Ryx∧Dy)→Dx)
5. ∃y(Cy∧Ryx) 3 U.I. -- מופע חופשי של X
   1. Cz∧Rzx 5 E.I. -- מופעים חופשיים של Z ו-X בהנחות
   2. Cz 6 Simp.
   3. Rzx∧Cz 6 Comm.
   4. Rzx 8 Simp.
   5. Az→Bz 1 U.I.
   6. (Cz∧Bz)→Dz 2 U.I.
      1. Rzx→Az C.P.
      2. Az 9,12 M.P.
      3. Bz 10,13 M.P.
      4. Cz∧Bz 7,14 Conj.
      5. Dz 11,15 M.P.
      6. ∀y((Ryx∧Dy)→Dx) 4 U.I.
      7. (Rzx∧Dz)→Dx 17 U.I.
      8. Rzx∧Dz 9,16 Conj.
      9. Dx 18,19 M.P.
   7. (Rzx→Az)→Dx 12-20 C.P.
   8. ∀y(Ryx→Ay)→Dx) 21 U.G.
6. ∀y(Ryx→Ay)→Dx) 6-22 E.I.
7. ∀x(∀y(Ryx→Ay)→Dx) 23 U.G.

שאלה 3: הצרינו את הטענה: יש ספר אחד על שולחני. (מילון: Bx – x הוא ספר; Dx – x על שולחני)

(נפרש את הטיעון כ: "יש בדיוק ספר אחד על שולחני")

"קיים x כך ש-x הוא ספר (Bx) ו-x נמצא על שולחני (Dx), ועבור כל y, אם y הוא ספר (By) ו-y נמצא על שולחני (Dy), אז y זהה ל-x" ∃x((Bx∧Dx)∧∀y((By∧Dy)→y=x))

___שאלה 4__ : הצרינו את הטיעון הבא ובדקו את תקפותו בשיטת עצי האמת: "המרצה לפילוסופיה במכללת אפקה הוא פרופסור ולכן כל המרצים לפילוסופיה במכללת אפקה הם פרופסורים."

Lxy - x מרצה לפילוסופיה ב y Px - x הוא פרופסור a - מכללת אפקה

(נבין את הטענה "המרצה לפילוסופיה במכללת אפקה הוא פרופסור" כתיאור מיידע: כלומר, יש מרצה אחד לפילוסופיה במכללת אפקה).

1. קיים x כך ש-x הוא מרצה לפילוסופיה במכללת אפקה (a) (Lxa) ו-x הוא פרופסור (Px)
2. עבור כל x וכל y, אם x הוא מרצה לפילוסופיה באפקה (Lxa) וגם y הוא מרצה לפילוסופיה באפקה (Lya) אז x זהה ל-y

3. לכן, עבור כל x, אם x הוא מרצה לפילוסופיה במכללת אפקה (Lxa), אז x הוא פרופסור (Px)

4. ∃x(Lxa∧Px)

5. ∀x∀y((Lxa∧Lya)→x=y) ∴ ∀x(Lxa→Px)

graph TD;
id1("{ ∃x(Lxa∧Px) -- V
∀x∀y((Lxa∧Lya)→x=y) -- a, b, c
¬∀x(Lxa→Px) } -- V
∃x¬(Lxa→Px) -- V
¬(Lba→Pb) -- V
Lba
¬Pb
Lca∧Pc -- V
Lca
Pc
∀y((Laa∧Lya)→a=y) -- a, b, c
∀y((Lba∧Lya)→b=y) -- a, b, c
∀y((Lca∧Lya)→c=y) -- a, b, c
(Laa∧Laa)→a=a
(Laa∧Lba)→a=b
(Laa∧Lca)→a=c
(Lba∧Laa)→b=a
(Lba∧Lba)→b=b
(Lba∧Lca)→b=c -- V
(Lca∧Laa)→c=a
(Lca∧Lba)→c=b
(Lca∧Lca)→c=c


-
")
id1 --> id2("¬(Lba∧Lca) -- V")
id1 --> id3("b=c
¬Pc
ענף סגור X")
id2 --> id4("¬Lba
ענף סגור X")
id2 --> id5("¬Lca
ענף סגור X")

עץ האמת של קבוצת הפסוקים הכוללת את הנחות הטיעון ואת שלילת המסקנה סגור. כלומר שקבוצת הפסוקים אינה קונסיסטנטית, והטיעון תקף

---