מטלת מנחה 16 לקורס 'מבוא ללוגיקה' (10703) 2

מגיש: אנטוניו דורון (ת.ז 318155272)
למנחה: ענבל קולינר
סמסטר 2025א
שאלה 1: הציגו פשר המראה כי הפסוקים שלהלן אינם שקולים לוגית: ∀x(∃yPxy→Pxa) ∀x∃y(Pxy→Pxa)

לפי הכללים לעיל:

Domain: {a, b} I(P): {} I(a): {a} I(b): {b}

עבור x(∃yPxy→Pxa)∀

1. הזוג הסדור אינו איבר באקסטנציה של P
2. לכן הפסוק Paa שקרי בפשר - כלל 1
3. הזוג הסדור אינו איבר באקסטנציה של P
4. לכן הפסוק Pab שקרי בפשר - כלל 1
5. לכן אין איבר המספק את הנוסחה Pay - כלל הסיפוק
6. לכן הפסוק yPay∃ שקרי בפשר - כלל 3א
7. לכן הפסוק yPay→Paa∃ אמיתי בפשר - כלל 2ד
8. לכן a מספק את הנוסחה yPxy→Pxa∃ - כלל 3א
9. הזוג הסדור הוא איבר באקסטנציה של P
10. לכן הפסוק Pbb אמיתי בפשר - כלל 1
11. לכן b מספק את הנוסחה Pby - כלל הסיפוק
12. לכן הפסוק yPby∃ אמיתי בפשר - כלל 3א
13. הזוג הסדור אינו איבר באקסטנציה של P
14. לכן הפסוק Pba שקרי בפשר - כלל 1
15. לכן הפסוק (yPby→Pba∃) שקרי בפשר - כלל 2ד
16. לכן b אינו מספק את הנוסחה yPxy→Pxa∃ - כלל הסיפוק
17. לכן הפסוק x(∃yPxy→Pxa)∀ שקרי בפשר - כלל 3ב

עבור x∃y(Pxy→Pxa)∀:

1. הזוג הסדור אינו נכלל באקסטנציה של P
2. לכן הפסוק Paa שקרי בפשר - כלל 1
3. לכן הפסוק Paa→Paa אמיתי בפשר - כלל 2ד
4. לכן a מספק את הנוסחה Pay→Paa - כלל הסיפוק
5. לכן הנוסחה (y(Pay→Paa∃ אמתית בפשר - כלל 3א
6. לכן a מספק את הנוסחה (y(Pxy→Pxa∃ - כלל הסיפוק
7. הזוג הסדור אינו איבר באקסטנציה של P
8. לכן הפסוק Pba שקרי בפשר - כלל 1
9. לכן הפסוק Pba→Pba אמיתי בפשר - כלל 2ד
10. לכן a מספק את הנוסחה Pby→Pba - כלל הסיפוק
11. לכן הנוסחה (y(Pby→Pba∃ אמיתית בפשר - כלל 3א
12. לכן b מספק את הנוסחה (y(Pxy→Pxa∃ - כלל הסיפוק
13. לכן הנוסחה x∃y(Pxy→Pxa)∀ אמתית בפשר - כלל 3ב

פסוק א' שקרי בפשר בעוד שפסוק ב' אמיתי בפשר - לכן אינם שקולים לוגית 1. אבל: זה בסדר! שוב: הראשון זה "אם יש y ל-Pxy, אז Pxa" השני זה: "לכל פריט יש צימוד אחד לפחות כך שאם Pxy, אז Pxa"

נעשה שוב: עבור הראשון: עבור a: אין y עבור Pay ולכן הרישה שקר, ההתניה אמת. עבור b: יש Pbb כך שהרישה אמת, אבל אין Pba כך שההתניה היא שקר! המשמעות: הפסוק שקרי.

עבור השני: עבור a: עבור aa: אין Paa, הרישה שקרית וההתניה היא אמת. עבור ab: אין Pab, הרישה שקרית וההתניה היא אמת. עבור b: עבור ba: אין Pba, לכן הרישה שקרית וההתניה היא אמת. עבור bb: יש Pbb, לכן הרישה אמתית, הסיפה שקרית וההתניה היא שקר.

מסקנה: גם ל-a וגם ל-b (לכל x), יש לפחות צימוד אחד (קיים y) שמקיים את ההתניה "אם Pxy אז Pxa"

שאלה 2: הציגו פשר המראה כי הטיעון שלהלן אינו תקף : ∀xPx→∀xQx ∴∀x(Px→Qx)

Domain: {a, b} I(P): {a} I(Q): {} I(a}: {a} I(b}: {b}

ההנחה אמתית כי הרישה של ההתניה שקרית: לא כל x מקיים את Px (אין Pb) המסקנה שקרית כי לא כל x מקיים את Qx בתנאי שהוא מקיים את Px: הפריט a מקיים את Pa אבל לא את Qa (בעוד שהפריט b לא מקיים את Pb ולכן ההתניה היא אמת)